电路邱关源第五版07第七章

动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件7.1一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应7.7一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应7.2一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应7.8*一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应7.3卷积积分卷积积分7.9*一阶电路的全响应一阶电路的全响应7.4状态方程状态方程7.10*二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应7.6动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题7.11*首首 页页本章重点本章重点第第7 7章章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路的时域分析的时域分析 一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；应和全响应的概念及求解；l 重点重点 一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。解。1.1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；动态电路方程的建立及初始条件的确定；返 回含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1 1.动态电路动态电路 7.1 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。个变化过程称为电路的过渡过程。下 页上 页特点返 回例例0ti2/RUiS)(21RRUiS过渡期为零过渡期为零电阻电路电阻电路下 页上 页+-usR1R2（t=0）i返 回i=0 ,uC=Usi=0 ,uC=0 k接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：达到新的稳定状态：k未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：电容电路电容电路下 页上 页k+uCUsRCi(t=0)+-(t)+uCUsRCi+-前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1USuct0?iRUS有一过渡期有一过渡期返 回uL=0,i=Us/Ri=0 ,uL=0 k接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电路达到新的稳定，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：状态，电感视为短路：k未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：电感电路电感电路下 页上 页k+uLUsRi(t=0)+-L(t)+uLUsRi+-前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1US/Rit0?uLSU有一过渡期有一过渡期返 回下 页上 页(t)+uLUsRi+-k未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：uL=0,i=Us/Rk断开瞬间断开瞬间i=0 ,uL=工程实际中在切断电容或电感电路时工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。会出现过电压和过电流现象。注意k(t)+uLUsRi+-返 回过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。时间来完成。twp电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化换路换路支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化p0 t下 页上 页返 回)(ddSCCtuutuRC应用应用KVL和电容的和电容的VCR得：得：若以电流为变量：若以电流为变量：)(d1StutiCRittuCitiRd)(dddS2 2.动态电路的方程动态电路的方程下 页上 页(t 0)+uCUsRCi+-)(SCtuuRituCiddC例例RC电路电路返 回有源有源 电阻电阻 电路电路 一个动一个动态元件态元件一阶一阶电路电路下 页上 页结论 含有一个动态元件电容或电感的线性电含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。一阶电路。返 回一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件,描述描述电路的方程是一阶线性微分方程。电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。态元件的个数。0)(dd01ttexatxa0)(dddd01222ttexatxatxa二阶电路二阶电路二阶电路中有二个动态元件二阶电路中有二个动态元件,描述描述电路的方程是二阶线性微分方程。电路的方程是二阶线性微分方程。下 页上 页结论返 回高阶电路高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。电路的方程是高阶微分方程。0)(dddddd01111ttexatxatxatxannnnnn动态电路的分析方法动态电路的分析方法 根据根据KVL、KCL和和VCR建立微分方程；建立微分方程；下 页上 页返 回复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法 求解微分方程求解微分方程经典法经典法状态变量法状态变量法数值法数值法卷积积分卷积积分拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法付氏变换付氏变换本章本章采用采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。下 页上 页返 回稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态稳态动态动态换路发生很长时间后状态换路发生很长时间后状态微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激励恒定或周期性激励换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程微分方程的通解微分方程的通解任意激励任意激励SUxatxa01dd0 dtdx tSUxa 0下 页上 页直流时直流时返 回 t=0与与t=0的概念的概念认为换路在认为换路在t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间3.3.