天一专升本高数知识点

第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数： f ( x)f ( x) ，图像关于原点对称。偶函数： f ( x)f ( x) ，图像关于 y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设 ，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（ 1）若lim0，则是比 高阶的无穷小量。（2）若lim0），则 c （不为与是同阶无穷小量特别地，若 lim 1，则 与 是等价无穷小量（3）若lim ，则与是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0 的速度快，谁就趋向于0 的本领高。4、两个重要极限（ 1） lim sin xlimx1x 0xx0 sin xsinlimsin0 ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致使用方法：拼凑lim001x1（ 2） lim1lim (1x) xexxx01lim (1)e0使用方法1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。a0,nmb0Pn x5、 lim0, nmQm Xx, nm1Pn x 的最高次幂是n,Qm x 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。 nm ,以相同的比例趋向于无穷大；nm ，分母以更快的速度趋向于无穷大；nm ，分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限左极限： lim f ( x)Axx0右极限： lim f ( x)Axx0lim f ( x)A充分必要条件是 lim f ( x)lim f (x) Ax x0x x0x x0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断连续的定义：limylimf (x0x)f (x0 )0x 0x 0或 limf (x)f ( x0 )x x0间断：使得连续定义limf ( x)f ( x0 ) 无法成立的三种情况x x0f ( x0 )不存在， f ( x0 )无意义lim f ( x)不存在x x0lim f ( x)f ( x0 )x x0记忆方法： 1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（ 1）、第二类间断点：limf ( x) 、 limf ( x) 至少有一个不存在xx0x x0（ 2）、第一类间断点：limf ( x) 、 limf ( x) 都存在xx0x x0可去间断点：lim f ( x)limf (x)xx0x x0跳跃间断点：lim f ( x)limf (x)xx0x x0注：在应用时，先判断是不是“ 第二类间断点 ”，左右只要有一个不存在，就是“第二类 ”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“ 可去 ”，左右不等是 “跳跃 ”10、闭区间上连续函数的性质（ 1）最值定理：如果f (x) 在 a, b 上连续，则 f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。（ 2）零点定理：如果f (x) 在 a, b 上连续，且f (a)f (b) 0 ，则 f (x) 在 a, b内至少存在一点，使得 f ()02第三讲中值定理及导数的应用1、 罗尔定理如果函数 yf (x) 满足：（ 1）在闭区间a,b 上连续；（ 2）在开区间（ a,b）内可导；（ 3）f (a)f (b) ，则在 (a,b)内至少存在一点，使得f ( )0记忆方法：脑海里记着一幅图：ab2、 拉格朗日定理如果 yf ( x) 满足（ 1）在闭区间 a, b 上连续（ 2）在开区间（ a,b）内可导；则在 (a,b)内至少存在一点f (b)f (a)，使得 f ( )ab脑海里记着一幅图：ab（ * ）推论 1：如果函数yf (x) 在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b）内可导，且f (x)0 ，那么在 (a, b) 内 f ( x) =C 恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。（ * ）推论 2：如果f (x), g(x) 在 a,b 上连续，在开区间(a, b) 内可导，且f ( x)g ( x), x(a,b) ，那么 f ( x)g ( x)c记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、 驻点3满足 f ( x)0 的点，称为函数f (x) 的驻点。几何意义：切线斜率为0 的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设 f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有 f (x)f (x0 ) ，则称 f (x0 ) 为函数f (x) 的极大值， x0 称为极大值点。