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专题9 复数江苏省太仓高级中学 钱华【课标要求】1课程目标 回顾数系的扩充过程，体会数的概念是逐步发展起来的，了解引进复数的必要性，感悟数的概念产生于实际需求与数学的内部矛盾，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.理解复数的概念以及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件.掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的四则运算.理解复数的几何意义，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2复习要求 （1）复数的概念掌握复数的分类，明确复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；掌握复数相等的充要条件；掌握共轭复数、复数的模等基本概念； （2）复数的表示复数的代数形式，几何表示（复平面内的点和向量），明确复数几何表示的本质，并适当联系解析几何与平面向量； （3）复数的代数运算熟练掌握复数代数形式的四则运算3复习建议（1）复数的复习重点是帮助学生明确复数问题求解的基本方法是“化复为实”，进一步熟练掌握复数的四则运算，能够自觉的运用类比的思想方法掌握复数代数形式的运算法则.（2）重视复数中的基本概念和性质，在复习的过程中，要设置一些概念性问题，帮助学生理清概念性质，夯实基础.（3）要向学生强调复数问题求解的基本方法是“化复为实”，即复数问题的解决，最终都是利用两个复数相等的充要条件将复数相等转化为两组实数的相等从而解决问题.（4）复数的乘法运算中应注意对虚单位“i”的周期性的重视，并引申出“1i”的高次运算的方法,了解1的三个立方根，的高次运算问题.（5）了解复数的几何意义，并能适度与平面向量及解析几何联系.【典型例题】例1填空题（1）下列关于复数的说法正确的是 （填上所有正确命题的序号） 任意两个复数都不能比较大小； 纯虚数在复平面内的对应点都在虚轴上； 若z是纯虚数，则z； 任意复数z，总有|z2|= |z|2答案：解析：不正确，两个虚数不能比较大小，但复数集不仅包含虚数集，还包含实数集，若在复数集中取出两个实数，则能够比较大小；认清虚轴与y轴的区别；对与任意纯虚数bi (bR,b0)，若bi=，则b2= -1，因为bR，所以矛盾；因为|z1z2|=|z1|z2|，所以结论正确（2）计算： = 解析： = =2-i（3）计算： + =_ 解析： + = i+(-i)=0 （4）若复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i (mR)的共轭复数对应的点在第一象限，则实数m的取值范围是_.答案：m 解析：z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i的共轭复数=(m2+m-1)-(4m2-8m+3)i， 其对应的点是A(m2+m-1, -4m2+8m-3)， ，解得：m（5）已知复数z满足|z|=1且z2= -1，则z=_答案：i解析：设z=x+yi (x,yR)，由|z|=1得x2+y2=1，又z2=x2-y2+2xyi= -1，解得（6）若复数(x-2)+yi (x,yR)的模为，则的最大值为 .答案：解：因为(x-2)+yi (x,yR)的模为=，所以(x-1)2+y2=3，由 的几何意义是点(x,y)与原点连线的斜率，所以 ( )max=（7）设z1=1+2ai，z2=a-i (aR)，集合A=z| |z-z1|,B=z| |z-z2|2，AB=，则a的取值范围是 .答案：a 解析：在复平面内,A=z| |z-z1|表示以复数z1对应点为圆心,为半径的圆及其内部；B=z| |z-z2|2表示以复数z2对应点为圆心，2为半径的圆及其内部；AB=，两圆外离.则|z1-z2|3= (a-1)2+(2a+1)218= 5a2+2a-160=a （8）已知关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实数根，则纯虚数m的值是_ 答案： i解析：m为纯虚数，设m=bi (bR)，方程的实数根为kk2+(1+2i)k-(3bi-1)i=(k2+k+3b)+(2k+1)i=0，解得例2设虚数z满足|z|=1，z2 + 2z + 0，求z解：设z=x+yi (x,yR,y0)，由|z|=1得x2+y2=1， 而z2+2z+ =(x+yi)2 + 2(x+yi) + = (x2-y2+3x)+y(2x+1)i， 又y0，解得：，z= - + i例3已知z=1+i，（1）设w=z2+3 -4，求w；（2）若 = 1-i，求实数a,b的值解：（1）z=1+i，w=z2+3 -4 = (1+i)2+3(1-i)-4 = -1-i（2）由 = 1-i，把z=1+i代入得： = 1-i， = 1-i，(a+b)+(a+2)i = (1-i)i = 1+i，得例4设存在复数z同时满足下列条件：（1）复数z在复平面内对应的点位于第二象限；（2）z+2iz=8+ai (aR)；求实数a的取值范围解：设z=x+yi (x,yR)，则=x-yi 由(1)得：x0， 又 z+2iz=8+ai， (x+yi)(x-yi)+2i(x+yi)=8+ai 即 (x2+y2-2y)+2xi=8+ai =， x2+(y-1)2=9且x0，-3x0，即-60且8(a-2)0，解得：2a6 13解：设z=a+bi（a,bR），则z+=a+bi+=a+(b- )iRb= b=0或a2+b2=1(1)当b=0时，z=a，|a-2|=2 a=0或4a=0不合题意舍去，z=4(2)当b0时，a2+b2=1 又|z-2|=2，(a-2)2+b2=4解得a= ，b=，z= i综上，z=4或z= i14解：z12+2 R，z1对应的点在直线y=x上，x=y=1，z1=1+i|z1-z2|=sin(+)-1,1，|z1-z2|-1, +1 15解：（1）由=z1+2i，得z2=-2i代入已知方程得：z1(-2i)+2iz1-2i(-2i)+1=0即|z1|2-2i-3=0，令z1=a+bi (a,bR)，即可得到(a2+b2-2b-3)-2ai=0，解得a=0，b=3，或a=0，b= -1，z1=3i，z2= -5i，或z1=z2= -i（2）由已知得z1= ，又|z1|=，|=，|2iz2-1|2=3|z2+2i|2(2iz2-1)(-2i-1)=3(z2+2i)( -2i) 整理得：z2+4iz2-4i-11=0即(z2-4i)( +4i)=27，|z2-4i|2=27，即|z2-4i|=3存在常数k=3，使得等式|z2-4i|=k恒成立16证明：（1），得证；（2）设，；（3）类比，得，原命题得证
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