2012年高考数学安徽理解析版

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）复数满足，则为A.-2-2i B -2+2i C 2-2i D 2+2i1.【答案】D【解析】设，则，所以可得，故.【规律总结】复数运算乘法是本质，除法中的分母“实化”也是乘法.同时注意小技巧，比如提取公因式，约分等的灵活运用. (2) 下列函数中，不满足等于的是（ ）A f(x) B f (x)=x- C f(x)x+1 D. 2.【答案】C【解析】法一（特值验证）： 令，则，其中C不满足，故答案为C；法二（直接求解）：对于A，可得；对于B，可得；对于C，可得；对于D，可得，故答案为C.【技巧点拨】解决此类问题，不仅要解答准确，还要注意节省时间，提高解题效率，所以本题较好地处理方法是特殊值法.3如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.3 B.4 C.5 D.83.【答案】B【解析】第一次循环后：；第二次循环后：；第三次循环后：，跳出循环，输出 .【规律总结】具有循环结构的流程图问题，最有效的求解方法之一就是当循环次数比较少时，把每一次循环之后每个变量的取值都一一列出，当循环次数比较多时，利用数列通项把每次循环之后每个变量的取值一一列出.4. 公比为2的等比数列 的各项都是正数，且=16，则（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）74.【答案】B【解析】利用等比数列性质.设等比数列的公比为，则，所以，故.【技巧点拨】等比数列运算是注意整体运算和等比数列的运用，这样可以提高解题效率，同时还应该注意运用选择题的题型特征，广开思路采用多种方法和技巧，快速突破.5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（A）甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数（B）甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数（C）甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差（D）甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5【答案】C【解析】由条形图易知甲的平均数为，中位数为，方差为，极差为；乙的平均数为，中位数为5，方差为，极差为，故，甲乙中位数不相等且.【易错警示】本题学生很容易选择D选项，把极差误看成频数的极差，造成误判.（6）设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内.直线b在平面内，且bm，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6.【答案】A【解析】判断本题条件命题为“”条件命题，命题“”为结论命题，当时，由线面垂直的性质定理可得，所以条件具有充分性；但当时，如果，就得不出，所以条件不具有必要性，故条件是结论的充分不必要条件.【技巧点拨】要判定一个命题是另外一个命题的什么条件，一是要分清哪个命题是条件命题，哪个命题是结论命题；二是要使两个命题反映的知识点尽可能的接近，才易于找到两个命题的推出或包含关系. (7) ()的展开式的常数项是（ ）（A）-3 （B）-2 （C）2 (D)37.【答案】D【解析】因为，所以要找原二项式展开式中的常数项，只要找展开式中的常数项和含项即可.通项公式 【规律总结】二项式问题求解通法是利用通项整理出方程（组），或不等式（组）再求解，除此之外就是等价变形之后再利用，通项公式求解或直接运用二项式定理，可以更快更准确求解.(8)在平面直角坐标系中，点（0，0），点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量，则点的坐标是（ ）（A） （B） (C) (D) 8.【答案】A【解析】三角求值和定义.设，因为，所以，可得，验证可知只有当点坐标为时满足条件，故答案为A；法二：估算.设，因为，所以，可得，所以点在第三象限，排除B，D选项，又，故答案为A.【技巧点拨】本题快速求解的办法是直接估测出角的范围，再利用三角函数定义加以排除.（9）过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，为坐标原点.若，则AOB的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）9.【答案】C【解析】如图，设，由抛物线方程，可得抛物线焦点，抛物线准线方程为，故.可得，故，直线的斜率为，直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得，因为两点横坐标之积为，所以点的横坐标为，可得，点到直线的距离为，所以.【名师点拨】本题以抛物线和直线为载体，在知识网络交汇点设计问题，其目的是加强联系、注重应用，以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力.