自相关与互相关

第五章信号处理初步信号处理的目的：1、分离信、噪，提高信噪比。2、从信号中提取有用的特征信号。3、修正测试系统的某些误差，如传感器的线性误差、温度影响等。第一节数字信号处理的基本步骤一、数字信号处理的基本步骤图5-1数字信号处理系统简图1、预处理是指在数字处理之前，对信号用模拟方法进行的处理。把信号 变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。(1) 信号电压幅值处理，使之适宜于采样；(2) 过滤信号中的高频噪声；(3) 隔离信号中的直流分量，消除趋势项；(4) 如果信号是调制信号，则进行解调。信号调理环节应根据被测对象、信 号特点和数学处理设备的能力进行安排。2、A/D转换是将预处理以后的模拟信号变为数字信号，存入到指定的地方， 其核心是A/V转换器。信号处理系统的性能指标与其有密切关系。3、对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理 器完成，也可用通用计算机。目前分析计算速度很快，已近乎达到“实时”。4、结果显示一般采用数据和图形显示结果。第二节信号数字化出现的问题一、概述图5-2为模拟信号x(t)及其幅频谱X(f)图5-2原模拟信号及其幅频谱| T.图5 3再样园敏坂具蒿腕日|仆卜ITW.It 5 I来村见信弓,及其帜频请图5-6有限长离散信号及其幅瓶漕; II m / ii-1 V I - T打得述筮限甚幅.拓捎h1t713二 V图一5 一 7萩域采推函数及苴冷域函数m，#：， |*,hn.应匚.*3,，：、，“图5 8 DFT后的谱及其时域函数工U)p图5-3为等时距周期脉冲信号序列s（t）。图5-4为采样后的信号及其频谱图，时域相乘对应频域的卷积相乘。图5-5为窗函数，目的是用来从采样后的时间序列截取有限时间的一段。图5-6为窗函数阶段后的有限长离散信号图5-7为频域采样函数。图5-8为频域采样后的频谱二、时域采样、混叠和采样定理采样过程可以看作用等间隔的单位脉冲序列去乘模拟信号。这样，各采样点 上的信号大小就变成脉冲序列的权值，这些权值将被量化成相应的二进制编码。 其数学上的描述为，间隔为Ts的周期脉冲序列g。）乘模拟信号尤。g（t）由下式 表示，即的、）=为-戒；）n=0,1, 2, 3,由函数的筛选特性可知双，观=g 照-归典n=0,1, 2, 3,经时域采样后，各采样点的信号幅值为x（nTs）。采样原理如图5-9所示，其 中g（t）为采样函数。卜ML,&称为采样间隔，或采样周期，皿 *称为采样 频率。图5-9时域采样原理采样间隔的选择是一个重要的问题。采样间隔太小（采样频率高），则对定长 的时间记录来说其数字序列就很长（即采样点数多），使计算工作量增大；如果数 字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生很大的误差。若采样 间隔太大（采样频率低），则可能丢失有用的信息。例 对信号习=匝讽如盼和刑弓T飒如50t）进行采样处理，采样间隔 Ts=1/40，即采样频率&40Hz。请比较两信号采样后的离散序列的状态。解：因采样频率&40Hz，则t =Ts饵）=膈侦如 骨 M）=血吟再）心但匚)=)=血讴*化)=成)经采样后，在采样点上两者的瞬时值(图5-10中的“X”点)完全相同，即 获得了相同的数学序列。这样，从采样结果(数字序列)上看，就不能分辨出数字 序列来自于x1(t)还是x2(t)，不同频率的信号(t)和x2(t)的采样结果的混叠，造成 了 “频率混淆”现象。图5-10频率混叠现象(1)频率混淆的原因间距为T的采样脉冲序列的傅立叶变换也是脉冲序列，其间距为!T，即矶 t )= & (t - nT)。S (f ) = T (f - t_ )n=3s r=一3s由频域卷积定理可知，两个时域函数的乘积的傅里叶变换等于这两者傅里叶 变换的卷积，即X(t)s(t) o X (f) * S(f)考虑到H函数与其他函数卷积的特性，即将其他函数的坐标原点移至石函数 所在的位置，则上式可写为X (f) * s(f) = X (f) * T 乙(f 一 T) = T X (f 一 T) s r=一3ss r=一3s即为信号x(t)经间隔/的采样脉冲采样之后形成的采样信号的频谱，如图5-4 所示。一般地，采样信号的频谱和原连续信号的频谱X(Z)并不完全相同，即采样 信号的频谱是将X依次平移至采样脉冲对应的频率序列点上，然后全部叠 加而成，如图5-4所示。