电路的初始条件电路的初始条件下 页上 页0f(t)0()0(ff00)0()0(fft返 回d)(1)(tCiCtud)(1d)(100tiCiCd)(1)0(0tCiCut=0+时刻时刻d)(1)0()0(00iCuuCCiucC+-电容的初始条件电容的初始条件0下 页上 页当当i()为有限值时为有限值时返 回q(0+)=q(0)uC(0+)=uC(0)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q=C uC电荷电荷守恒守恒下 页上 页结论返 回d)(1)(tLuLtid)(1d)(100tuLuLd)(1)0()0(00uLiiLL 电感的初始条件电感的初始条件t=0+时刻时刻0d)(1)0(0tLuLi下 页上 页当当u为有限值时为有限值时iLuL+-返 回L(0)=L(0)iL(0)=iL(0)LLi 磁链磁链守恒守恒 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。下 页上 页结论返 回L(0+)=L(0)iL(0+)=iL(0)qc(0+)=qc(0)uC(0+)=uC(0)换路定律换路定律 电容电流和电感电压为有限值是换路定电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。律成立的条件。换路瞬间，若电感电压保持换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。下 页上 页注意返 回求初始值的步骤求初始值的步骤:1.1.由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和和iL(0)；2.2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+)和和 iL(0+)。3.3.画画0+等效电路。等效电路。4.4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b.b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.a.换路后的电路换路后的电路（取（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。感电流方向相同）。下 页上 页返 回 电路初始值的确定电路初始值的确定(2)由换路定律由换路定律 uC(0+)=uC(0)=8VmA2.010810)0(Ci(1)由由0电路求电路求 uC(0)uC(0)=8V(3)由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例例1求求 iC(0+)电电容容开开路路下 页上 页+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路等效电路+-10ViiC10k电电容容用用电电压压源源替替代代注意返 回)0()0(LLuuiL(0+)=iL(0)=2AV842)0(Lu例例 2t=0时闭合开关时闭合开关k,求求 uL(0+)先求先求A24110)0(Li 应用换路定律应用换路定律:电电感感用用电电流流源源替替代代)0(Li解解电感电感短路短路下 页上 页iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由由0+等效电路求等效电路求 uL(0+)2A+uL-10V14+-注意返 回iL(0+)=iL(0)=iSuC(0+)=uC(0)=RiSuL(0+)=-RiS求求 iC(0+),uL(0+)0)0(RRiiiSsC例例3解解由由0电路得电路得：下 页上 页由由0+电路得电路得：S(t=0)+uLiLC+uCLRiSiCRiS0电路电路uL+iCRiSRiS+返 回V24122)0()0(CCuuA124/48)0()0(LLii例例4求求k闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压解解A83/)2448()0(CiA20812)0(iV2412248)0(Lu下 页上 页由由0电路得电路得：由由0+电路得电路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+uC返 回12A24V+-48V32+-iiC+-uL求求k闭合瞬间流过它的电流值闭合瞬间流过它的电流值解解 确定确定0值值A12020)0()0(LLiiV10)0()0(CCuu 给出给出0等效电路等效电路A2110101020)0(kiV1010)0()0(LLiuA110/)0()0(CCui下 页上 页例例5iL+20V-10+uC1010iL+20V-LS10+uC1010C返 回1A10Vki+uLiC+20V-10+10107.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电动态元件初始储能产生的电压和电流。压和电流。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC(0)=U00CRuutuCiCdd uR=Ri零输入响应零输入响应下 页上 页iS(t=0)+uRC+uCR返 回0)0(0ddUuutuRCCCCRCp1 特征根特征根特征方程特征方程RCp+1=0tRC eA1 ptCeAu 则则下 页上 页代入初始值代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0A=U0iS(t=0)+uRC+uCR返 回000teIeRURuiRCtRCtC0 0teUuRCtcRCtRCtCeRURCeCUtuCi00)1(dd 下 页上 页或或返 回tU0uC0I0ti0令令 =RC ,称称为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数 秒伏安秒欧伏库欧法欧 RC 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续连续函数函数跃变跃变 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关有关;下 页上 页表明返 回时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =RC 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大大（C一定一定）i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小 大C 大大（R一定一定）W=Cu2/2 储能大储能大11 RCp物理含义物理含义下 页上 页返 回a.:电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。工程上认为工程上认为,经过经过 35,过渡过程结束。