量子力学参考答案.pdf

天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 1 量子力学与统计物理 习题参考答案 量子力学常用积分公式 (1) dxex a n ex a dxex axnaxnaxn = 1 1 )0( n (2) )cossin(sin 22 bxbbxa ba e bxdxe ax ax + = (3) = axdxe ax cos )sincos( 22 bxbbxa ba e ax + + (4) axx a ax a axdxx cos 1 sin 1 sin 2 = (5) = axdxx sin 2 ax a x a ax a x cos) 2 (sin 2 2 22 + (6) ax a x ax a axdxx sincos 1 cos 2 += (7 ax aa x ax a x axdxx sin) 2 (cos 2 cos 3 2 2 2 += ) )ln( 2 2 22 caxxa a c cax x + ( 0a ) (8) =+ dxcax 2 )arcsin( 2 2 2 x c a a c cax x + (aa ) (10) = 0 sin dx x ax 2 ( 0= an正整数) (12) a dxe ax 2 1 0 2 = (13) 121 0 2 2 !)!12( 2 + = nn axn a n dxex 注意：)12(531!)!12( = nn L 表示阶乘仅取奇数 (14) 1 0 12 2 ! 2 + + = n axn a n dxex (15) 2 sin 0 2 2 a dx x ax = (16) + = 0 222 )( 2 sin ba ab bxdxxe ax ( 0a ) + = 0 222 22 )( cos ba ba bxdxxe ax ( 0a ) 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 3 第二章 薛定谔方程 1. 一维运动粒子处于 = )0(0 )0( )( x xAxe x x 的状态，式中0，求 （1）归一化因子A； （2）粒子的几率密度； （3）粒子出现在何处的几率最大？ 解：（1）由波函数归一化定义，可得 1)()( 0 222 = dxexAdxxx x 由积分公式(11) 1 0 ! + = n nax a n dxxe可得 1 4)2( !2 3 2 12 2 0 222 = + A AdxexA x 求解，的得 2/3 2=A （2）粒子的几率密度 x exxxxP 223 4)()()( = （3）在极值点，由一阶导数 0 )( = dx xdP 可得方程 0)1(24 23 = x exx 解得方程的根 0=x；=x；/1=x 即为极值点。几率密度在极值点的值 0)0( =P；0)(lim = xP x ； 2 4)/1( = eP 由于P(x)在区间(0，1/)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/，)的一阶导数小 于零，是减函数，故几率密度的最大值为 2 4 e，出现在/1=x处。 2. 一维线性谐振子处于状态 tix Aetx 2 1 2 1 22 ),( = （1）求归一化因子A； （2）求谐振子坐标x的平均值； （3）求谐振子势能的平均值。 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 4 解：（1）由积分公式(12) a dxe ax 2 1 0 2 = ，可得 = 0 22 2222 2 dxeAdxeAdx xx 2 2 2 1 2 = A 2 A = 由归一化的定义 1= dx 得 =A （2） = dxxeAdxxxPx x 22 2 )( 因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 0=x （3） = dxxPxUU )()( = dxekx x 22 2 2 1 = 0 2 22 dxex k x 由积分公式(13) 121 0 2 2 !)!12( 2 + = nn axn a n dxex ，或教材P429附录I，可得 3 4 1 = k U 2 4 k = 将 2 =k、 h = 2 代入，可得 0 2 1 4 1 EU = h 即谐振子势能的平均值是总能量的一半，由能量守恒定律 UTE += 0 可得，动能的平均值为 UEUET = 00 2 1 即动能平均值和势能平均值相等，也是总能量的一半。 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 5 3设把宽为a的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有 = )2/|(|, )2/|(|,0 )( ax ax xU 试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为 2/| ,6,4,2,sin 2 ,5,3,1,cos 2 )( ax nx a n a nx a n a x n = = = L L 粒子的能量为 L h ,4,3,2,1, 2 2 2 22 = nn a E n 证明：势函数与时间无关，是定态问题。 