设 f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有 f (x)f ( x0 ) ，则称 f (x0 ) 为函数f (x) 的极小值， x0 称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5、 拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注 yx3 在原点即是拐点6、 单调性的判定定理设 f (x) 在 (a,b)内可导，如果f ( x)0 ，则 f (x) 在 (a,b) 内单调增加；如果 f ( x)0 ，则 f (x) 在 (a,b) 内单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，7、 取得极值的必要条件f (x)0 ；f (x)0 ；可导函数 f (x) 在点 x0 处取得极值的必要条件是f ( x0 )08、 取得极值的充分条件第一充分条件：设 f (x) 在点 x0 的某空心邻域内可导，且f (x) 在 x0 处连续，则（ 1）如果 xx0时， f (x)0; xx0时， f ( x)0 ,那么 f ( x) 在 x0 处取得极大值f (x0 ) ；（ 2）如果xx0时，f (x)0； xx0时， f(x)0，那么 f ( x) 在x0 处取得极小值0；f (x )（ 3）如果在点 x0的两侧， f( x) 同号，那么 f ( x) 在 x0 处没有取得极值；4记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f (x0 ) 0 ， f ( x0 )0则 （1）如果 f( x0 )0，那么 f ( x) 在 x0 处取得极大值f ( x0 ) ；（2）如果 f(x0)0，那么 f ( x) 在x0 处取得极小值0f ( x )9、 凹凸性的判定设函数 f ( x) 在 (a,b) 内具有二阶导数， （ 1）如果 f (x)0, x (a, b)，那么曲线f (x) 在 (a, b)内凹的；（2）如果 f ( x)0, x(a,b) ，那么 f (x) 在 (a,b) 内凸的。图像表现：凹的表现凸的表现10、渐近线的概念曲线 f ( x) 在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。（ 1）水平渐近线：若lim f ( x)A ,则 yf (x) 有水平渐近线yAx(2) 垂直渐近线：若存在点x0， lim f ( x)，则 yf ( x) 有垂直渐近线 x x0x（ 2）求斜渐近线：若 lim f ( x)a, lim f ( x) ax b ，则 yax b 为其斜渐近线。xxx511、洛必达法则0遇到 “” 、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。0如果遇到幂指函数，需用f ( x)eln f ( x)把函数变成 “0”、“”。0第二讲 导数与微分1、 导数的定义（1）、 f( x0 )limylimf ( x0x) f ( x0 )0x 0x0（2）、 f( x0 )limf ( x0h)f ( x0 )hh 0（ 3）、 f(x0 )limf ( x)f ( x0 )xx0x x0注：使用时务必保证x0 后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2、 导数几何意义： f ( x0 ) 在 xx0 处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与f (x0 ) 乘积为 13、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。4、 求导方法总结（1）、导数的四则运算法则uvuv(uv)uvvuuu vv uvv2（ 2）、复合函数求导：yfx 是由 yf (u)与 u(x) 复合而成，则dydydudxdudx6（ 3）、隐函数求导对于 F ( x, y)0 ，遇到 y，把 y 当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。（ 4）、参数方程求导x(t )dydy(t )确定一可导函数 yf ( x) ，则dt设(t )dxdx(t )ydtdydyd ( )d2 yd()dxdxdtdx2dxdxdt(5) 、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（ 6）、幂指函数求导幂指函数 yu(x)v( x) ，利用公式 aeln aln u ( x )v ( x )ev( x ) ln u ( x )y e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法。5、 高阶导数对函数 f ( x) 多次求导，直至求出。6、 微分dyy dx记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加dx，不需要单独记忆。7、 可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续，但连续不一定可导8、 可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图（1）（ 2）7y x2 在 x=0 既连续又可导。y x 在 x=0 只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。第四讲不定积分一、原函数与不定积分1、 原函数：若F ( x) f (x) ，则 F ( x)为 f (x) 的一个原函数；2、 不定积分：f (x) 的所有原函数 F ( x) +C 叫做 f (x) 的不定积分，记作f ( x)dx F ( x) C二、不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、f ( x)dxf ( x)或 df (x) dx f ( x)dx2、f (x) dxf ( x)c注：求导与求不定积分互为逆运算。