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第 3 章 中值定理与导数的应用 内容概要 名称 主要内容 （ 3.1、 3.2） 3.1 中值 定理 名称 条件 结论 罗尔 中值 定理 )(xfy ：（ 1）在 a,b 上连续；（ 2）在 )(a,b 内可导；（ 3） )()( bfaf 至少存在一点 )(a,b 使得 0)(/ f 拉格 朗日 中值 定理 )(xfy ：（ 1）在 a,b 上连续；（ 2）在 )(a,b 内可导 至 少 存 在 一 点 )b,a( 使得 )(/ f ab afbf )()( 柯西 中值 定理 )(xf 、 )(xg ：（ 1）在 a,b 上连续 ， 在 )(a,b 内可导；（ 2）在 )(a,b 内每点处 0)(/ xg 至少存在一点 )(a,b 使得 ab afbfg f )()()( )(/ / 3.2 洛必 达 法则 基本形式 00 型与 型未定式 通分或取倒数化为 基本形式 1） 型 ：常用通分的手段化为 00 型或 型； 2） 0 型 ：常用取倒数的手段化为 00 型或 型，即： 000 1 / 0 或 0 1 / 0 ； 取对数 化为 基本形式 1） 0 型：取对数得 0 0ln00 e ，其中 000 ln 0 0 1 / 0 或 0 ln 0 0 1 / 0 ； 2） 1 型：取对数得 ln11 e ， 其中 00ln 1 0 1 / 0 或 ln 1 0 1 / 0 ； 3） 0 型：取对数得 ln00 e ， 其中 000 ln 0 1 / 0 或 0 ln 0 1 / 0 。 课后习题全解 习题 3-1 1.下列函数 在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 。 （ 1） 51132)( 2 .,xxxf ； （ 2） 303)( ,xxxf 。 知识点 ：罗尔中值定理。 思路 ：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程 0)(/ f ，得到的根 便为所求。 解 ：（ 1） 32)( 2 xxxf 在 511 ., 上连续，在 )5.1,1( 内可导，且 0)51()1( .ff ， 32)( 2 xxxf 在 511 ., 上满足罗尔定理的条件。令 ( ) 4 1 0f 得 )511(41 ., 即为所求。 （ 2） xxxf 3)( 在 30, 上连续，在 )30(, 内可导，且 0)3()0( ff ， xxxf 3)( 在 30, 上满足罗尔定理的条件。令 ( ) 3 023f ，得 )30(2 , 即为所求。 2.验证拉格朗日中值定理对函数 254 23 xxxy 在区间 10, 上的正确性。 知识点 ：拉格朗日中值定理。 思路 ：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程 (1) (0 )() 10fff ，若得到的根 10 , 则 可验证定理的正确性。 解 ： 32( ) 4 5 2y f x x x x 在 10, 连续，在 )10(, 内可导， 254 23 xxxy 在 区间 10, 上满足拉格朗日中值定理的条件。又 2)0(2)1( ,ff ， 2( ) 12 10 1f x x x ， 要使 (1) (0 )( ) 010fff ， 只要 ： 5 13 (0 1)12 , ， 5 1 3 (0 1)12 , ，使 (1) (0 )() 10fff ，验证完毕。 3.已知函数 4)( xxf 在区间 21, 上满足 拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的 。 解 ： 要使 (2) (1)() 21fff ， 只要 33 154 1 5 4 ，从而 3 15 (1 2) 4 , 即为满足定理 的 。 4.试证明对函数 rqxpxy 2 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 总是位于区间的正中间。 证明 ：不妨设所讨论的区间为 a,b ，则函数 rqxpxy 2 在 a,b 上连续，在 )(a,b 内可导，从 而有 ( ) ( )() f b f af ba ，即 ab rqaparqbpbq )()(2 22 ， 解得 2ab ，结论成立。 5.函数 3)( xxf 与 1)( 2 xxg 在区间 21, 上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满 足定理的数值 。 知识点 ：柯西中值定理。 思路 ：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f b f ag g b g a ，得到的根 便为所求。 解 ： 3)( xxf 及 2g( ) 1xx在 21, 上连续，在 )21(, 内可导，且在 )21(, 内的每一点处有 ( ) 2 0g x x ，所以满足柯西中值定理的条件。 