由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外 2/|,0)( axx = 在阱内，波函数满足定态薛定谔方程 2/|)()( 2 2 axxEx = h 上式可变形为 0)( 2 )( 2 =+ x E x h 令 2 2 2 h E k =，则方程化为 0)()( 2 =+ xkx 该方程的通解为 kxBkxAx cossin)( += 在边界上，波函数应满足连续性条件，即 0)( 0)( 2/ 2/ = = += = ax ax x x 将通解代入有 0 2 cos 2 sin 0 2 cos 2 sin =+ =+ ka B ka A ka B ka A 由此可得 0 2 cos 0 2 sin = = ka B ka A 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 6 A和B不能同时为零，否则解无意义。0A，则必有 L,6,4,2,0 2 sin = n a n k ka n 0B，则必有 L,5,3,1,0 2 cos = n a n k ka n 由此可得方程的解为 = = = L L ,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )( nx a n A nx a n B x n 由归一化条件 =1dx nn 可知 1sin 2/ 2/ 2 2 = a a dxx a n A 即 = 2/ 0 2 2/ 2/ 2 2 2 2 cos1 2sin aa a dx x a n Adxx a n A = 2/ 0 2 22 cos1 2 a x a n dx a n n a A = 2/ 0 2/ 0 2 2 sin 2 2 aa x a n x a n n aA 1 2 0 2 22 = aA n n aA 求解，可得 aA /2= 同理可得， 12/cos 2/ 2/ 2 2 2 = aBdxx a n B a a 解得 aB /2= 故在阱内的波函数为 = = = L L ,6,4,2,sin 2 ,5,3,1,cos 2 )( nx a n a nx a n a x n 粒子的能量 L hh ,4,3,2,1, 22 2 2 2222 = nn a k E n 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 7 波函数的两个表达式还可统一为一个表达式 L,3,2,1), 2 (sin 2 )( =+= n a x a n a x n 书中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上，其解为 L,3,2,1,sin 2 )( = nx a n a x n 因此只要作坐标平移代换 2 1 a xx +=，将坐标原点移到势阱中心，立即可得到习题的结果。 6粒子在三维无限深势阱 = )2/|,2/|,2/|(|, )2/|,2/|,2/|(|,0 ),( czbyax czbyax zyxU 中运动，求粒子的波函数和能量。 解：势能不含时间是定态问题。在阱外，波函数 2/|,2/|,2/|,0),( czbyaxzyx = 在阱内，波函数满足定态薛定谔方程 2/|,2/|,2/|),(),( 2 2 2 czbyaxzyxEzyx = h 令 2 2 2 h E k =，则方程可化为标准形式 0),(),( 22 =+ zyxkzyx 令 )()()(),( zZxYxXzyx = 代入方程有 0 2 2 2 2 2 2 2 =+ XYZkZ dz d XYY dy d XZX dx d YZ 除以XYZ，可得 0 111 2 2 2 2 2 2 2 =+ kZ dz d Z Y dy d Y X dx d X 将k 2 已展开为三个分量的表达式，即 2222 zyx kkkk +=，并带入上式 0 111 222 2 2 2 2 2 2 =+ zyx kkkZ dz d Z Y dy d Y X dx d X 要使上面式成立，则要求三个方向的分量也成立，故必然有 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 z y x kZ dz d Z kY dy d Y kX dx d X = = = 即 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =+ =+ =+ ZkZ dz d YkY dy d XkX dx d z y x 由波函数的连续性可知在边界上 0)2/()2/( 0)2/()2/( 0)2/()2/( = = = cZcZ bYbY aXaX 由方程和边界条件可得 = = = L L ,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )( nx a n A nx a n A xX n = = = L L ,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )( mx