由此可见，一个连续信号经过周期单位脉冲序列采样以 后，它的频谱将沿着频率轴每隔一个采样频率fs就重复出现一次，即频谱产生 了周期延拓，延拓周期为后如果采样间隔Ts太大，即采样频率fs太低，频率平移距离fs过小，则移至各 采样脉冲对应的频率序列点上的频谱X(jf)/Ts就会有一部分相互交叠，使新合成 的X(jf)*G(jf)图形与X(jf)/Ts不一致，这种现象称为混叠。发生混叠后，改变了原 来频谱的部分幅值，这样就不可能准确地从离散的采样信号中威,)中恢复原来 的时域信号x(t) 了。如果尤是一个限带信号（信号的最高频率fc为有限值）,采样频率 =1任三可，那么采样后的频谱X（jf）*G（jf）就不会发生混叠，如图3.6所示。如果将该频谱通过一个中心频率为零（/=0），带宽为一 2的理想低通滤波器，就 可以把原信号完整的频谱取出来，这才有可能从离散序列中准确地恢复原信号 的波形。图5-11不发生混叠的条件（2）采样定理为了避免混叠，以便采样后仍能准确地恢复原信号，采样频率人必须不小 于信号最高频率旗的2倍，即，这就是采样定理。在实际工作中，一般 采样频率应选为被处理信号中最高频率的34倍以上。如果确知测试信号中的高频成分是由噪声干扰引起的，为满足采样定理并不 使数据过长，常在信号采样前先进行滤波预处理。这种滤波器称为抗混滤波器。 抗混滤波器不可能有理想的截止频率fc，在其截止频率fc之后总会有一定的过 渡带，由此，要绝对不产生混叠实际上是不可能的，工程上只能保证足够的精 度。而如果只对某一频带感兴趣，那么可用低通滤波器或带通滤波器滤掉其他频 率成分，这样就可以避免混叠并减少信号中其他成分的干扰。三、量化和量化误差连续模拟信号经采样后在时间轴上已离散，但其幅值仍为连续的模拟电压 值。量化又称幅值量化，就是将模拟信号采样后的尤3）的电压幅值变成为离散 的二进制数码，其二进制数码只能表达有限个相应的离散电平（称之为量化电 平把采样信号尤3二）经过舍入或者截尾的方法变为只有有限个有效数字的数， 这一过程称为量化。若取信号尤可能出现的最大值A，令其分为D个间隔，则 每个间隔的长度为R=A/D，R称为量化增量或量化步长。当采样信号*37；）落在 某一小间隔内，经过舍入或者截尾的方法而变为有限值时，则产生量化误差， 如图5-12所示。Si罪，a图5-12信号的D=6等分量化过程一般又把量化误差看成是模拟信号作数字处理时的可加噪声，故而又称之为舍入噪声或截尾噪声。量化增量D越大，则量化误差越大，量化增量大小，一 般取决于计算机A/D卡的位数。例如，8位二进制为28=256,即量化电平R为 所测信号最大电压幅值的1/256。四、截断、泄漏和窗函数傅里叶变换是研究整个时域和频域的关系。然而，当运用计算机实现工程 测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时 间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间 片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅 里叶变换、相关分析等处理（见图5-13）。也航也那阳柘|图5-13信号的周期延拓信号的截断就是将无限长的信号乘以有限宽的窗函数。“窗”的意思是指透 过窗口能够“看到”原始信号的一部分，而原始信号在时窗以外的部分均视为 零。周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面从数学的角度来看这种处理产 生的误差情况。设有余弦信号尤在时域分布为无限长（，仲），矩形窗的时域表达式为1 N款1时项傅里叶变换为当用如图5-14所示的矩形窗函数w(t)与图5-15(a)所示的余弦信号尤(t)相乘 时，对信号截取一段(-匚)，得到截断信号xT(t)=x(t)wR(t)。根据傅里叶变换关 系，余弦信号的频谱Xj)是位于f0处的石函数，而矩形窗函数wR(t)的频谱为 sincf)函数，按照频域卷积定理，则截断信号xT(t)的频谱XT(f)应为畦00是一个频带无限宽的sinc函数，其频谱为无限带宽，幅值随增大 逐渐衰减，如图5-14(a)所示。即使是限带信号(频带宽度为有限值)，如图5-15 所示的谐波信号，被截断后也必然成为无限带宽函数。这说明信号的能量分布 扩展了。