要使 ( ) (2) (1)( ) (2) (1)f ffg gg ， 只要 3723 2 ，解 得 )21(914 , ， 即为满足定理的数值。 6.设 )(xf 在 10, 上连续，在 )10(, 内可导，且 0)1( f 。求证： 存在 )10( , ，使 ()() f f 。 知识点 ：罗尔中值定理的应用。 思路 ：从 ff )()(/ 结论出发，变形为 0)()(/ ff ，构造辅助函数使其导函数为 )()(/ xfxxf ， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常 用的方法。 证明 ：构造 辅助函数 )()( xxfxF ， ( ) ( ) ( )F x f x xf x 根据题意 )()( xxfxF 在 10, 上连续，在 )10(, 内可导，且 0)1(1)1( fF ， 0)0(0)0( fF ，从而由罗尔中值定理得 ：存在 )10( , ，使 ( ) ( ) ( ) 0F f f ，即 ()() f f 。 注 ：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使 ()() fxfx x ，只要 ( ) 1 ( ) l n ( ) l n l n ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) ( )f x x f xf x x x f x x f xf x x x f x 只要设 辅助函数 )()( xxfxF 7.若函数 )(xf 在 )(a,b 内具有二阶导函数，且 )()()( 321 xfxfxf )( 321 bxxxa ， 证明：在 )( 31,xx 内至少有一点 ，使得 ( ) 0f 。 知识点 ：罗尔中值定理的应用。 思路 ：连续两次使用罗尔中值定理。 证明 ： )(xf 在 )(a,b 内具有二阶导函数， )(xf 在 21,xx 、 32,xx 内连续， 在 )( 21,xx 、 )( 32,xx 内可导，又 )()()( 321 xfxfxf ， 由罗尔定理，至少有一点 )( 211 ,xx 、 )( 322 ,xx ， 使得 1( ) 0f 、 2( ) 0f ；又 ()fx 在 21, 上连续，在 )( 21, 内可导 ， 从而由罗尔中值定理， 至少有一点 )( 21, )( 31,xx ，使得 ( ) 0f 。 8.若 4次方程 043223140 axaxaxaxa 有 4 个不同的实根，证明： 0234 322130 axaxaxa 的所有根皆为实根。 知识点 ：罗尔中值定理的应用。 思路 ：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。 证明 ：令 43223140)( axaxaxaxaxf 则由题意， )(xf 有 4 个不同的实数零点，分别设为 4321 ,x,x,xx ， )(xf 在 21,xx 、 32,xx 、 43,xx 上连续，在 )( 21,xx 、 )( 32,xx 、 )( 43,xx 上可导， 又 0)()()()( 4321 xfxfxfxf ， 由罗尔中值 定理，至少有一点 )( 211 ,xx 、 )( 322 ,xx 、 )( 433 ,xx 使得 1 2 3( ) ( ) ( ) 0f f f ，即方程 0234 322130 axaxaxa 至少有 3 个实根，又 三次方程最多有 3个实根，从而结论成立。 9.证明：方程 015 xx 只有一个正根。 知识点 ：零点定理和罗尔定理的应用。 思路 ：讨论某些 方程 根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结 论。零点定理往往用来 讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。 解 ：令 1)( 5 xxxf ， )(xf 在 10, 上连续，且 01)1( f ， 01)0( f ， 由零点定理，至少有一点 )10( , ，使得 01)( 5 f ； 假设 015 xx 有两个正根，分别设为 1 、 2 （ 21 ）， 则 )(xf 在在 21, 上连续，在 )( 21, 内可导，且 0)()( 21 ff ， 从而由罗尔定理，至少有一点 )( 21, ，使得 4( ) 5 1 0f ，这 不可能。 方程 015 xx 只有一个正根。 10.不用求出函数 )4)(3)(2)(1()( xxxxxf 的导数，说明方程 ( ) 0fx 有几个实根， 并指出它们所在的区间。 知识点 ：罗尔中值定理的应用。 思路 ：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。 