解析几何是高考命题的重要内容，在未来的高考中解析几何内容在题型和分值上基本保持稳定，但要注意安徽高考在淡化对直线与圆锥曲线位置关系型问题的考查.（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（A）1或3 （B）1或4 （C）2或3 （D）2或410.【答案】D【解析】任意两个同学之间交换纪念品共要交换次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.【技巧点拨】本题其实是一个“陈题”，也就是我们在很多教辅上常见的“握手问题”，解题的关键是分析出少交换的2次，涉及几个人，恰当分类，再求解. 2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科） 第卷（非选择题 共100分） 请用0.5毫米海瑟墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上答题无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置.（11）若x，y满足约束条件则的取值范围是_.11.【答案】【解析】法一：画出可行域是如图所示的的边界及内部 ，令.易知当直线经过点时，直线在轴上截距最大，目标函数取得最小值，即；当直线经过点时，直线在轴上截距最小，目标函数取得最大值，即，所以.法二：界点定值，同法一先画出可行域，令，把边界点代入目标函数可得，比较可得.【技巧点拨】解决线性规划问题首先要明确可行域，然后搞清楚目标函数的几何意义，最后顺利求值.本题可行域是一个三角形区域，可以将目标函数先去绝对值，利用几何意义-截距来求最值.同时也可以灵活运用多种方法求解.（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_.12.【答案】【解析】如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积为正（主）视图侧（左）视图俯视图.【点睛高考】认识三视图时，注意：长对正，高平齐，宽相等另外要能根据三视图准确提炼出几何体中的线线关系、线面关系、面面关系，以及线的虚实和各种关键数据，找到几何体的直观图三视图是新课标新加入内容09年安徽第一年新课标高考，以求稳为主，没有考查到，2010年、2011年和今年安徽考试都做了考查，但都是基础题，以稳为主.（13）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是_.13.【答案】【解析】圆，即化为直角坐标为，直线的方程也就是直线，即为，圆心到直线的距离为.【规律总结】安徽高考对参数方程极坐标的考查，一般是通过一个容易的选择题或填空题来实现.由于高考对参数方程极坐标要求较低，主要是考查直角坐标和极坐标的转化公式，往往是在极坐标的背景下考查直线和圆的位置关系，所以此类问题重心是转化为一般方程求解.（14）若平面向量a，b满足，则的最小值是_.14.【答案】【解析】由，有，可得，所以，故当且方向相反时，的最小值为.【技巧点拨】求解时，关键是注意运用均值不等式把放缩变为.（15）设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）.若，则；若，则；若，则；若，则；若，则.15.【答案】【解析】对于，由得，则，因为，所以，故正确；对于，由得，即，则，因为，所以，故正确；对于对于，可变为，可得，所以，所以，故，正确；对于，可变为，可得，所以，因为，所以，错误；对于，可变为，即，所以，所以，所以，故错误.答案为答案为.【高考规律】此题为数学中的多项选择问题，安徽高考在大纲版的考试中多是考查立体几何知识，但这一轮新课标的四年高考中，任何两年考查的知识点都不一样，是很多老师和学生始料不及的，但只要对概率的概念和公式理解准确，本题求解也并非不可能.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.（16）(本小题满分12分)设函数.（I）求函数的最小正周期；（II）设函数对任意，有，且当时， ，求函数在上的解析式.【解题指导】本题考察两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，三角函数的周期性，求分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力.【解析】.（1）函数的最小正周期.（2）当时，当时， ，当时， .得：函数在上的解析式为【高考把脉】三角类解答题在高考中是送分题，主要考查方式有三种：一是以考查三角函数的图象和性质为主，三角恒等变换是一个主要工具；二是三角形这一背景下的三角恒等变换，正、余弦定理和三角公式是工具；三是考查解三角形的文字应用题，正、余弦定理是解决问题的主要工具以上三种形式的考查往往命题者都是利用向量语言来叙述题目中的条件部分.安徽高考卷2008年考查了类型一，近五年只有2009年考查了类型二，2010年考查了类型三，2011年没有单独考察三角解答题，今年又重新考查类型一.考生在备考时要注意这几个特征（17）（本小题满分12分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量.