图5-14窗函数及其频谱(a)未被截断的谐波信号(c)谐波信号被截断(b)未被截断的谐波信号的频谱X(f)(d)截断后的谐波信号的频谱xtf)图5-15信号截断与能量的泄漏现象将截断信号的谱XTj)与原始信号的频谱X(jf)相比较可知，它已不是原来的 两条谱线，而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后，其频谱发 生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象 称之为频谱能量泄漏。信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数WR是一个频带 无限的函数，所以即使原信号尤是限带信号，而在截断以后也必然成为无限带 宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样 频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致 一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。如果增大截断长度乙即矩形窗口加宽，则窗谱WR(f)将被压缩变窄(1/T减 小)。虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分 量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T趋于无穷大时，则窗谱WR(f) 将变为石(国)函数，而,(f)与X(f)的卷积仍为X(f)，这说明，如果窗口无限宽，即 信号不截断，就不存在泄漏误差。为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数 称为窗函数简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度 趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。为此，在 时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。五、频域采样、时域周期延拓和栅栏效应信号的采样并加窗处理，其时域可表述为信号x(t)、采样脉冲序列s(t)和 窗函数(t)三者的乘积x(t) s(t)(t)，是长度为N的离散信号；由频域卷积 定理可知，它的频域函数是X(f)S(f)W(f)，这是一个频域连续函数。在计算机 上，信号的这种变换是用DFT进行的，而DFT计算后的输出则是离散的频域序 列。也就是说DFT不仅算出x(t)s(t)(t)的频谱，而且同时对其频谱X(f)*S (f)*W(f)实施了采样处理，使其离散化。这相当于在频域中乘上采样函数D(f)， d(t)是D(t)的时域函数。六、频率分辨率、整周期采样采样的实质就是摘取采样点上对应的函数值，其效果有如透过栅栏的缝观 看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，视 为零。这种现象称为栅栏效应。影响：不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。不过时域采样对比 起来时域采样如满足采样定理要求，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的 栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征 的成分，以致于整个处理失去意义。措施：(1) 提高频率采样间隔，即提高频率分辨力，则栅栏效应中被挡住的频 率成分越少。但同时 f=1/T是DFT算法固有的特征，在满足采样定理的情况 下，这往往加剧频率分辨力和计算工作量的矛盾。(2) 对周期信号实行整周期截断。第三节相关分析及其应用一、相关系数与相关函数e 3-妇 U 项对于两变量工、F之间的相关程度可以采用相关系数缶表示，相关系数定义 为式中，为数学期望；冉，为分别为随机变量博）和冲的均值，佑=理书）， 丹=明（刘；弓，r分别为随机变量e和典）的标准差，且小即珞根据柯西-许瓦兹不等式：E问）-声E皿-心同）-丹了）故知厨Ml。二、自相关及其应用1、自相关函数的定义耿）=!粟! J：电N+日）出2、自相关函数的性质（1） Rx（t）为实偶函数，即Rx（e）=Rx（-E）。由于耳（-牛!虹=?