湖北高考数列命题热点探析

湖北高考数列命题热点探析宜昌市夷陵中学 尹国江湖北省从2004年开始高考数学实行自主命题，五年来不仅顺利实现了从国家卷统一命题到地方卷自主命题的平稳过渡，而且逐渐形成了自己的命题风格，现结合20042008湖北高考数学试题，分析湖北自主命题后数列部分的命题热点，以供复习参考。年份题号等差等比通项、关系递推关系数列求和数学归纳法不等式恒成立中间数列知识交汇2008文21不等式理14函数理15理21不等式2007文20理6充要条件理8理212006理17文20函数不等式理152005文19理15理22不等式2004文9理8理22不等式一、历年数列考点扫描文科理科考查比重差异明显，文科每年只有一道数列题，除2004年文科数列题是一道选择题外，其余四年均为一道解答题，多为中档题，但今年文科数列题为压轴题。理科前三年均为“一小一大”，去年和今年都是“两小一大”。文科试卷侧重于考查常用的推理方法和数值的计算，理科试卷则注重考查数学推理和理性思维。突出对主干知识和思想方法的考查，题型稳定难度适宜。已初步形成在知识网络的交汇点处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内命题的独特风格。二、08年数列真题赏析理科数学近两年数列考查力度加大， 2008年是两道选择题和一道解答题，共24分。两道题是与函数、不等式结合的综合性问题，虽入手容易，但要想全面解决则需要扎实的基本功、严谨的思维和综合分析问题的能力。例1.（湖北2008理14）已知函数,等差数列的公差为.若,则 .考点：等差数列的概念与性质。答案：6评析：今年将等差数列的性质融入指数函数和对数函数的背景下考查，体现了湖北高考以基础知识作为命题载体，在知识网络的交汇处设计考题的风格。例2.（湖北2008理15）观察下列等式： 可以推测，当2（）时， ， .考点：从特殊到一般的观察归纳能力，合情推理能力和正确理解抽象数学符号语言的能力。答案：，评析：本题是一组前n个正整数的次幂的和，通过观察前6个等式的系数规律，得出各项系数的一般性结论。立意新颖，背景深刻，它源于雅各伯努利（JacobBernouli）数，是一道渗透新课程改革理念的创新型问题。无独有偶，湖北2006理科15题是将杨辉三角中的每一个数都换成，从而得到莱布尼茨三角形，并以此命题。毋庸置疑，湖北卷的命题背景和切入点都是非常讲究的。例3.（湖北2008理21）已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设,为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 考点：通过等比数列的定义、数列求和、不等式恒成立等问题，考查分类讨论思想、函数思想和综合分析问题的能力、推理论证的能力。答案：（）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即矛盾.所以不是等比数列.()解：因为又所以当，时，此时不是等比数列；当时，由上可知，().故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当，时，不满足题目要求.，故知，于是可得.要使对任意正整数成立，即对恒成立，即令则当为正奇数时，；当为正偶数时，的最大值为，的最大值为，于是，由式得当时，由不存在实数满足题目要求；当时存在实数，使得对任意正整数都有且的取值范围是。评析： 湖北命题已经不再刻意追求形式的新颖，而是淡化特技，注重通性通法的考查，突出对主体知识的考查，不回避学生熟悉的问题，引导高中教学理性回归课本，注重基础。本题不难从2000年全国卷（当年湖北使用）的理科第20题中找到影子 ：() 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；() 设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列针对文科生与理科生对相同知识点的不同要求和思维的差异，将理科第21题改变设问后作为今年文科第21题，设问更加具体，减少了参数，没有分类讨论。合理调控了文科、理科的区分度，是不错的文理姊妹题。三、数列命题热点例析湖北高考在自主命题期间除2006年外，每年的压轴题都是数列综合题，都以数列与函数、不等式等综合问题的形式出现。常见考点有：等差等比数列的概念与性质；与关系；数列求和；数学归纳法证明不等式；递推关系；相关数列等。例4.（湖北2006理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上 （）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求使对所有都成立的最小正整数；考点：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力 答案：解：（）设这二次函数,则，得，所以 又因为点均在函数的图像上，所以 当时， 当时，615，所以， （）（）由（）得知，故Tn（1） 因此，要使（1）（）成立的，必须且仅须满足，即10，所以满足要求的最小正整数为10。评析：这是自主命题期间唯一一道数列中档解答题，但问题仍然涉及与关系、相关数列、数列求和、不等式恒成立等多个考点。该年湖北文科题20题为本题的姊妹题，仅条件改为：“设数列的前项和为，点均在函数的图像上”，问题设置相同。例5.（湖北2004理22）已知数列满足（I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；（II）设证明：（III）若对都成立，求a的取值范围.考点：本题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力。答案：解：（I）由存在，且 对两边取极限得解得 又.（II）由得 即对都成立（III）令得 解得现证明当时，对都成立 （i）当n=1时结论成立（已验证）（ii）假设当时结论成立，即，那么故只须证明即证对成立，由于，而当时，即故当时即n=k+1时结论成立.根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.故对都成立的的取值范围为评析：数列综合题中常以递推数列形式给出数列，数学归纳法是证明数列不等式的有效方法，先求出使不等式恒成立的必要条件，再证明充分性是以退为进的策略。四、数列复习备考建议在即将全面推行新课标之际，高考命题注重由知识立意向能力立意转化，主要考查学生的学习能力和应用能力，考查考生应变能力和知识迁移能力。要想取得优异的成绩，依靠题海战术是徒劳的。只有全面夯实基础、掌握基本技能，紧扣重点、拓宽视野，关注创新问题、重视能力培养，着意提炼数学思想、注重思维全面发展，才能提高复习的针对性和实效性。1.等差与等比数列是考查重点等差与等比数列是高中阶段要求掌握的两类主要数列模型，也是每年高考考查的重点。要掌握等差与等比数列的概念和性质；“基本量法”是解决等差数列或等比数列等相关问题的常用方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简化；一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解；通常以相关数列的形式转换考查的数列对象，要善于利用相关数列化繁为简、化陌生为熟悉。2.通项与数列求和是问题核心通项与前项和是数列的重要规律特征。掌握通项的求法，注意与之间关系的转化：=；数列的递推公式也是常见考点，由递推公式给出的数列实际上是由等差数列、等比数列或某些简单数列构成；利用数学式子的变换揭示这种关系，则可以将问题转化为简单数列来求解；熟练掌握数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。3.函数不等式综合是命题特征在知识网络交汇点处命题，是湖北高考数学自主命题的一个突出特点。要建立完整的知识网络，融会贯通；着重训练数列与函数、方程、不等式、三角、几何相结合的综合问题；着重训练数列背景下的不等式证明和恒成立等问题；培养处理综合问题的能力。4.数学思想和方法是破题主线湖北历年高考题对数学思想方法的考查无处不在。数列复习中要注重函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想等思想方法的归纳提炼，并在解决问题的过程中, 能有意识地运用数学思想方法，突破问题难点，找到破题的方向,逐步提升分析问题和解决问题的能力。6