解 ： )4)(3)(2)(1()( xxxxxf 在 21, 、 32, 、 43, 上连续， 在 )21(, 、 )32(, 、 )43(, 内可导，且 0)4()3()2()1( ffff ， 由罗尔中值定理，至少有一点 )21(1 , 、 )32(2 , 、 )43(3 , ， 使得 1 2 3( ) ( ) ( ) 0f f f ，即方程 ) 0fx 至少有三个 实根， 又方程 ( ) 0fx 为三次方程，至多有三个实根， ( ) 0fx 有 3 个实根，分别为 )21(1 , 、 )32(2 , 、 )43(3 , 。 11.证明下列不等式： （ 1） baba a r c ta na r c ta n ； （ 2） 当 1x 时， exex ； （ 3） 设 0x ，证明 xx )1(ln ； （ 4） 当 0x 时， xx 1 1)11(ln 。 知识点 ：利用拉格朗日中值定理。 思路 ： 用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数 ()y f x ，通过式子 ( ) ( )() f b f af ba （或 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f ba ）证明的不等式 。 证明 ：（ 1）令 xxf arctan)( ， )(xf 在 a,b 上连续，在 )(a,b 内可导， 由拉格朗日中值定理，得 21a r c t a n a r c t a n ( ) ( ) 1a b f b a b a b a 。 （ 2）令 xexf )( )1( x ， )(xf 在 1,x 上连续，在 )1(,x 内可导， 由拉格朗日中值定理，得 eex )(xe 1 ， x1 ， eexxexeee x )1()1( ，从而当 1x 时， exex 。 （ 3）令 )1ln()( xxf )0( x ， )(xf 在 0,x 上连续，在 )0(,x 内可导， 由拉格朗日中值定理，得 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 0 ) ( ) ( 0 ) 1x x f xx ， x0 ， xx 11 ， 即 0x ， xx )1ln( 。 （ 4）令 xxf ln)( )0( x ， )(xf 在 1 xx, 上连续，在 )1( xx, 内可导， 由拉格朗日中值 定理，得 11l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( ) ( 1 0 )x x f x ， xx 1 ， x 111 ，即 当 0x 时， xx 1 1)11ln( 。 12.证明等式： )1(1 2a r c s ina r c t a n2 2 xxxx . 知识点 ： ( ) 0 ( )f x f x C （ C 为常数 ）。 思路 ：证明一个函数表达式 )(xf 恒等于一个常数， 只要证 ( ) 0fx 证明 ：令 )1(1 2a r c s ina r c t a n2)( 2 xxxxxf ， 当 1x 时，有 1ar c s in1ar c tan2 ；当 1x 时，有 22 2 2 2 2 222 2 2 1 2 ( 1 ) 2 2 2 1 2 2() 1 ( 1 ) 1 ( 1 )121 ( ) 1 x x x xfx x x x xxx x 0)1 2(1 2 22 xx ， ( ) (1)f x C f ； )1(1 2a r c s ina r c t a n2 2 xxxx 成立。 13.证明：若函数 )(xf 在 )( ,- 内满足关系式 ( ) ( )f x f x ，且 1)0( f ，则 xexf )( 。 知识点 ： ( ) 0 ( )f x f x C 思路 ： 因为 ( ) ( ) 1xxf x e e f x ，所以当设 ( ) ( )xF x e f x 时，只要证 ( ) 0Fx 即可 证明 ：构造辅助函数 ( ) ( )xF x e f x ， 则 ( ) ( ) ( ) 0 xxF x e f x e f x ； ( ) ( 0 ) 1xF ( x ) e f x C F xexf )( 。 14.设函数 )(xf 在 a,b 上连续，在 )(a,b 内有二阶导数，且有 bcac,fbfaf )(0)(0)()( ， 试证在 )(a,b 内至少存在一点 ，使 ( ) 0f 。 知识点 ：拉格朗日中值定理的应用。 思路 ：关于导函数 )()( f n 在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析 各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结 论。 证明 ： )(xf 在 a,c 、 c,b 上连续，在 )(a,c 、 )(c,b 内可导， 由拉格朗日中值定理，至少有一点 )(1 a,c 、 )(2 c,b ， 使得 2 ( ) ( )( ) 0f c f bf cb ， 1 ( ) ( )( ) 0f a f cf ac ； 又 ()fx 在 21, 上连续，在 )( 21, 内可导，从而至少有一点 )( 21, ， 使得 21 21 ( ) ( )( ) 0f f f 。 15.