血 J；理 + 明（S d（f+ -r）=lim.4矽北=膈即（日）=Rx（t），又因为x（t）为实函数，所以自相关函数Rx（日）为实偶函 数。（2）时延日值不同，0）不同。当日二0时，Rx（D的值最大，并等于信号 的均方值对。耳（毋=控!商切（*+岬=挫!为）出=e+兴：=倒：相）=更注=由芦=孚=1这说明变量x（t）本身在同一时刻的记录样本完全成线性关系，是完全相关 的，其自相关系数为1。（3）Rx）值的范围为尺-买&。）壬月 凡。）=且月+尺同时，由式I乌1*1得尺-买&玉月 当8时，x（t）和X（t+E）之间不存在内在联系，彼此无关，即 寓具值tb）t，如果均值凡二0，则Rx（i） 一0。根据以上性质，自相关函数日）的可能图形如图5-16所示。叫)1人+航/X/-yr.、zO心F图5-16自相关函数的性质（5）当信号x（t）为周期函数时，自相关函数（丁）也是同频率的周期函数。若周期函数为x（t）=x（t+nT），则其自相关函数为尺印+刀）=亍J汇十英丁 +菖+力7）1 rJ=我成）忒t十挝=寮）例 求正弦函数用=任讴就+勿的自相关函数。解：此处初始相角但是一个随机变量，由于存在周期性，所以各种平均值可 以用一个周期内的平均值计算。根据自相关函数的定义尺（睥网打十以if =；匚；an（Ljt 十时）sinfiJi?十 t）十饵di=第_:伽网+冬)jLi jLj!-o J4伊一+ p) -COSfiJ(t +T+幽 + 回 dXcascur- cos(2十CUT + 2饵)掀coscardt+ -p-cog(2af + car +=COS2式中，T。为正弦函数的周期，T=m，即凡(t) = -cos；yz可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在巴=0时具有最大值2。它 保留了变量x(t)的幅值信息x。和频率m信息，但丢掉了初始相位伊信息。例如图5-17所示，用轮廓仪对一机械加工表面的粗糙度检测信号a(t)进 行自相关分析，得到了其相关函数Ra(T)。试根据Ra(Q分析造成机械加工表 面的粗糙度的原因。图5-17表面粗糙度的相关检测法解：观察a(t)的自相关函数Ra(t)，发现Ra(t)呈周期性，这说明造成粗糙 度的原因之一是某种周期因素。从自相关函数图可以确定周期因素的频率为f - OT根据加工该工件的机械设备中的各个运动部件的运动频率(如电动机的转 速，拖板的往复运动次数，液压系统的油脉动频率等)，通过测算和对比分析， 运动频率与所测结果接近的部件的振动，就是造成该粗糙度的主要原因。三、互相关及其应用1、互相关函数的定义若兢)、P。)为两个不同的信号典)和典)，则把称为函数x(t)与y(t) 的互相关函数，即S3)=控?了忒泗+ 击2. 互相关函数的性质(1) 互相关函数是可正、可负的实函数。因为x(t)和y(t)均为实函数,七)也应当为实函数。在日二0时，由于x(t)和y(t)可正、可负，故七仃)的值可正、 可负。y(2) 互相关函数是非奇函数、非偶函数，而且 七二Ryx(-D。对于平稳 随机过程，在t时刻从样本采样计算的互相关函数应与t-E时刻从样本采样计算 的互相关函数一致，即z H- r )d(f t )M)=既?或G出=糜?戏-心了Q -=骅!旋-珈)枇=期!十(t)出=”)互相关函数不是偶函数，也不是奇函数，RxyU)与Ryx(T)在图形上对称于 纵坐标轴，如图3.20所示。(3) Rxy3)的峰值不在舌二0处。R疽)的峰值偏离原点的位置品反映了两信 号时移的大小，相关程度最高，如图3.21所示。在电时，Rxy(日)出现最大值， 它反映x(t)、y(t)之间主传输通道的滞后时间。图5-18互相关函数的对称性图5-19互相关函数的性质(4) 互相关函数的取值范围：广闩口(沪字j(5) 两个统计独立的随机信号，当均值为零时，则Rxy(日)=0。将随机信号 x(t)和y(t)表示为其均值和波动分量之和的形式，即戏)=虬十怂，则0。）= 果! J：e）F（t +日冲=妙!冉+烦圳丹+ *# +砂廿1 rr=limy L 任闩十小。十E）十丹&缶十+您用=耳打）+必因为信号x（t）与y（t）是统计独立的随机信号，所以 5）=。所以M。当用F = n时，&。= 口。（6）两个不同频率的周期信号的互相关函数为零。由于周期信号可以用谐波 函数合成，故取两个周期信号中的两个不同频率的谐波成分源）=4 wlii（ W十&）,尸=虽sin（约*十日十#）进行相关分析，则=*蓦忒山侄十河1 rjt=一 I 4瓦血（神十的遇（砰03）十8-钥出弓aJ T j-马，*ce 一叱）t +0日一伊）-ccis（3 4-妃（纳2日一野） dJ跖=0（7）两个不同频率正余弦函数不相关（8）周期信号与随机信号的互相关函数为零。