培养高素质数学人才的研究与实践

更多免费资料请访问：豆丁教育百科培养高素质数学人才的研究与实践 -数学分析课程建设总结我们的数学分析课程建设，始于1996年数学系“国家理科人才培养基地”成立之时. 当时在为北师大数学系96级教授数学分析的基础上，撰写了教改两篇论文，见1，2和3。1998教育部正式立项，我们的课程立为重点项目“数学教育专业主干课程教学内容和体系的研究与实践,编号JS032A，2000年结项. 自1999年，本课程被教育部确立为国家理科人才培养基地创建名牌课程, 2000年通过验收. 接着，经教育部批准，2001年至2003年继续作为国家理科人才培养基地名牌课程. 自2000年至2003年，本课程被纳入教育部教改项目 培养高素质数学人才的研究与实践(1283B01032). 2004北京市批准本课程为北京市精品课程. 培养高素质数学人才的必要性是不言而喻的。近八年来我们的教学小组以这个题目为核心，贯穿上述各研究项目，进行了改革的尝试, 在如何提高大学数学系基础课水平这个问题上进行了探讨和大胆的实践。我们刚迈出第一步，那就是进行了改革数学分析（或叫微积分）课的传统教育内容和教学方式的尝试.第一部分 我们的认识大约从1950年以来，数学分析课程经历了多次的改革, 课程的教材,从引入前苏联的课本, 到自己编写课本.有人统计过, 我国学者们已经编写出版了180多本数学分析教科书. 但就我们所看到的来说, 我们认为这些书基本内容、格调没有多大不同。从教学的方式来说，同其他课程一样, 主要是教师讲，助教辅导习题课，学生做习题这三个步骤。大量的辅导材料、习题集也出版了。时至今日，不少人已觉得这门课比较成熟, 趋于定型，不宜做大的改动。没人怀疑数学分析作为数学系的课程和对于培养数学人才的基础重要性。如今，对于这样一门已经历了50多年改革的风风雨雨的重要课程，还要不要进行改革，如何进行改革，特别应持严肃和谨慎的态度。应该避免由于轻率的变动而对教学造成的危害。例如历史上的打倒柯（Cauchy）家店，一把大挫捅破窗户纸之类的轻率行为，已被历史证明是不可取的。主张对这门课基本保持现状，是很有理由的。那么我们为什么要对这门课做比较大的改动呢？我们有两方面的考虑：（1）以往的课程设计不太能适应天分高的学生。对于因材施教注意不够。表面上看是要适应每一个学生，实际上只能是迁就理解能力较低的学生。能力强的学生自然就显得学有余力，不能充分发挥他们的聪明才智而更快地学得更深入。我们认为，因材施教是培养人才必须遵循的法则。用一个模式培养众多的本来就千差万别的学生，结果只能使能力强的学生受损失。当前高等教育大发展，学生数量不断增加。同一个班的学生尽管入学成绩都在一个分数段内，上下不相差50分，但他们的天分和发展潜力的差别随着招生人数的增加已经而且还要变得越来越大。因此，新形势下，提倡因材施教，显得更重要。江泽民主席在第三次全国教育工作会议上的讲话（l999年6月15日）谈及人才成长规律时说过：“学得好的影响和带动学得不太好的，水平高的影响和带动水平比较低的，这样就可以促进共同进步与提高. 必须坚决克服用一个模子来培养人才的倾向”（2）随着大学教育的发展，学术研究已经成为校园的风气。众多的研究生要做研究，而研究生大多是从本科生中来。本科生如果没有扎实的基础知识，将来很难做出有价值的研究工作。这对于数学分析这样重要的基础课程的学术水平提出了严格的要求。 21世纪大学数学教育的学术水平应该、也可能在20世纪的水平的基础上提高一个档次。基于这两方面的考虑，我们首先重写了数学分析的课本，以期能给学生提供更深更广的知识，并诱导启发学生进一步做数学学术研究的意愿。而对与那些自身要求不高的学生，只要掌握新课本的最基本的内容就可以了。我们新编的教材叫做简明数学分析（王昆扬编，2001年7月出版，高等教育出版社）出版前曾为北师大1999级一班学生使用，出版后为北师大数学系2001级和北师大2001级励耘班同时使用，后来继续在北师大数学系2002级、2003级使用，目前正在北师大数学科学学院2004级使用。