过渡过程结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5t ceUu 0U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 下 页上 页注意返 回 t2 t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于211C1C0C0)()(1dd11tttutueUtutttU0tuc0t1t2)(368.0)(1C2Ctutu次切距的长度次切距的长度下 页上 页RCteUu 0C返 回b.时间常数时间常数 的几何意义：的几何意义：能量关系能量关系tRiWRd02电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设 uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量：2021CU电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：tReRURCtd)(2 002021CUteRURCtd2 02002 20|)2(RCteRCRU下 页上 页uCR+C返 回例例1图示电路中的电容原充有图示电路中的电容原充有24V电压，求电压，求k闭合后，闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：+uC45Fi1t 0等效电路等效电路0 0CteUuRCt下 页上 页i3S3+uC265Fi2i1s 2045 V 240RCU返 回+uC45Fi10 V2420 teutc分流得：分流得：A6420 1tCeuiA43220 12teiiA23120 13teii下 页上 页i3S3+uC265Fi2i1返 回2.2.RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LRp特征根特征根 代入初始值代入初始值A=iL(0+)=I001)0()0(IRRUiiSLL00ddLLtRitiLptAeti)(L0)(00LteIeItitLRptt 0下 页上 页iLS(t=0)USL+uLRR1+-iL+uLR返 回RLt LLeRItiLtu/0)(dd0)(/0teItiRLtLtI0iL0连续连续函数函数跃变跃变 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；下 页上 页表明-RI0uLt0iL+uLR返 回 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关有关;下 页上 页秒欧安秒伏欧安韦欧亨 RL 令令 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 =L/R时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大大 W=LiL2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢，放电慢，大大 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定：返 回 能量关系能量关系tRiWRd 02电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。设设 iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量：2021LI电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：tReIRLt d2/00)(2021LI teRIRLt d/2020 0220|)2/(RCt eRLRI下 页上 页iL+uLR返 回例例1t=0时时,开关开关S由由12，求求电感电压和电流及电感电压和电流及开关两端电压开关两端电压u12。s 166RL解解A26366/32424)0()0(LLii66/)42(3 R下 页上 页i+uL66Ht 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212返 回0 V12A 2 tetiLueitLLtLddV424242412tLeiu下 页上 页i+uL66Ht 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212返 回 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。函数。teyty )0()(iL(0+)=iL(0)uC(0+)=uC(0)RC电路电路RL电路电路下 页上 页小结返 回 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。下 页上 页小结 =R C =L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路电路RL电路电路返 回动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电电路中外加激励作用所产生的响应。路中外加激励作用所产生的响应。SCCddUutuRC方程：方程：7.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 解答形式为：解答形式为：CCCuuu 1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应非齐次方程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解下 页上 页iS(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=0+非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程返 回为电路的稳态解为电路的稳态解RCtAeu C的通解的通解0ddCCutuRCSCUu 通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu 特解（强制分量）特解（强制分量）CuSCCddUutuRC的特解的特解下 页上 页返 回全解全解uC(0+)=A+US=0 A=US由初始条件由初始条件 uC(0+)=0 定积分常数定积分常数 ARCtAeUuutu SCCC)(下 页上 页)0()1(S SSCteUeUUuRCtRCt从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：RCteRUtuCiSCdd返 回-USuCuC“UStiRUS0tuC0 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：数；电容电压由两部分构成：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）下 页上 页表明+返 回 响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定；大，大，充电慢，充电慢，小充电就快。小充电就快。响应与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系；能量关系能量关系2S21CU电容储存能量：电容储存能量：电源提供能量：电源提供能量：2SS0SdCUqUtiU2S21CU电阻消耗能量：电阻消耗能量：tRRUtRiRCted)(d20S02 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。