设 )(xf 在 a,b 上可微，且 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )f a , f b , f a f b A , 试证明 )(/ xf 在 )(a,b 内至少有两个零点。 知识点 ：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。 思路 ： 要 证明在某个区间 )(a,b 内导函数至少存在两个零点， 只要证该函数在 a,b 上有三个零点，即可 以利用罗尔中值定理，得出结论。 证明 ： ( ) ( )( ) li m 0 xa f x f afa xa ， 由极限的保号性知， )( 1a, （不妨设 21 b-a ），对于 )( 1a,x ，均有 0)()( ax afxf ， 特别地， )( 11 a,x ，使得 0)()( 1 1 ax afxf ， 得 Aafxf )()( 1 ； 同理，由 ( ) 0f b , 得 )( 22 b,x （ 2 2 b-a ），使得 0)()( 2 2 bx bfxf ， 从而得 Abfxf )()( 2 ； 又 )(xf 在 21,xx 上连续， 由介值定理知，至少有一点 )( 21,xx 使得 Af )( ； )(xf 在 a, 、 ,b 上连续，在 )(a, 、 )(,b 内可导，且 Abffaf )()()( ， 由罗尔中值定理知，至少有一点 )(1 a, 、 )(2 ,b ，使得 12( ) ( ) 0f f ，结论成立。 16.设 )(xf 在闭区间 a,b 上满足 ( ) 0fx ，试证明存在唯一的 bcc,a ，使得 ( ) ( )() f b f afc ba 。 知识点 ：微分中值定理或函 数单调性的应用。 思路 ：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的 单调性得出结论。 证明 ：存在性。 )(xf 在 a,b 上连续，在 )(a,b 内可导， 由拉格朗日中值定理知，至少有一点 )(a,bc ，使得 ( ) ( )() f b f afc ba 。 唯一性 的证明如下： 方法一 ：利用反证法。假设另外存在一点 )(a,bd ，使得 ( ) ( )() f b f afd ba ， 又 ()fx 在 c,d （或 d,c ）上连续，在 )(c,d （或 )(d,c ）内可导， 由罗尔中值定理知，至少存在一点 )()( a, bc,d （或 )()( a, bd, c ），使得 ( ) 0f ， 这与 )(xf 在闭区间 a,b 上满足 ( ) 0fx 矛盾。从而结论成立。 方法二 ： )(xf 在闭区间 a,b 上满足 ( ) 0fx ， ()fx 在 a,b 单调递增， 从而存在存在唯一的 )(a,bc ，使得 ( ) ( )() f b f afc ba 。结论成立。 17.设函数 )(xfy 在 0x 的某个邻域内具有 n 阶导数，且 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f , 试用柯西中值定理证明： )10()()( )( n! xfx xf nn 。 知识点 ：柯西中值定理。 思路 ：对 )(xf 、 nxxg )( 在 0,x 上连续使用 n 次柯西中值定理便可得结论。 证明 ： )(xf 、 nxxg )( 及其各阶导数在 0,x 上连续，在 )0(,x 上可导， 且在 )0(,x 每一点处， ( 1) ( ) ! 0ng x n x ，又 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f , ， 连续使用 n 次柯西中值定理得， ( 1 ) ( 1 )111 1 1 ( 1 )1 1 1( ) (0 )( ) ( ) (0 )( ) ( ) (0 )(0 ) (0 ) (0 ) nnn n n n n nnf fff ff x f x fx x g n n g n ! g )10()()( n!xf n ， 从而结论成立。 习题 3-2 1.用洛必达法则求下列极限： （ 1） xee xx x sinlim0 ； （ 2） x-a ax ax sinsinlim ； （ 3） 2 2 )2( sinlnlim x- x x ； （ 4） xarc x x cot )11ln(lim ； （ 5） xx x 2tanln 7tanlnlim0 ； （ 6） ee xx xx ln1lim 3 1 ； （ 7） xx- xx x sintanlim0 ； （ 8） xx x 2cotlim0 ； （ 9） 212 0lim xx ex ； （ 10） )1(lim 1 xx ex ； （ 11） )111(lim 0 xx ex ； （ 12） )ln11(lim 1 xx-xx ； （ 13） x x xa)1(lim ； （ 14） x x xsin0lim ； （ 15） x x x tan0 ) 1(lim ； （ 16） xx- xe x x ar ct an 1)1ln (lim 0 ； （ 17） x x x 1 0 )sin1(lim ； （ 18） x x x) 1(lnlim 0 ； （ 19） x x xx 12 )1(lim ； （ 20） 2)1tan(lim n n nn 。 