由于随机信号y（t+Q在时间 t-t+舌内并无确定的关系，它的取值显然与任何周期函数x（t）无关，因此，xyR （日）二0。例 求用）=砂既时十C P=了艇秫十舛矶的互相关函数R （日）。解：踞t）=网;成十T殖1 rTt= 和H sin（qr十涉）sinfU0十。十田一饵杭=p-co3（tyf 一饵）由此可见，与自相关函数不同，两个同频率的谐波信号的互相关函数不仅保 留了两个信号的幅值xo、y0信息、频率信息，而且还保留了两信号的相位任信 息。3、互相关函数的应用（1）在混有周期成分的信号中提取特定的频率成分（在噪声背景下提取有 用信息）做由2.必诉命A R坏用瑚反：响成M响*1图5-20利用互相关分析仪消除噪声的机床主轴振动测试系统框图（2）用相关分析法分析复杂信号的频谱。已Ju丘思偌号直心）图5-21利用相关分析法分析信号频谱的工作原理框图（3）线性定位和相关测速。图5-22利用相关分析进行线性定位实例第四节功率谱分析及应用信号经过频谱分析，可以求得信号的频率成分和结构，并进而分析系统的 传输特性，通过频谱分析，还可以对被测对象进行振动监测和故障诊断。信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而 帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。一、自功率谱密度函数1、定义假定：(1) x(t)是零均值的随机过程(2) 没有周期分量x-s(f )= R G-5 dT-s X相关函数满足傅立叶变换的条件M |R(c)dT 8 T o- T 8 T:.s (f )= lim L|x(f)2rrf 、 rri 1IX / 8 T利用这一关系式，可以直接对时域信号进行傅立叶变换来计算功率谱。4、功率谱的估计在实际中无法按照定义的公式求随机过程的功率谱，只能用有限长度7的样 本记录来计算样本功率谱，作为信号功率谱的初步估计。S模拟信号：(f )= 1 X TG (f )= AX N(f )2X(f )2数字信号：S (k)= N x(k)|2G (k)= N |xx(t) x(n )X (k )模方 IX (k)2 平均 X (k)2 计算方法：N=Sx (k )理 (r )5、应用:(1) 可分析系统幅频特性S (f)=|H(f )2 . S (f )yx通过对输入、输出自谱的分析，角信息。(2) 判断信号中是否有周期成分可以得出系统的幅频特性，但丢失相声()二、互谱密度函数1、定义如果互相关函数七)满足傅立叶变换的条件，则定义 %(=顷忿-睥dR,膈 df.R, 1)二七(f )IFTSxy (f)称为信号x(t)和y(t)的互谱密度函数，简称互谱。2、功率谱的估计模拟信号：。)=上X*(f)Y(f) xjti iS (f)= 1X (f) Y *(f ) yxT i i数字信号：S ()= X*(k)Y(k) xy N i iS (k)= NX(kY*(k)初步估计：有偏估计、非一致估计a 2 (f )L 2G (f)，随机误差大，估计值不能用。分段平均：分成q段，每段时长T =%q。G (f) = 1G (f) + G (f) + + G (f)=之 X (f) |2 xq x 1 x 2x q qTii=1当各段周期图不相关时，a 2G x (f )=6俱 (f)为进一步增大平滑效果，可使相邻各段之间重叠，以便在同样T凸之下增 总加段数。实践表明，相邻两端之间重叠50%效果最佳。现代谱分析方法：最大熵谱估计、ARMA谱估计3、应用：(1)用于计算系统的频率响应函数。S (f)= H()S (f)xyx不仅包含幅频信息，同时包含相频信息，提供了一种用实验方法得到系统频 率响应函数的方法。(2)可在强噪声背景下分析系统的传输特性A )f，(t )+ ； (t )+ 2 (t )+3 (t)R G)= R G)+ R G)+ RG)+ R G)Uxxxn 1xn 2xn 3根据相关特性，同频相关，不同频不相关。R G)= R G)S (f )= S (f )= H(f)S (f )xyxxx由此可见，通过互相关可以去除系统中的噪音，但无法排除输入端测量噪音的 影响。(3) 在线测试。(4) 评价系统输入一一输出因果性。0 r f矣易1相干函数。r 2(f )r 1 线性相干xy