转换成电场能量储存在电容中。下 页上 页表明RC+-US返 回例例t=0时时,开关开关S闭合，已知闭合，已知 uC(0)=0，求求(1)电容电容电压和电流电压和电流,(2)uC80V时的充电时间时的充电时间t。解解(1)(1)这是一个这是一个RC电路零电路零状态响应问题，有：状态响应问题，有：)0(V)1(100)1(200 SCt-eeUut-RCts1051050035RCA2.0d200SCtRCteeRUtuCid(2)(2)设经过设经过t1秒秒，uC80V .t-et-s0458)1(1008012001m下 页上 页50010F+-100VS+uCi返 回2.2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应SLLUiRtiLdd)1(SLtLReRUi已知已知iL(0)=0，电路方程为：，电路方程为：LLLiii tiLRUS0RUiSLA0)0(tLRAeRUS下 页上 页iLS(t=0)US+uRL+uLR+返 回)1(SLtLReRUitLReUtiLuSLLdduLUSt0下 页上 页iLS(t=0)US+uRL+uLR+返 回例例1t=0时时,开关开关S打开，求打开，求t 0后后iL、uL的变化规律。的变化规律。解解这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：200300/20080eqRs01.0200/2/eqRLt 0下 页上 页A10)(LiA)1(10)(100LtetiV200010)(100100eqLtteeRtu返 回iLS+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReq例例2t=0开关开关k打开，求打开，求t 0后后iL、uL及电流源的电压。及电流源的电压。解解 这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：201010eqRV201020Us1.020/2/eqRL下 页上 页iL+uL2HUoReq+t 0A1/)(eq0RUiLA)1()(10tLetiV20)(10100ttLeeUtu)V1020(10510StLLeuiIu返 回102A5iLK+uL2H10+u7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。SddUutuRCCC以以RC电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：1.1.全响应全响应全响应全响应下 页上 页iS(t=0)US+uRC+uCR解答为：解答为：uC(t)=uC+uC特解特解 uC =US通解通解tCAeu =RC返 回uC(0)=U0uC(0+)=A+US=U0 A=U0-US由初始值定由初始值定A下 页上 页0)(0 teUUUAeUutSStSC强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)返 回2.2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0全响应全响应 =强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰物理概念清晰下 页上 页返 回全响应全响应 =零状态响应零状态响应 +零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC 着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算下 页上 页零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应S(t=0)USC+RuC(0)=U0+S(t=0)USC+RuC(0)=U0S(t=0)USC+RuC(0)=0返 回)0()1(0 teUeUuttSC零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0下 页上 页返 回例例1 t=0 时时 ,开关开关k打开，求打开，求t 0后的后的iL、uL。解解 这是这是RL电路全响应问题，电路全响应问题，有：有：s20/112/6.0/RLA64/24)0()0(LLiiA6)(20tLeti零输入响应：零输入响应：A)1(1224)(20tLeti零状态响应：零状态响应：A42)1(26)(202020tttLeeeti全响应：全响应：下 页上 页iLS(t=0)+24V0.6H4+uL8返 回或求出稳态分量：或求出稳态分量：A212/24)(Li全响应：全响应：A2)(20 tLAeti代入初值有：代入初值有：62AA=4例例2 t=0时时 ,开关开关K闭合闭合，求求t 0后的后的iC、uC及电及电流源两端的电压。流源两端的电压。解解这是这是RC电路全响电路全响应问题，有：应问题，有：)1,V1)0(FCuC下 页上 页稳态分量：稳态分量：V11110)(Cu返 回+10V1A1+uC1+u1V1011)(5.0tCetuA5)(5.0tCCetutiddV512111)(5.0tCCeuitu下 页上 页s21)11(RC全响应：全响应：V11)(5.0tCAetu返 回+10V1A1+uC1+u13.3.三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：teAtftf )()(令令 t=0+Atff 0)()0(0)()0(tffAcbftfadd其解答一般形式为：其解答一般形式为：下 页上 页特特解解返 回tefftftf )0()0()()(时间常数时间常数初始值初始值稳态解稳态解三要素三要素 f f)0()(分析一阶电路问题转为求解电路的三分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。个要素的问题。用用0+等效电路求解等效电路求解用用t的稳态的稳态电路求解电路求解下 页上 页直流激励时：直流激励时：)()0()(fftfteffftf )()0()()(A注意返 回V2)0()0(CCuuV667.01)1/2()(Cus2332eqCR033.1667.0)667.02(667.05.05.0 t eeuttC例例1已知：已知：t=0 时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的uC(t)解解tuc2(V)0.6670tCeuuutu)()0()()(CCC下 页上 页1A213F+-uC返 回例例2t=0时时 ,开关闭合，求开关闭合，求t 0后的后的iL、i1、i2解解三要素为：三要素为：s5/1)5/5/(6.0/RLA25/10)0()0(LLiiA65/205/10)(Li下 页上 页iL+20V0.5H55+10Vi2i1tLLLLeiiiti )()0()()(三要素公式三要素公式046)62(6)(55 t eetittLV10)5()4(5.0)(55ttLLeetiLtuddA225/)10()(51tLeutiA245/)20()(52tLeuti返 回三要素为：三要素为：s5/1)5/5/(6.0/RLA25/10)0()0(LLiiA65/205/10)(Li046)62(6)(55 t eetittLA22)20(2)(551tteetiA24)42(4)(552tteetiA0110)2010()0(1iA2110)1020()0(2iA25/10)(1iA45/20)(2i下 页上 页0等效电路等效电路返 回+20V2A55+10Vi2i1例例3已知：已知：t=0时开关由时开关由12，求换路后的求换路后的uC(t)解解三要素为：三要素为：V12624)(111iiiuCV8)0()0(CCuu下 页上 页4+4i12i1u+10/1011 iuRiueq2A410.1F+uC+4i12i18V+12返 回teuuutu)()0()()(CCCCV201212812)(Ctteetu下 页上 页s11.010eqCR例例4已知：已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流时开关闭合，求换路后的电流i(t)。