（）求的概率；（）设，求的分布列和均值（数学期望）.【解题指导】本题考查基本事件概率，条件概率，离散型随机变量及其分布列均值等基础知识，考查分类讨论思想和应用创新意识.【解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为.（）时，每次调用的是类型试题的概率为，随机变量可取.，.答：（）的概率为； （）的均值为.【易错警示】本题在求解时，注意第一次取出不同试题之后，放回的试题不一样，这样在第二次取试题的时候，背景就改变了，究竟第二次取试题是在什么样的背景下，要紧密关联第一次取试题的结果，如果割裂开两次取试题之间的关系，就会出现错误.（18）（本小题满分12分）平面图形如图4所示，其中是矩形， .现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（）证明：； （）求的长；（）求二面角的余弦值.【解题指导】本题考查平面图形与空间图形的转化，空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判定，空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能，考察空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.【解析】（）取的中点为点，连接， 则，面面面.同理：面， 得：共面.又面.（）延长到，使，得：.，面面面面，.（）是二面角的平面角.在中，.在中，.得：二面角的余弦值为.【规律总结】一般来讲，安徽高考设计的立体几何试题，多是在背景几何体这个地方进行创新. 解法上，采用同一个题目既可用传统立体几何知识求解，亦可用向量法求解，两种办法都是考查空间想象能力、分析问题解决问题的能力.而用向量的方法解决立体几何问题，使几何问题代数化，这样降低了思维的抽象性，也使逻辑性较强的证明与计算简单化，突出向量的工具性，同时也为学生进入大学进一步学习高等数学知识奠定基础.（19）（本小题满分13分）设.（I）求在上的最小值；（II）设曲线在点的切线方程为，求的值.【解题指导】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 【解析】（I）设，则.当时，在上是增函数，得：当时，的最小值为.当时，当且仅当时，的最小值为.（II），由题意得：【技巧点拨】安徽高考对于函数与导数这一综合问题的命制，呈现的面目多是含有参量且以有理函数与半超越（指数、对数、三角）函数的组合复合形式，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽作用，指数式可以整体换元以及三角式的周期性.这类问题重点考查函数导数公式、导数几何意义、单调性、极值最值、函数零点的判断以及不等式的转化求解和证明，解题时注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合.（20）（本小题满分13分） 如图，分别是椭圆 的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点；（I）若点的坐标为；求椭圆的方程；（II）证明：直线与椭圆只有一个交点.【解题指导】本题考查椭圆方程和椭圆几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识和运算求解的基本技能，考查推理论证能力及数形结合思想.【解析】（I）点代入，得：. .又. .由得： ，即椭圆的方程为.（II）设，则.得：，.过点与椭圆相切的直线斜率.得：直线与椭圆只有一个交点.【技巧点拨】解析几何解答题的一般命题模式就是先根据已知的关系确定一个曲线的方程，然后再结合直线方程、圆的方程等把问题引向深入，其中的热点问题有：参数范围、最值、直线或者曲线过定点、某些量为定值等.在直线与圆锥曲线交于不同两点的问题中，一般是设出点的坐标，然后确定点的坐标之间的关系（特别是直线是动直线时这个方法是必需的），再进行整体（安徽高考回避判别式、韦达定理的运用）处理，在直线与曲线相切的问题中，多运用导数求出直线斜率，再整理化简解决问题.（21）（本小题满分13分）数列满足：.（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列.【解题指导】本题考查数列概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解的能力.【解析】（I）必要条件当时，数列是单调递减数列； 充分条件数列是单调递减数列.得：数列是单调递减数列的充分必要条件是.（II）由（I）得：.当时，不合题意；当时，.当时，与同号，由，.当时，存在，使与异号.与数列是单调递减数列矛盾，得：当时，数列是单调递增数列.【规律总结】安徽高考理科对数列的考查一般以等差等比数列求通项、求前项和为主要形式，淡化递推公式的运用，有时也结合函数性质、不等式强化综合性，增加难度，运用数学归纳法解题.十分注重推理能力的考察，但推理能力不再是数列递推，而是常用逻辑中的充分必要条件，安徽高考已经不止一次这样考察了，2010年对数列的考查是这样的，今年也是，这一点要引起我们的重视.