b m B mx b m B yY m = = = L L ,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )( lx c l C lx c l C xZ l 由归一化条件可得 a AA 2 =； b BB 2 =； c CC 2 = = = = L L ,6,4,2,sin 2 ,5,3,1,cos 2 )( nx a n a nx a n a xX n 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 9 = = = L L ,6,4,2,sin 2 ,5,3,1,cos 2 )( mx b m b mx b m b yY m = = = L L ,6,4,2,sin 2 ,5,3,1,cos 2 )( lx c l c lx c l c xZ l 或 L,3,2,1), 2 (sin 2 )( =+= n a x a n a xX n L,3,2,1), 2 (sin 2 )( =+= m b y b m b yY m L,3,2,1), 2 (sin 2 )( =+= l c z c l c zZ l 波函数 LLL ,2,1;,2,1;,2,1 ), 2 (sin) 2 (sin) 2 (sin 8 ),( = += lmn c z c lb y b ma x a n abc zyx nml 能量 )( 2 )( 22 2 2 2 2 2 222 222 22 2 2 c l b m a n kkkkE zyxnml +=+= hhh 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 10 第三章 力学量的算符 1. 试用证明判断下列算符中哪些是厄米算符： d dx ， d i dx ， 2 2 d dx ， 2 2 d i dx 证明：设 () 1 r和() 2 r是粒子的两个任意波函数，则 (1) d dx () () ( ) 2* 12 1 * * * 11 12 2 2 * 1 2 dr d rrddyz dx dx dx dd dydz dx dydz dx dx dx d d dx + + + + + = = = = 所以， d dx 不是厄米算符 (2) d i dx *22 11 * * 21 12 * 1 2 dd i d dydz i dx dx dx dd i dydz dx i dydz dx dx dx d id dx + + + + + = = = 上式满足厄米算符的定义式，所以 d i dx 是厄米算符 (3) 2 2 d dx 22 *2 12 122 * * 212 12 1 * 2* * 2 11 1 22 2 dd ddydz dx dx dx ddd dd dydz dx dydz dx dx dx dx dx dx dd d dydz dx d dx dx dx + + + + + + = = = = 上式满足厄米算符的定义式，所以 2 2 d dx 是厄米算符 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 11 (4) 2 2 d i dx 22 *2 12 122 * * 21 22 * 2 1 22 dd i d dydz i dx dx dx dd i dydz dx i dydz dx dx dx d id dx = = = = 所以 2 2 d i dx 不是厄米算符 2. 一维线性谐振子处于能量算符的本征态， () () 22 1 22 2 21, 2 x xex = = h 求振子在此态的能量本征值 解法（一）：在第二章中一维线性谐振子可知，其本征态和能量本征值分别为 () () 22 1 2 2! x nn n x eHx n = 其中，() n Hx为厄米多项式 1 2 n En =+ h 与题设中的本征态相比较，可知题设本征态为n=2时的本征态() 2 x，所以振子 在() 2 x本征态的能量本征值 2 15 2 22 E =+ = hh 解法（二）（2012级电科俞梦婕等同学贡献）： 由定态薛定谔方程 =，一维线性谐振子的定态方程为 2 2 2 1 22 d kx dx += h 其中 42 2 k = h 将谐振子的本征态带入本征方程，为 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 12 () () () 22 22 22 1122 42 22 2 22 2 1 22 2 1 e2 1 e21 e2 1 2 xx x d xx x dx x + = hh 其中， () 22 22 112 22 64 42 2 2 e21 e 1 5 22 xx d x dx =+ 代入上式，并消去 22 1 2 e 2 x ，得 24 64 42 2 22 22 2 11 5 (2 1) (2 1) 22 xx x x + = hh 整理后，可得 42 2 55 5 22 2 = = = hh h h 所以 一维线性谐振子处于题中本征态的能量本征值为 5 2 h。 4. 设 和 是可对易的厄米算符，试证：（1） 是否是厄米算符？