四、积分方法1、 基本积分公式2、 第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、 第二换元积分法ax b,令 taxba2x2令 xa sin t三角代换x2a2令xa sectx2a 2令xa tant三角代换主要使用两个三角公式：sin2 t cos2 t 1, 1 tan2 t sec2 t4、 分部积分法udvuvvdu第五讲定积分1、定积分定义bnf ( i )xia f ( x)dx limx0i 1如果 f ( x) 在 a,b上连续，则f (x) 在 a, b 上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。82、定积分的几何意义如果 f (x) 在 a,b 上连续，且b（ 1）f (x)0 ，则 af ( x) dx 表示由 f ( x) ， xa, x b, x 轴所围成bf ( x)dx 。的曲边梯形的面积。S=a如果 f (x) 在 a,b 上连续，且f (x)0， S=b（ 2）a f ( x) dx 。3、定积分的性质：bb（ 1）a kf ( x)dxk a f ( x)dxbbb（ 2） af ( x)g (x)dx =a f ( x)dxa g(x)dxbcb（ 3） a f ( x) dxa f ( x)dxc g ( x)dxbaab（ 4） a 1dxbaa f ( x)dx0b f ( x)dxa f (x)dxbb（ 5）如果 f ( x)g( x) ，则 af ( x)dxa g( x)dx（ 6）设 m,M 分别是 f ( x) 在 a,b 的 min, max, 则bm(ba)a f ( x) dxM (b a)Mm记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积（ 7）积分中值定理b如果 f (x) 在 a,b 上连续，则至少存在一点a,b ，使得 a f ( x)dxf ()(ba)记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。1称babaf ( x)dx 为 f (x) 在 a, b 上的平均值。4、 积分的计算（ 1）、变上限的定积分x( a f (t) dt )f ( x)9xf (t) dt 是 f ( x) 的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有注：由此可看出来( x) a一个是 x 而不是 t（ 2）、牛顿 莱布尼兹公式设 f ( x) 在 a,b 上连续， F (x) 是 f ( x) 的一个原函数，则bF ( x) abF (b) F (a)f (x) dxa由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。基本积分公式第一换元积分法（凑微分法）第二换元积分法分部积分法5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分（ 1）、若 f ( x) 在a, a 上为奇函数，则（ 2）、若 f ( x) 在a,a 上为偶函数，则注：此方法只适用于对称区间上的定积分。6、 广义积分aaaaf (x)0af ( x)2 0 f (x) dx（1）无穷积分abf (x)dxlimcacf ( x)dxlimbcccf (x)dx f ( x)dxf ( x)dxf ( x)dxcf ( x)dx7、 定积分关于面积计算f (x)g(x)面积 Sbaf ( x)g ( x) dx ，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界a, b 上的定积分。dx( y)x( y)c10d面积 S=( y)( y) dyc记忆方法：把头向右旋转90 就是第一副图。8、 旋转体体积（1）yf (x)abxb2曲线 f (x) 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积： Vxf (x) dxa（2）、f (x)g(x)abx 轴旋转一周所得旋转体体积：b2x g 2 (x) dx阴影部分绕绕Vxa f（ 3）、ydx( y)cxd2x ( y)绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积： Vy( y) dyc(4) 、ydx( y)x( y)11cxy 轴旋转一周所得旋转体体积 : Vyd2 ( y)2 ( y) dy阴影部分绕绕c（二）、直线与平面的相关考试内容一、二元函数的极限定义：设函数 zf (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 某邻域有定义（但 ( x0 , y0 ) 点可以除外），如果当点 (x, y) 无论沿着任何途径趋向于( x0 , y0 ) 时， zf (x, y) 都无限接近于唯一确定的常数A ，则称当点 (x, y) 趋向于(x0 , y0 ) 时， zf (x, y) 以 A 为极限，记为limf (x, y)A( x, y) ( x0 , y0 )二、二元函数的连续性若limf ( x, y)f ( x0 , y0 ) ，则称 zf (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 连续。