知识点 ：洛必达法则。 思路 ：注意洛必达法则的适用范围。 该法则解决的是 未定型的极限问题，基本形式 为： 00 型与 型未定 式 ，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于 型与 0 型 的未定式，可通过通分或者取倒数的 形式化为基本形式；对于 0 型、 1 型与 0 型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可 以结合等价无穷 小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。 解 ： （ 1） 2c o slims inlim 00 x eexee xx x xx x ； （ 2） axax ax axax c o s1c o slims ins inlim ； （ 3） 8 1 8 s i nlim )2(4 c o slim )2(4 s i n c o s lim)2( s i nlnlim 222 2 2 x x x x x x x x xxxx ； （ 4） 1 )1( 1lim 1 1 )1( 1 limc o t )11l n ( lim 2 2 xx x x xx xa r c x xxx ； （ 5） 1 7c o s27t an 2t an2c o s7lim 2t an 2s ec2 7t an 7s ec7 lim2t anln 7t anlnlim 2 2 02 2 00 xx xx x x x x x x xxx ； （ 6） ee xxee xx xxxx 413limln1lim 2 1 3 1 ； （ 7） 22 30 0 0 0ta n se c 1 2 ta n se c 2l im l im l im l im 2si n 1 c o s si n c o sx x x xx x x x xx x x x x ； （ 8） 212s e c2 1lim2t a nlim2c o tlim 2000 xxxxx xxx ； （ 9） 2 2 2 2 1 0 3 1 3 0 2 1 0 1 2 0 lim2 2 lim1limlim x x x x x x x x e x ex x eex ； （或解为： 22 112 0l im l im l im 1 u uux xx u ueexe u ） （ 10） 1lim1 1 lim1 )1(lim)1(lim 1 2 1 2 1 1 x x x x x x x x e x ex x eex ； （或解为：当 x 时， 1 11xe x ， 1 1/ 1 1 /l im ( 1 ) l im l im 11 / 1 /xx x x x exxe xx ） （ 11） ( 1 ) 20 0 0 01 1 1 1 1 1l im ( ) l im l im l im1 ( 1 ) 2 2 xx x xex xxx x x xe x e x ex e x e x x ； （ 12） 2 1 2ln ln1lim1 ln lnlim ln)1( 1lnlim) ln 1 1(lim 1111 x x x xx xxx xxxxx x xxxx ； （或解为： l n ( 1 ) 1 21 0 0l n 1 ( 1 ) l n ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 )l im l im l im( 1 ) l n l n ( 1 ) uuux x u u x x x u u u u u ux x u u u 0 ln( 1) 1lim 22u uu ） （ 13） l n ( 1 )l i m l n ( 1 ) l i m l i m11l im ( 1 ) x x xaaa xxxxax x xx a ex e e e ； （ 14） 0 0 0 0l n 1 t a n s i nl i m s i n l n l i m l i m l i ms i n 0c s c c o t c s c 0l im 1x x x x x x xxxx x x x x x x x e e e e e ； （ 15） 220 0 0 1l n s in l im l im l imta n 0c ot c s c 0 0 0 0 1l im ( ) l im l im l im 1x x xxxxx x x x x xe e e ex ； （ 16） 2 2 0 2 00 )1( )1)(1(lim 1 11 1 1 lima r c t a n 1)1l n (lim xx exex x xe xx xe xx x x x x x 200( 1 ) 1l im l im 22 x x x xx x