这本教材有以下如下一些特点：1). 本教材十分注意知识的系统性、严格性和学生认识的连贯性. 我们对于刚上大学的学生,在第一章中就严格地讲授实数的定义. 因为我们知道, 学生们早已在初中二年级就已经知道“无限不循环小数是无理数”,有理数和无理数统称为实数. 现在到了该讲清楚“无限不循环小数是无理数”及“无限循环小数是有理数”到底是什么意思的时候了. 而要讲清什么是实数,必须引入极限,首先是有理数列的极限的概念, 参阅4. 我们分析了以往大多数数学分析课本对于实数概念的讲法. 感到常用的Dedekind的分割的方法, 即使是对于高年级学生,也是费解的. 而且这种分割的方法,要用到有理数之间有大小关系这一特殊性质, 不能推广应用于一般距离空间的完备化. 我们承袭学生从初中就已接受的认识, 着力用极限的观点把实数这个概念讲解清楚. 即使部分学生一时理解不透，以后在学泛函分析，遇到距离空间的完备化的时候，认识也必有一大提高.而且我们认为,即使有的学生永远也无法理解实数概念, 我们在课本中的讲解也只能有益而无害.毕竟有高素质的学生需要这些知识. 这可以说是这本书的第一个特点.2). 我们没有等到后面单独讲授级数理论的时候才遇到。事实上，学生们在中学早就知道等差级数和等比级数了.讲完数列的极限，级数的概念就自然出来了. 于是, 在证明了实数系(作为距离空间)的完备性之后, 我们毫不犹豫地定义函数$f(x)=sum_k=1inftyfrac 1k! xk, xin R,$并把记作(与Euler的名字密切相关的一个无理数)，把记作. 给学生们讲清楚这就是他们在中学就知道的指数函数, 参阅5.学生们早就熟悉这个函数的各种性质了. 但是, 不使用极限概念, 就不可能真正理解这个函数. 以往害怕一开始就严格引入指数函数的定义, 就象害怕引入实数的定义一样, 结果是不得不做许多繁琐的不严格的描述,实在是事倍功半. 仔细想一想, 我们在复变函数论中，几乎没有更好的办法避免使用上述定义. 那么, 与其等到三年以后再重来一次定义，何不此刻毕其功于一役呢？而且，这样做，往下的论述非常简单明了. 3). 把单变量和多变量一块儿讲. 目的有二. 其一，强化学生对于多变量函数的认识. 现代科学技术的发展对于多变量函数的理论的需求越来越高.如6指出的,以往的教科书“一元微积分的讨论不厌其烦, 而多元微积分则显得相当薄弱”. 我们认为, 针对以往对于多变量理论的讲述不够充分及把单变量和多变量分开讲的负面效果, 尝试把单变量理论与多变量理论统一起来讲是有益的. 何况大学生们在中学阶段的学习中已经与一元初等函数打了6年的交道，有了接受多变元函数概念的基础. 这是主要目的.其二，节约了大量篇幅. 当然，在讲多元函数的导数时，一方面要把一元函数作为特例同时也是最基本的情况讲透彻，同时又要强调多元情形与一元情形确有本质上不同的地方，不可一概把多元情形看成是一元情形的简单推广. 接着，要花些力气把多维空间之间的变换，特别是可导变换的概念讲清楚，这将是多元积分变量替换的理论基础. 也是偏微分方程论等课程中不可少的基础知识.4). 用Lebesgue积分取代Riemann积分.数学分析的基本内容应该是函数的导数理论(或叫做微分论)和积分理论两部分。现有教材在积分学部分都以Riemann积分理论为内容. Riemann积分是19世纪的理论.Riemann积分的产生很自然，很接近生活，很有用处，但在理论上是不完备的，具有严重缺陷。20世纪初创立的Lebesgue积分理论克服了Riemann积分的缺陷, 是完备的理论. 我们认为Riemann积分的本质缺陷是不承认$sigma$可加性, 而这恰是Lebesgue积分论的出发点. 我们认为给学生讲一个统一的积分理论，比人为地把这个理论分解成Riemann积分和Lebesgue积分两部分,是利大于弊的。关于用Lebesgue积分取代Riemann积分的必要性, 在论文3中有专门的论述.