( x, y) ( x0 , y0)注： zf (x, y) 的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。三、二元函数的偏导数zf x ( x, y)limf ( xx, y)f ( x, y)xx 0xzf y ( x, y)limf ( x, yy)f ( x, y)yy 0y四、偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。五、全微分： dzz dxz dyxy六、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。若偏导存在且连续，则一定可微。函数 zf (x, y) 的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。七、二元复合函数求偏导设 zf (u, v),u(x, y), v( x, y) ，zzuzvzzuzv则uxvx，uyvyxy12注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。八、隐函数求偏导方程 F ( x, y, z)0 确定的隐函数为zf (x, y) ，则对等号两边同时对x 求导，遇到 z 的函数，把 z当成中间变量。第八讲多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质n1、f ( x, y) dxdy limf (i ,i )i，几何意义：代表由f ( x, y) ， D 围成的曲顶柱体体积。Dd0 i12、性质：（ 1）kf ( x, y)dxdykf ( x, y)dxdyDD（ 2）f (x, y)g( x, y)dxdy =f (x, y)dxdy+g(x, y)dxdyDDD（ 3）、dxdyDD（4） DD1D2 ,f (x, y)dxdy =f ( x, y)dxdy +f ( x, y)dxdyDD1D2(5)若 f ( x, y)g( x, y) ，则f (x, y)dxdyg(x, y)dxdyDD（ 6）若 m f ( x, y)M , 则 mDDf ( x, y)dxdyMD(7) 设 f ( x, y)在区域 D 上连续，则至少存在一点 (, )D ，使f ( x, y)dxdy f ( , )DD二、计算（ 1） D: a x b, 1 ( x)y2 (x)b2 ( x )f (x, y)dxdya dx1 ( x)f ( x, y)dyD（ 2） D： c y d, 1 ( y)x2 ( y) ，f ( x, y) dxdyddy2 ( x )f ( x, y ) dyDc1 ( x )技巧： “谁 ” 的范围最容易确定就先确定“ 谁” 的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（ 3）极坐标下：x r cos, yr sin, dxdyrdrdf ( x, y) dxdydr ()f ( r cos, r sin) rdr0D三、曲线积分131、第一型曲线积分的计算（ 1）若积分路径为L ： y( x), axb ，则b(x) 2 dxL f ( x, y)ds =a f ( x, ( x)1(（ 2）若积分路径为L ： x( y), cyd ，则L f ( x, y)ds=df ( y), y)1( y) 2 dyc（ 3）若积分路为x(t )tL ：(t )，则yL f (x, y) ds= f (t ),(t )(t ) 2(t ) 2 dt2、第二型曲线积分的计算（ 1）若积分路径为L ： y( x) ，起点 xa ,终点 yb ，则L P( x, y)dxQ( x, y)dybP(x,(x)(x,(x)()aQx dx（ 2）若积分路径为L ： x( y) ，起点 yc ，终点 yd ，则L P( x, y) dxQ( x, y)dydP( y), y)( y)Q ( y), y) dyc（ 3）x(t )，起点 t，终点 t若积分路为 L：(t )，则yL P( x, y) dxQ( x, y)dyP(t ),(t )(t )Q(t),(t) (t ) dt第九讲常微分方程一、基本概念（ 1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。（ 2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。（ 3）微分方程的解：满足微分方程yf (x) 或 f (x, y)0 。前者为显示解，后者称为隐式解（ 4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解（ 5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。（ 6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程dy（ 1）形如f ( x)g ( y) 的微分方程。dx14解法：变形为1dyf ( x)dx ，两边作不定积分求出通解。g( y)dyfy（ 2）形如的微分方程。dxx解法：令yu ，则 yux ，两边对 x 求导，然后代入原方程，则变量分离x2、一阶线性微分方程dy一阶线性齐次微分方程形如P(x) y0 。解法：变量分离dxdy一阶线性非齐次微分方程形如P( x) yQ( x)解法：常数变易法或公式法dxP( x) dxQ(x)eP ( x) dx注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：y edx C在通常使用中建议选择常数变易法15