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习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 则运动方程可表为： 补充题一、证明在由两种不同质量 M,m(Mm)的原子所组成的 一维复式格子中，如果波矢 q取边界值 （ a为相邻原子 间距），则在声学支上质量为 m的轻原子全部保持不动；在光 学支上质量为 M的重原子保持不动。 解：如图所示 令 为近邻原子间 的恢复力常数 01/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 设试探解： 将试探解代入方程得到： 由线性齐次方程组有非零解的条件得到： 02/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 当： 代入原方程组得到： 光学支： 声学支： 当： 光学支： B=0 声学支： A=0 03/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 解：格波总能量为： 式中 m为原子的质量。 补充题二、设有一纵波： 沿着一维单原子链传播，原子间距为 a，最近 邻互作 用的恢复 力常数为 试证明：每个原子对时间平均的总能量为： 04/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 求和遍及链上所有原子。总能量对时间的平均值为： 将 代入 得到 05/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 每个原子对时间的平均能量为： 根据一维单原子链的色散关系： 可以得到： 06/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 补充例题三：求一维复式格子晶格振动的总动量 解： 由 可以得到晶格振动的总动量 由： 07/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 当 当 对于长光学支： 对于长声学支： 08/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 解：在德拜模型下，晶体中的晶格振动被看成弹性波，假定某 支弹性波的方程为： 补充例题四、利用德拜模型估算： （ 1）在绝对零度下晶体中原子的均方位移； （ 2）在非零温度下原子均方位移和温度的关系； 则由该支格波引起的对时间的均方位移为： 09/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 假定晶体的体积为 V，密度为 D，则相应这支格波的平均动能 为： （ 1）由于绝对零度下相应于频率为 的零点能为： 相应于频率为 的那支格波引起的原子均方位移为： 10/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 考虑到晶体中存在有许多不同频率、不同模式的格波，因此总 的均方位移应对所有不同格波进行求和。又由于各振动模式间 是相互独立的，因此有： 当 N足够大时，振动频率趋于连续，求和可以用积分代替 11/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 将德拜模型的频率分布函数及最大频率代入得： （ 2）非零温度下相应于某频率的格波的平均能量应为格波能 量和该温度下该格波的平均声子数之积，即： 12/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 则在该温度下相应于该频率的原子均方位移为： 于是对应该温度下的原子均方位移为： 则相应该格波的平均动能为： 13/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 3.2 讨论 N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N个 格波解，当 M=m时与一维单原子链的结果一一对应 解：质量为 M的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 。 质量为 m的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。 牛顿运动方程 N个原胞 ， 有 2N个独立的方程 14/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 方程 的解 代回到运动方程 A、 B有 非零解 15/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 两种不同的格波的色散关系 1 22 2 2 1 22 2 2 ( ) 4 1 1 s i n () ( ) 4 1 1 s i n () m M m M aq m M m M m M m M aq m M m M 对应一个 q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总 的格波数目为 2N 16/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 两种色散关系如图所示 4 c o s 2 4 si n 2 aq m aq m 17/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 长波极限情况下 与一维单原子晶格格波的色散关系一致 18/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 3.3质量相同两种原子形成一维双原子链 ， 最近邻原子间的 力常数交错等于 和 ， 并且最近邻的间距 1) 求出色散关系和分析计算 处格波的频率值 2) 大致画出色散关系图 解： 绿色 标记的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 19/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 第 2n个原子和第 2n 1个原子的运动方程 体系 N个原胞 ， 有 2N个独立的方程 方程的解 令 20/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 A、 B有非零的解 ， 系数行列式满足 21/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 两种色散关系 22/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 色散关系图 两种色散关系 23/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 解 （ 1） 以 表示位于 l列 m行（ l,m）的原子在垂直所在平面方向 离开平衡位置的位移，仅考虑近邻原子的作用有： 24/34 补充例题五 、 设有由相同原子组成的二维正方格子点阵 ， 原子 的质量为 M， 晶格常数为 a， 近邻原子的恢复力常数为 。 （ 1） 假定原子只作垂直表面的横向振动 ， 求横向晶格振动的色 散关系； （ 2） 假定原子只在表面内振动 ， 求其晶格振动的色散关系； （ 3） 在长波情况下 ， 求出横向晶格振动的频率分布函数 。 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 令试探解为： 得到： （ 2）在平面内的原子位移为矢量，表为： 所受的力为： 则有： 25/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 令试探解为： 可以得到： 于是得到频谱关系： 26/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 （ 3）在长波情况下，横向晶格振动的色散关系为： 相应的频率分布函数为： 则： 27/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 3.6 计算一维单原子链的频率分布函数 () 设单原子链长度 波矢取值 每个波矢的宽度 状态密度 dq间隔内的状态数 对应 q， 取值相同， d间隔内的状态数目 dqNad 22)( 28/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 dqNad 22)( 一维单原子链色散关系 )2(s in4 22 aqm 令 两边微分得到 d间隔内的状态数目 29/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 22 0 12)( N 代入 频率分布函数 30/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 3.7 设三维晶格的光学振动在 q=0附近的长波极限有： 证明：频率分布函数 三维晶格振动的态密度 dq间隔内的状态数 dqqVqn 23 4)2()( 对 两边微分得到 31/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 将 dq 和 代入 得到 0 2/1 02/32 )( 1 4)( A Vf 时 为虚数，有 ( ) 0f 32/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 方法 2 振动模式密度函数 对于 q空间的等频率面 ， 波矢 q为常数 已知三维色散关系 33/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 因为对于光学波 ， 在 处振动频率具有最大值 1 / 2 002 3 / 2 0 1 () () 4 0 V f A 频率分布函数 34/34