我们赞成J.Dieudonne 的下述观点(J.迪厄多内, 现代分析基础，第一卷, 科学出版社,1982, 159页):这里明显地没有微积分教程中一个古老的题目.即黎曼积分.人们大概会感觉到:如果不是它的有权威的名字,它老早就该没落下去了,因为对于任何一位从事研究工作的数学家来说(带着对黎曼天才的应有尊敬),十分清楚,现今这一理论的重要性在测度与积分的一般理论中,最多不过是一普通的有趣的练习(参看13.9问题7).只有那种学究传统的顽固保守主义才会把它冻结成课程的正规部分,长时间以后必将失去它的历史重要性.在大学的课程中, 传统的作法是在大学一年级讲Riemann积分, 在三年级再讲授Lebesgue理论.这种做法, 少说也历时50年了.50年前的学术界对于Lebesgue积分掌握得不够好，把本来应该统一的一个积分论分成了两段，情有可原。可是现在的学术发展，对于函数理论的研究，绝对离不开Lebesgue积分. 而且学术界对于Lebesgue积分的了解已大大提高了. 在这种形势下, 在大学课程中把积分论统一起来, 不仅是必要的,而且是可能的. 我们常说过去的课程内容已显得陈旧. 在一年级的基础数学课程中, 固守Riemann积分,可以说是内容陈旧的最明显的表现了. 过去人们常认为Lebesgue积分比较难, 怕学生难于接受. 这种担心的基本根据,是以往(三年级)的实变函数论课(其实就是Lebesgue积分论课)常让人觉得又难教又难学. 其实,这也可以看作是以往把Riemann积分与Lebesgue积分分开来讲的一个副作用。我们认为, 把Riemann积分与Lebesgue积分分开讲,至少造成了两种误解. 一个误解是认为Lebesgue积分好像是独立于Riemann积分之外的一种符号游戏，又难又没用。其实Lebesgue积分的理论中完全包含着Riemann积分，而且从更高观点上，把Riemann可积的本质看透了。根本不存在两者的对立。有人曾说过, Lebesgue积分不能计算。这个说法明显地把Lebesgue积分和Riemann积分对立起来，这是一个大误会. 第二个误解,是认为Lebesgue积分太难，似乎不是大学本科一年级学生所能接受的。诚然,一个终极的理论当然比它的初级阶段来得深刻和艰难。可是如果学生根本就不曾学过什么积分，他们就不可能象我们先慢慢学Riemann积分再匆匆忙忙学Lebesgue积分的人那样, 产生如此强烈的易和难的差觉。 想当年我们学Riemann积分时, 是细嚼慢咽，几乎用两年的时间去品味Riemann积分，大得甜头。可是后来，再用半年时间草草地读像前苏联Hatanson的实变函数论那样艰深的课本，做那些艰深的习题，于是对Lebesgue积分就只能觉得苦。现在我们把Lebesgue积分放到一年级讲，不去做那些在显微镜下进行分析的难题，学生固然不会是很轻松，可也没觉得那么可怕。这是实践所证明了的。我们要做的, 是通过实践来证明, 有必要打破保守落后的观念. 不能因为难就驻足不前. 应该做的事一定要坚持做下去,应该在实践中把原以为困难的东西设法化解为易于为多数(不必是全部)学生接受的东西.5). 对于求原函数(不定积分)的技巧部分, 做了适当压缩, 并加入使用计算机的练习.参变积分理论不再单列一章, 而是作为积分论的一节. 数项级数也不单列一章. 适当减少同样内容的重复,节奏紧一点, 腾出时间让学生主动发挥.6). 注意与后续课程的衔接, 不躲避相关学科的重要概念. 例如, 对于Rn的基本拓扑概念, 作触类旁通的介绍, 对于学生将来进一步学习其它学科, 树立数学的整体概念是有好处的. 在讲幂级数的时候，扩展到复数域去讲，实在是举手之劳，却能为与解析函数论的沟通预做准备.在数学分析课的教学方式上, 我们所作的改进是：大力开展讨论班。北师大数学系99级1班从第二学期开始曾举办了20次（共40学时）学生讨论班活动。由于所用教材在提高学术水准的前提下做了大幅度的删繁就简，使得开展讨论班有了课时的保证。