+1H0.25F52S10Vi解解三要素为：三要素为：V10)0()0(CCuu0)(Cus5.025.02eq1CR返 回V10)()0()()(2CCCCtteeuuutu0)0()0(LLiiA25/10)(Lis2.05/1/2eqRLA)1(2)()0()()(5ttLLLLeeiiiti)A5)1(2(2)()()(25ttCLeetutiti下 页上 页+1H0.25F52S10Vi返 回已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能t=0 时合时合S1,t=0.2s时合时合S2，求两次换路后的电感电流，求两次换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2sA52/10)(5.02/1/A26.1)2.0(2iRLi26.122)2.0(2.05 eiA74.35)()2.0(2teti下 页上 页i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-返 回tei522(0 t 0.2s)2.0(274.35tei(t 0.2s)下 页上 页it(s)0.25(A)1.2620返 回7.7 7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应1.1.单位阶跃函数单位阶跃函数l 定义定义 )0(1)0(0)(t t tt (t)01l 单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟 )(1)(0)(000tt tt ttt(t-t0)t001下 页上 页返 回t=0 合闸合闸 i(t)=Is)(t 在电路中模拟开关的动作在电路中模拟开关的动作t=0 合闸合闸 u(t)=E)(tl 单位阶跃函数的作用单位阶跃函数的作用下 页上 页SUSu(t)(StUu(t)返 回Is)(tik)(tISu(t)起始一个函数起始一个函数tf(t)0)()sin(00tttt t0 延迟一个函数延迟一个函数下 页上 页tf(t)0t0)()sin(tt)()sin(0ttt 返 回l 用单位阶跃函数表示复杂的信号用单位阶跃函数表示复杂的信号例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t0-(t-t0)4()3()1(2)(ttttf例例 21t1 f(t)0243下 页上 页返 回)1()1()()(tttttf例例 41t1 f(t)0)1()1()(tttt)1()1(tt)(tt)4()3()1()()(tt tttf例例 31t1 f(t)0243下 页上 页返 回)()()1(tt u 例例 5t1 02已知电压已知电压u(t)的波形如图，的波形如图，试画出下列电压的波形。试画出下列电压的波形。)1()2()4(tt u )1()1()3(tt u )()1()2(tt u t1 u(t)022t1 011t 1 01 t1021下 页上 页返 回)()1()(tetuRCtC)(1)(teRtiRCt)(teiRCt和和0 teiRCt的区别的区别2.2.一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。中产生的零状态响应。阶跃响应阶跃响应下 页上 页iC +uCRuC(0)=0)(t注意返 回)(teiRCt0 teiRCtt01it01i下 页上 页tuC10返 回tiC0激励在激励在 t=t0 时加入，时加入，则响应从则响应从t=t0开始。开始。t-t0RCCeRi 1(t-t0)(10 tteRRC-t不要写为：不要写为：下 页上 页iC(t-t0)C +uCRR1t0注意返 回)5.0(10)(10ttuS求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t）例例下 页上 页10k10kus+-ic100FuC(0)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0)=0等效等效返 回)5.0(10)(10ttuS应用叠加定理应用叠加定理下 页上 页)(5t5k+-ic100F)5.0(5t5k+-ic100F)(t5k+-ic100Fs5.01051010036RCmA )(51dd2CtetuCitC)()1()(2t tetuC阶跃响应为：阶跃响应为：返 回由齐次性和叠加性得实际响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：)5.0(51)(51 5)5.0(22teteittCmA)5.0()()5.0(22tetett下 页上 页)(5t5k+-ic100F)5.0(5t5k+-ic100F返 回)5.0()()5.0(22teteittC0)5.0(1)(5.00ttttei2C)5.0(21)5.0(2)5.0(22C632.0 )1(tttteeeeei下 页上 页1)5.0(1)(0.5sttt分段表示为：分段表示为：返 回分段表示为：分段表示为：s)0.5(mA 0.632-s)5.0(0 mA )(5)0.-2(-2C tetetittt(s)iC(mA)01-0.6320.5波形波形0.368下 页上 页)5.0(632.0 )5.0()()5.0(22tetteittC返 回上 页 换路后的电路有纯电感构成的结点（或割集）或换路后的电路有纯电感构成的结点（或割集）或有由电感和独立电流源构成的结点（或割集），有由电感和独立电流源构成的结点（或割集），且结点上各电感的电流值且结点上各电感的电流值iL(0-)与电流源电流的初与电流源电流的初始值的代数和不等于零，始值的代数和不等于零，在上述两种情况下，求初始值，必须遵循换路在上述两种情况下，求初始值，必须遵循换路前后电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系，即前后电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系，即(0)(0)kkqq(0)(0)kkkkC uC u(0)(0)kk(0)(0)k kk kL iL i 或或 或或返 回