e e x exx ； （ 17） eeex xx xx x)( xxx xx s i n1 c o slim 0 s i n1lnlim 0 1 0 00 limlim)s i n1(lim ； （ 18） 00 2 00 11 () l n l n lnl i ml i m 11 1 l i m l i ml n 1 / 0 1l i m ( l n ) 1xx xxx xx xx xxxx x e e e ex ； （ 19） 1)1(lim 22 22 1 1l i m 1 11l i m)1l n (l i m1 2 xxx x x x xx x x xxx eeexx ； （ 20）令 2)1tan()( xxxxf ，则 2 22 01 l n ta n l n1 l im 0 1 ta nl im ( ta n ) l im ( ) tt ttxx tt x t txext 22 2 3 3 2 30 0 0 0 1 s in 2s e c ta n s e c ta n s in c o s 2l im l im l im l im 2 ta n 2 2 c o s 2t t t t ttt t t t t t t t t t t t t t te e e e 2 2 2200( 1 c o s ) 1 c o s 2 2 1li m li m266 3tt xxtte e e 2 131lim ( tan ) n n nen 2.验证极限 x xx x sinlim 存在，但不能用洛必达法则求出。 知识点 ：洛必达法则。 思路 ：求导后 极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。 洛必达法则不能解决 所有的 未定型极限问题。 解 ： 101)s in1(lims inlim x xx xx xx ， 极限 x xx x sinlim 存在； 若使用洛必达法则，得 x xx x sinlim xx xx c o slim11c o s1lim ， 而 x x coslim 不存在，所以不能 用 洛必达法则求出。 3.若 )(xf 有二阶导数，证明 20 ( ) 2 ( ) ( )( ) l i mh f x h f x f x hfx h 。 知识点 ：导数定义和洛必达法则。 思路 ：使用洛必达法则， 对极限中的函数上下求关于 h 的导数，然后利用导数定义得结论 。 证明 ： 200( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )l i m l i m 2hhf x h f x f x h f x h f x hhh 0 ( ) ( ) ( ) ( )l i m 2h f x h f x f x f x hh /001 ( ) ( ) 1 ( ) ( )l i m l i m ( )22hhf x h f x f x h f x fxhh ， 结论成立。 4.讨论函数 ,e ,exxf xx 21 1 1 )1()( 0 0 x x 在点 0x 处的连续性。 知识点 ：函数在一点连续的概念。 思路 ：讨论分段函数在分段点处的连 续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。 解 ： 1 20 0 0 1 11 1 ( 1 ) l n( 1 ) 1 l im l n l im l im1 2 00 ( 1 )l im ( ) l im xx x xx x x xx x e xxx xx xf x e e ee 011lim21x xe )0(21 fe ， )(xf 在 0x 处右连续； 又 )0()(lim 21 0 fexfx ， )(xf 在 0x 处左连续； 从而可知， ,e ,exxf xx 21 1 1 )1()( 0 0 x x 在点 0x 处连续。 5.设 )(xg 在 0x 处二阶可导，且 0)0( g 。 试确定 a 的值使 )(xf 在 0x 处可导，并求 (0)f ，其中 () , 0() , 0 gx x f x x ax 。 知识点 ：连续和可导的关系、洛必达法则。 思路 ：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。 解 ：要使 )(xf 在 0x 处可导，则必有 )(xf 在 0x 处连续， 又 )(xg 在 0x 处 (0) 0g ， xxgxfa xx )(lim)(lim 00 )0(0 )0()(lim /0 gx gxgx ； 由 导数定义 ， 0 ( ) ( 0 )( 0 ) lim 0 x f x ff x 200 () (0 ) ( ) (0 ) l im l im0 xx gx g g x g xx xx 0 ( ) ( 0 ) 1li m ( 0 )22x g x g gx 。 