讨论班由教师选定课题和参考资料，由学生报名主讲。参 考 文 献1 极限、实数和初等函数1， 数学通报, No.10, 1997；2 极限、实数和初等函数2， 数学通报, No.11, 1997；3 王昆杨, 关于 Riemann 积分理论的本质缺陷及以 Lebesgue积分取代之的看法, 数学教育学报, 8 (1999)No.3, 95-98.4 王昆扬, 怎样讲实数理论, 高等数学研究, 专集, 1999, 1-55 王昆扬和张培恒, 谈指数函数的定义， 高等数学研究，第4卷，2001年，第3期13-14、28页.6 郇中丹, 对师范大学本科数学专业数学分析课程改革的几点意见, 数学教育学报, 2001年第二期. 第二部分 数学系2001级1班的教学实践下面是北京师范大学数学系2001级1班，由郇中丹教授使用简明数学分析授课所作的一些调查、统计，共分四部分:1. 2001级1班学生的状况;2. 数学分析课程改革的实践和经验;3. 学生对一些教学内容的的掌握情况;4. 一些需要进一步解决的问题.1. 2001级1班学生的状况 由于2001级1班是一个自然班,下面的情况具有一定的普遍性.(A). 学生中的积极因素: (1) 在对数学的认同上有较好的基础: 学生在入学时基本都喜欢数学(97%), 70%的学生的第一志愿是北师大数学系, 并且55%的学生希望成为数学家或数学教师. (2) 在学习态度上, 有50%的学生把对其严格要求作为对教师的希望. (3) 75%的学生有上课记笔记的习惯.(B). 学生中的值得注意的因素: (1) 80%的学生对微积分有些先入为主的认识(虽然只有25%的学生入学前学过一点微积分),一半的学生认为微积分很难; (2) 40%的学生感到数学很难,有些焦虑; (3) 80%的学生没有听说过非欧几何, 这表明学生的逻辑训练是不足的(在实际教学过程中这一点也得到验证).2. 数学分析课程改革的实践和经验学生的潜力得到了逐步的发掘, 对于许多传统上很难的题,相当多数的学生能够接受. 在这当中对于微积分历史的深入讲解, 对学生作人与做学问的教育以及积极鼓励与严格要求, 起到不小的促进作用(如上所述, 班上的学生与其它班级的学生的起始点是一样的). 大多数同学愿意而且能够从这一方式中获益.对于在教学过程中在学生身上发现的问题, 比如, 只习惯于为考试学习-更准确地说是更习惯于死记硬背而不会也意识不到应当去学习一种思想方法和知识体系. 这部分原因是由于缺乏的基本的逻辑训练, 没有自己的学习动机等等.对此, 我们通过个别指导与集体谈话与对一些具体的数学内容的较深入讲解来予以引导.使用软件包MAPLE的实验课教学: 在计算机教室进行,具体方式是教师演示, 布置问题, 学生在课下完成, 以实验报告的形式报告其结果. 允许以小组的形式完成. 在这里,我们力求将MAPLE的使用溶入到数学分析课的教学过程中, 使两者成为有机的整体. 就已有的教学效果看, 学生的收获还是不小的: 学生对软件包MAPLE的基本命令都能够较熟练地使用, 有了使用计算机的意识.根据我们的经验, 那种关于使用计算机会阻碍学生的实际手算能力的提高的担心是不必要的.这一担心的出发点是以为, 只要简单地输入有关命令, 软件包就能够给出所需的答案. 实际上, 软件包的操作方式与人的操作方式是不同的, 为了获得所需的结果,操作者必须懂得原理并有一定的实际运算经验. 而是打两下键盘就能完成的. 明确这一点是很重要的. 就学生而言, 可促进他们学习数学理论的积极性, 并在一定程度上克服计算机迷信. 对教师则放开手脚在教学中充分使用软件包.在教学过程中，采取下面一些方式来了解学生的情况: (1) 经常地书面收集学生的反馈; (2) 经常做各个教学阶段学生掌握情况的测试.3. 学生对一些教学内容的的掌握情况(1) 对实数的掌握的情况(两次测试)测试1 (30人, 刚讲完实数理论):掌握(以学生对书上实数定义的叙述正确与否为准): 5人; 能理解书上的讲授方式(学生自我感觉): 15人.