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章末复习提升课知识网络t (DOG织网-把陆-贯通-址数的様念r,(复数的实部和颐)(刼数相零：u+0i=g+di(ti 冷 m ME R)%0 ,m=1或m= 2, 解得m1 + a/3.所以当m= 1或m= 2时，z是实数.复数相关概念的应用技巧（1）正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念（如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模）的前提.（2）两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.若复数匕是纯虚数，则实数 a的值为（）1 2i1解析：选A.因为也=（a+ i）（ 1+ 2 = a 2+（+ 1）是纯虚数，所以a= 2.1 2i （1 2i）（1 + 2i）5主题复数的运算（1）已知(1 i)z2 = 1 + i（i为虚数单位），则复数z=(A.1 + iB .1 iC.1 + iD .1 i是z的共轭复数，若z+ = 2,(z z)i=2（i为虚数单位），贝U z=（)A.1 + iB .1 iC.1 + iD .1 i2(1 i)【解析】（1）由z= 1 + i,2i (1 i)(1 + i)( 1 i)=-1 i，故选 B.设 z= a + bi(a, b R),贝U z = a bi.由 z+ z = 2,可得 a= 1.由(z z)i = 2,得 b= 1,所以z= 1 i.【答案】(1)B (2)D利用复数的四则运算求复数的一般思路(1)复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算.(2)复数的除法运算： 主要是利用分子、分母同时乘以分母的共轭复数进行运算化简.2 i(3 4i)( 1 + i)解析：2+ (1 i) (1 2i)1 4 4i 3 4i( 3 4i)( 2 i) 【解析】法一：由题意，知z=(3 4i)( 1+ i)2 i2 i(34i) 2i+ ( 20 =乔2i(2 i)( 8 6i)10 20i111一 2i =一 2i = 一 i8+ 6i)( 8 6i)100102 + i2 + i 2+ i5 .答案:丄1011Ti主题共轭复数，复数的模已知复数z=(1 2i)2 + i2-，则复数z的模为(D.J526 4 5i=2 i,所以 |z=. 4 + 1 = .5，故选 B.2 2、出一 |( 1 2i)|1 2i|法一：|z|=|2+ i|22 + 12中2*；刀2= .5，故选B.【答案】B化复为实利用复数模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数 化的思想根据复数模的意义，可以简化计算.1.已知复数Z1 = 2+ ai(a R),1 2i，若弓为纯虚数，则|引=()z2B. 3D. 5A. 2C. 2解析：选D.由于角匕=(2 *1 *刀)=2 J 4 + 为纯虚数，则a = 1,Z2 1 2i则|列=5，故选D.2 .设|z|= 1，则|z2 z+ 1|的最大值为解析：因为 |z|= 1,则可设 z= cos 0+ isin 0,且 z z= 1故|z2 z+ 1|= |z2 z+ z z|=|z|z+ z 1|=1 |2cos 0 1|= |2cos 0 1|，当 cos 0= 1 时，|2cos 0 1|= 3.所以|z2 z+ 1|的最大值为3.答案：3主题 复数的三角形式 例4把下列复数转化为三角形式.(1) 1； (2)2i; (3) 3 i.【解】(1)r =yj ( 1) 2+ 02= 1，辐角的主值为 0= arg( 1) = n，所以一1 = cos n* isin兀.(2)r = 02* 22= 2，辐角的主值为7tncos * isin?n0= arg(2i) = 2，所以 2i = 2演瘗-强化-培诜 .r =22 1)+( 1)= 2,由 tan 0 = 3 =(.3, 1)在第四象限，得0n 11 n所以3 i = 211n11 ncosV+ isinv *=arg( ,3 i) = 2 n石=,规律复数的代数形式化为三角形式的方法(1)求复数的模r = a2+ b2.由tan 0 =-及点(a, b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下，只须求出复数的辐a角的主值即可).(3) 根据公式写出复数的三角形式.7t7t1 .复数z= 2 cos isin的辐角的主值是(5 nCT3nB?7 nDU解析：选B.z= 2nnCOS4 isi n：=2 cos； + isinn = 2 cosn + isinn 43nCOS* + isin3 n故复数z的辐角的主值为7.n2 把与复数 z= 1 i对应的向量按逆时针方向旋转，则与所得的向量对应的复数为B. 1+ iC. 1 i解析：选B.因为z= 1 i =77n4 n+ isin n ,所以z按逆时针方向旋转得込cos4 n+ isin4 n )(cos + isin7tn I：=2丿/2 .|cos 7 冗+ l+ isin 昭2丿24罔=1 + i.1 .复数素养提升1+为虚数单位）的共轭复数是（B.?解析：选c依题意得 上1 = 2i 1= 1 = i，其共轭复数为i，故选C.1 2i （1 2i） i i2 .已知复数Z1 = 2+孑，Z2 一 2+*，则z= Z2在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D .第四象限解析：选 D.因为 Z1= 2 + 申，Z2= 2 +23i,1 仝2+ 2 i 1+ . 3i (1+ ,3i)( 1 ,3i)123. - 1 + .3厂(-1+ 3i)( 1 3i) D.2 i，所以复数z在复平面内对应的点为_2+ 2i在第四象限.故选D.3 .复数Z1 3 cos4 + isin亍,Z2 1 i，则:的辐角的主值是（）nB.y解析:选 B.Z2 = 1 i .2 cos7n + isin：n7门n所以 arg 玄=4 4 n+ 2n = 3a b亠一1 i4i xiad be,右复数 xy =c d1 + i2 x+ i，贝U y=4 .定义运算解析：依题意，y= 4i(x + i) 2xi2(1 i) 2i=4i + 2xi = 4+ 1 + i2 + 2i=4+= 4 + 2= 2.1 + i答案：25 .已知复数z满足|3+ 4i| + z= 1+ 3i.(1)求 z ；求(1 +)：(3 +的的值.解：因为|3+ 4i|= 5,所以 z= 1 + 3i 5= 4+ 3i,所以 z = 4 3i.2(1 + i)(3 + 4i) 2i (3 + 4i)(2) = = 2.z 4 + 3i6.已知复数 z1 = a2 3+ (a+ 5)i, Z2= a 1 + (a2+ 2a 1)i(a R)分别对应向量 OZ1, 6Z2Q 为原点).(1) 若向量0Z1表示的点在第四象限，求a的取值范围；(2) 若向量ziZ?对应的复数为纯虚数，求a的值.2ta 30，解：因为复数Z1= a 3+ (a+ 5)i，向量OZ1表示的点在第四象限，所以la + 50,解得a 5.所以a的取值范围是a 5.(2)因为危=0Z2 0Z1,所以向量 乙Z2对应的复数为 Z2 Z1 = a 1 + (a + 2a 1)i a 3 + (a + 5)i = (a a22) + (a + a 6)i.9o根据向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，可得一（a a 2） = 0且a + a 6丰0解得a =- 1.
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