内容概要 名称 主要内容（ 3.3） 3.3 泰 勒公式 泰勒中值定理：如果 )(xf 在含有 0 x 的某个开区间 )(a,b 内具有 1n 阶的导数，则对任 一 )(a,bx ，有 200/00/0 )(!2 )()()()( xxxfxxxfxfxf )()(! )( 00)( xRxxn xf nnn ， 此公式称为 n 阶泰勒公式； 其中 1 0 )1( )( )!1( )()( n n n xxnfxR （ 介于 0 x 于 x 之间） ，称为拉格朗日型余项；或 )()( 0 nn xxoxR ，称为皮亚诺型余项。 n 阶麦克劳林公式： )(! )0(!2 )0()0()0()( )(2/ xRxnfxfxffxf nnn 其中 1)1( )!1( )()( n n n xn xfxR （ 10 ） 或 )()( nn xoxR 。 常用的初等函数的麦克劳林公式： 1） )(!21 2 nnx xonxxxe 2） )( )!12()1(!5!3s i n 22 1253 n nn xo nxxxxx 3） )( )!2()1(!6!4!21co s 12 2642 nnn xo nxxxxx 4） )(1)1(32)1l n ( 1132 nnn xonxxxxx 5） )(11 1 2 nn xoxxxx 6） )(! )1()1(!2 )1(1)1( 2 nnm xoxn nmmmxmmmxx 习题 3-3 1.按 )1( x 的幂展开多项式 43)( 24 xxxf 。 知识点 ：泰勒公式。 思路 ：直接展开法。求 )(xf 按 )( 0 xx 的幂展开的 n 阶泰勒公式，则依次求 )(xf 直到 1n 阶的导 数在 0 xx 处的值，然后带代入公式即可。 解 ： 3( ) 4 6f x x x ， (1) 10f ； 2( ) 12 6f x x ， f (1) 18 ； ( ) 24f x x ， (1) 24f ； 24)()4( xf ； 24)1()4( f ； 0)()5( xf ； 将以上结果代入泰勒公式，得 ( 4 )2 3 4( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 ! 2 ! 3 ! 4 !f f f ff x f x x x x 432 )1()1(4)1(9)1(108 xxxx 。 2.求函数 xxf )( 按 )4( x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。 知识点 ：泰勒公式。 思路 ：同 1。 解 ： 1() 2fx x ， 1(4) 4f ； 321() 4f x x ， 1(4) 32f ； 523() 8f x x ， 3(4) 256f ； 274 1615)( xxf )( ；将以上结果代入泰勒公式，得 ( 4 )2 3 4( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( )( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )1 ! 2 ! 3 ! 4 !f f f f f x f x x x x 4 27 32 )4( 128 5)4(512 1)4(641)4(412 x xxx ， （ 介于 x 与 4 之间）。 3.把 2 211)( xx xxxf 在 0x 点展开到含 4x 项，并求 )0()3(f 。 知识点 ：麦克劳林公式。 思路 ：间接展开法。 )(xf 为有理分式时通常利用已知的结论 )(11 1 2 nn xoxxxx 。 解 ： 322 2 2 2 1 1)1(211 211 2111)( xxxxx xxx xxxxx xxxf )(2221)(1)(1(21 44233 xoxxxxoxxx ； 又 由泰勒公式 知 3x 前的系数 (0) 03!f ，从而 (0) 0f 。 4.求函数 xxf ln)( 按 )2( x 的幂展开的带有皮亚诺型余项的 n 阶泰勒公式。 知识点 ：泰勒公式。 思路 ：直接展开法，解法同 1；或者间接展开法， )(xf 为对数函数时，通常利用已知的结论 xx )1ln( )(1)1(32 1132 nnn xonxxx 。 方 法一 ： （直接展开） 1()fxx ， 1(2) 2f ； 21()fx x ， 1(2) 4f ； 32()fxx ， 1(2) 4f ； nnn xnx,f )!1()1()( 1)( ， nnn nf 2 )!1()1()2( 1)( ； 将以上结果代入泰勒公式，得 ( 4 )2 3 4( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )l n ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1 2 ! 3 ! 4 !f f f fx f x x x x! n(n) xnf )2(! )2( )2( nxo 23 )2(21)2(212ln xx 33 )2(23 )2()2(21)1( 1 nnnn xoxn 。 