测试2 (28人, 一学期后):能正确叙述实数定义: 5人; 完全忘记: 15人.(2) 极限$lim_xto 1f(x)=2$的定义(测试时间:第二学期一开学)全对: 0人; 基本对: 12人; 基本不对: 5人; 完全不对: 11人.(3) 复合函数求导公式的条件和结论.全对: 3人; 基本对: 2人; 基本不对: 19人; 完全不对: 4人.(4) 多元反函数定理的条件和结论.全对: 3人; 基本对: 1人; 基本不对: 17人; 完全不对: 7人.(5) Lebesgue测度(5.1) 外测度的定义.全对: 13人; 基本对: 11人; 基本不对: 4人; 完全不对: 1人.(5.2) 可测集的定义.全对: 20人; 基本对: 4人; 基本不对: 4人; 完全不对: 1人.(5.3) 无理数的集合是实数集类中的Borel集吗?是: 9人; 不是: 20人.(5.4) 可测函数的定义.全对: 17人; 基本对: 8人; 基本不对: 2人; 完全不对: 2人.(5.5) Lebesgue控制收敛定理的内容.全对: 14人; 基本对: 9人; 基本不对: 4人; 完全不对: 2人.(5.6) 计算极限(10分,29人):$lim_ktoinftyint_01 xksinfrac 1x dx。$平均分: 3.62; 最高分: 10; 最低分: 0.全对: 3人; 基本对: 4人; 基本不对: 20人; 完全不对: 2人.(6) 参变量积分(6.1) 参变量积分连续的条件. 全对: 17人; 基本对: 8人; 基本不对: 2人; 完全不对: 2人.(6.2) 参变量积分可导的条件. 全对: 1人; 基本对: 6人; 基本不对: 3人; 完全不对: 19人.(6.3) 广义参变量积分的定义. 全对: 13人; 基本对: 1人; 基本不对: 0人; 完全不对: 15人.(6.4) 广义参变量积分可导的条件. 全对: 1人; 基本对: 6人; 基本不对: 7人; 完全不对: 15人.(6.5) 广义参变量积分积分换序的条件. 全对: 3人; 基本对: 3人; 基本不对: 7人; 完全不对: 16人.(6.6) 计算积分(10分, 29人); 平均分: 3.90; 最高分: 10; 最低分: 0. 全对: 5人; 基本对: 1人; 基本不对: 22人; 完全不对: 1人.由上述测试结果得到的初步结论: (1) 简明数学分析的体系是可行的, 没有什么学生难以逾越的障碍; (2) 学生需要足够的直观与练习.4. 一些需要进一步解决的问题(1) 进一步完善简明数学分析的体系,特别是在具体教学内容的更精心处理;(2) 现在的学生的特点需要作深入的研究以便将教材编写得更有利于学生由中学的应试思维模式到科学思维模式的转变; (3) 如何使教材与数学的发展及现代教学手段的较好地结合.第三部分 数学系1999级1班的“讨论班”活动数学系1999级1班，从第二学期的后半段（年月）开始，开展了每周两学时（不增加总学时）的“讨论班”.讨论班的主讲人是同学们自己报名确定的。第二学期进行了个专题的讨论。这个专题是:(1) Stirling 公式（张杰铭同学主讲），(2) Euler常数（李莹莹同学主讲），(3) Cantor集和Cantor函数（廖 丹同学主讲），(4) Peano曲线 （林海波同学主讲），(5) 周期3蕴含混沌 （贺丽珍同学主讲），(6) 分布函数和Stieljes积分(黄宏伟同学主讲)， (7) 单调函数的导数 (郭沁苗同学主讲)， (8) Gamma函数，Wallis公式 (罗德建同学主讲)，(9) 计算积分的Simpson公式 (车晓佳同学主讲)。 学生们积极性很高，自己查阅文献，做出笔记，认真讲解。大多数同学都讲得很好，出乎教师的预料，而且对于教师也时一大鼓舞。目前缺点是，非主讲同学参与讨论不够，还需在讨论前适当加强准备。从第三学期开始，讨论班继续进行。共讲了12个专题：(1) Manifolds （方 明同学主讲）,(2) Inverse function theorems(张 玮 同学主讲)，(3) 函数在偶数点的值(李晓琛同学主讲)。前两讲的材料取自英文版的教科书，Functions of several variables (Fleming著)。这两个专题，目的在于复习一年级学过的微分学中的重要内容，为学第五章流形上的积分做准备；也培养学生阅读英文数学书的能力。在第二讲中，学生不仅能讲清楚，而且在教师启发之下发现了书中重要定理的证明的严重错误。后面的9个专题取自函数构造论导引（J.Todd著，冯慈璜译，谢庭藩校， 上海科学技术出版社，1980年）. 具体内容安排是：r (4) Lagrange多项式 (牟 锐同学主讲)，(5) Weierstrass定理和Berenstein多项式 (魏 炜同学主讲)，(6) Chebyshev理论 (马祖强同学主讲)，(7) Markoffs 不等式 (程 竹同学主讲)，(8) 正交多项式 (吴夏光同学主讲)，(9) 函数插值(潘圣林同学主讲)，(10) Bernoulli多项式 (张 勇同学主讲)(11) 函数空间 (曹光升同学主讲)，(12) 近似求积 (黄弈顶同学主讲)。第四部分 初步效果我们的实践初步说明,在走向新世纪的历史时刻,打破传统的作法, 用Lebesgue积分取代Riemann积分不但是理所应当的,而且是完全可能的. 北京师范大学数学系1999级1班、2001级1班和北京师范大学2001级励耘班的教学实践，都说明,多数学生能接受Lebesgue积分的基本理论.学得差的学生还比过去我们教过的三年级的差学生掌握得好些.这里可能有这样一个原因,那就是他們现在只能专心致志地学这一种积分论, 而且这门课是基础课,必须重视,而过去的实变函数论课是选修课,有时被忽视.北京师范大学数学系99级1班,在后续课程“偏微分方程”和“泛函分析”的学习中，与99级2班学生的学习情况几乎没有差别，学习成绩统计数字如下:偏微分方程99(1) 均分: 80.1500, 标准差: 9.7074, 最高: 97, 最低: 4799(2) 均分: 80.7955, 标准差: 9.9430, 最高: 100, 最低: 60.泛函分析99(1) 均分: 59.0000, 标准差: 16.5207, 最高: 90, 最低: 1099(2) 均分: 60.0000, 标准差: 19.2240, 最高: 94, 最低: 20.这说明, 用Lebesgue积分取代Riemann积分对于一年级学生普遍而言没有坏处.北京师范大学数学系99级1班由于在“数学分析”课中已经学习了原来的“实变函数论”课程的基本内容, 所以在3年级的“实变函数论”课中，学习了R.Wheeden和A.Zygmund的Measure and Integral(An introduction to Real Analysis). 缩短了学生与研究生之间的差距.这是其他班学生做不到的.在讨论班学习的基础上, 北京师范大学数学系99级1班的一些学生撰写了有一定意义的的论文。其中，李莹莹撰写的 “On Eulers Constant-calculating sums by integrals”，已被Mathematical Monthly 接受。廖丹撰写了“阿列夫零次归纳论法”，张玮撰写了“The Inverse Function Theorem- Correcting a mistake in Flemings book”。这些对于培养学生的研究能力是极好的练习。 最近的调查表明，我们课程建设班，与其他同年级班比较有明显的优势：在2001级近150名学生中， 我们的教学班共29人，占百分之20. 全年级获得保送研究生资格的43人中，有13人是我们教学班的学生，占百分之30. 在保研资格考试中，这13人的平均成绩也高于其他30人的平均成绩. 此处说明，我们的课程建设班，是北京师范大学数学系（现为数学科学学院）本科生的一个自然班，学生的组成未经任何特意选择.