方 法二 ： 2)2 2(212 22ln)2 21l n (2ln)22l n (ln)( xxxxxxf 2313 )2(21)2(212ln)2 2()2 2(1)1()2 2(31 xxxoxnx nnn )2()2(21)1()2(23 1 133 nnnn xoxnx 。 5.求函数 xxf 1)( 按 )1( x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 n 阶泰勒公式。 知识点 ：泰勒公式。 思路 ：直接展开法，解法同 1；或者间接展开法， )(xf 为有理分式时通常利用已知的结论 21 21111 ( 1 )nnnx x x xx 。 方 法一 ： 21()fx x ， ( 1) 1f ； 32()fxx ， ( 1) 2f ； 46()fx x ， ( 1) 6f 1)( !)1()( nnn x nx,f ， !)1( !)1()1( 1)( nnf nnn ； 将以上结果代入泰勒公式，得 231 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 ! 2 ! 3 !f f ff x x xx nn xnf )1(! )1()( 1)1( )1()!1( )( nn xn f nxxxx )1()1()1()1(1 32 1 2 1 )1()1( n n n x （ 介于 x 与 1 之间） 。 方 法二 ： nxxxx xx )1()1()1()1(1)1(1 11 32 )1()1( 12 1 nn n x n32 )1()1()1()1(1 xxxx 12 1 )1()1( nn n x （ 介于 x 与 1 之间） 。 6.求函数 xxey 的带有皮亚诺型余项的 n 阶麦克劳林展开式。 知识点 ：麦克劳林公式。 思路 ：直接展开法，解法同 1；间接展开法。 )(xf 中含有 xe 时，通常利用已知结论 )(21 2 nnx xon!x!xxe 。 方 法一 ： ( 1) xy x e ， (0) 1y ； ( 2) xy x e ， (0) 2y ； x(n) enx,y )( ， ny n )0()( ，将以上结果代入麦克劳林公式，得 23( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( )1 ! 2 ! 3 ! !( n )x n nf f f fx e f x x x x o xn !232 xxx )!1( nxn )( nxo 。 方 法二 ： !2)()!1(!21( 32112 xxxxo nxxxxxe n nx )!1( nx n )( nxo 。 7.验证 当 210 x 时，按公式 621 32 xxxe x 计算 xe 的近似值时，所产生的误差小于 010. ，并求 e 的近似值，使误差小于 010. 。 知识点 ：泰勒公式的应用。 思路 ：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。 解 ： 010 1 9 2 1 2 1 !4 2 !4!4)( 4 42 1 43 .xexexR ； 646048181211 .e 。 8.用泰勒公式取 5n ，求 21ln. 的近似值，并估计其误差。 知识点 ：泰勒公式的应用。 解 ：设 )1ln()( xxf ，则 ( 5 )25( 0) ( 0) ( 0)( ) ( 0) 1 ! 2 ! 5 !f f ff x f x x x 22xx 55x ，从而 1 8 2 3052042032022020)20(21ln 5432 .f. ；其 误差为： 00001070 620)1(6 1)( 66 65 .xxR 。 9.利用函数的泰勒展开式求下列极限： （ 1） )3(lim 23 3 xxxx x ； （ 2） 2 22 0 s in)(co s 1211lim 2 xex xx xx 。 知识点 ：泰勒展开式的应用。 思路 ：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。 解 ：（ 1） )11()31(lim)3(lim 2131 223 3 xxxxxxxx xx )1(12 )12 1(21 )1(211()1(o3311(lim 2222 xoxxxxxxx 21)1(8921(lim xoxx 。 （ 2） 2 2 122 02 22 0 )( c o s )1(211lim s i n)c os( 1211lim 22 xex xx xex xx xxxx 12 1 )(23 )(81 lim )(1()(21( )(2 )121(21 2 11( 2 11 lim 4 4 44 022222 4422 0 xox xox xxoxxox xo)xxx xx 。 10.设 0x ，证明： )1ln(22 xxx 。 知识点 ：泰勒公式。 思路 ：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特
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