（2） ()2 +是否是厄米算符？（3）xx 是否厄米算符？ 解：设 () 1 r和() 2 r是粒子的两个任意波函数，则 （1） * * 12 12 dd + + = * 12 12 () ()dd + + = 由厄米算符的定义式可知， 是厄米算符。 （2）()2 + * 1 2 12 12 * 12 12 * 12 1 (+ 2 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ddd d = + =+ + = ） 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 13 2 + 是厄米算符。 （3） xx * * 12 1 2 1 2 * 12 12 21 12 12 * 12 12 (i ) () () () () ( ) () ( ) x xx xp d x d i x d xx d idydz x dx i dydz x x dx xd d idydz x dx i x d dx x px d xp d + = = = = = = hh hh xx 不是厄米算符 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 14 第四章 氢原子和类氢离子的波函数和能级 1试证 33 sin)(),( i erfr =为 2 L和 z L 的共同本征函数，并求出相应 的本征值。 证明： 33 sin)(),( i z erfirL = h ),(3 sin)(3 33 r erf i h h = = 满足 z L 的本征方程，是 z L 的本征函数，本征值是h3。 33 2 2 2 22 sin)( sin 1 )(sin sin 1 ),( i erfrL + = h 332 sin9)cossin3( sin 1 )( i erf = h 34222 sin9)sin3cossin9( sin 1 )( i erf = h 3322 )sin9sin3cossin9)( i erf = h 3322 sin3)1(cossin9)( i erf = h 3322 sin3)sin(sin9)( i erf = h 332 sin)(12 i erfh= ),(12 2 rh= 满足 2 L的本征方程，也是 2 L的本征函数，本征值是 2 12h。故),( r为 2 L和 z L 的共同 本征函数。 3氢原子处于基态，求电子出现在距离氢核二倍玻尔轨道半径 0 a以外的几率。 解： drrRrP a 2 2 2 1010 0 |)( = drer a ar a 0 0 /2 2 2 3 0 4 = de a a = 4 2 3 0 3 0 2 4 （注：此步采用分布积分法） += 4 2 )22( 2 1 eee 42 2)4(2)4( 2 1 += e 4 13 = e 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 15 4分别求出氢原子处于2s态)0,2( = ln和2p态)1,2( = ln时,电子径向分布几率 取最大值时的r值。这两个r值是否等于相应的波尔轨道半径? 解：（1）2s态径向分布几率 0 2 2 0 3 0 22 2020 2 2 1 |)( a r er a r a rRrP = 令 0 20 = dr dP 即 0)46)(2(4 6 2 00 00 2 0 00 2 0 2 0 =+= + a r a r eararra a r er aa r r a r 得 0 1 =r 02 2ar = 03 )53( ar += 04 )53( ar = = 5 r 因 0)()()( 520220120 = rPrPrP 所以 1 r、 2 r和 3 r不是最大点。 因 0)(,0)( 420320 ，所以 03 )53( ar +=是最大值点。波尔理论预测 2s态电子的轨道半径为n 2 a 0 =4a 0 。 （2）2p态电子的径向波函数 0 2 0 2/3 0 21 3 2 1 )( a r e a r a rR = 代入径向分布函数，可得 00 / 5 0 4 2 2 0 2 2/3 0 2 2021 24 3 2 1 |)( ara r e a r e a r a rRrP = = 令 0 )( 21 = dr rdP ，可得 0 14 24 1 2424 4 000 / 0 5 0 4 / 0 5 0 4 / 5 0 3 = = + ararar e ara r e aa r e a r 所以，r有三个解，即在r=0，r=4a 0 ，r=处，P 12 有极值。在r=0和r=处，P 12 =0；所以r=4a 0 时，P 12 有极大值， () max214 0 /4 5 0 4 0 02 )( 3 32 24 4 )4( 0 rP ea e a a aP ar = 2p态电子与波尔理论预测的轨道半径为n 2 a 0 =4a 0 相同。 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 16 5求出氢原子p态电子（l=1）当m=1时的角分布几率，所得结果与旧量子论关于电 子沿确定轨道运动的概念是否一致？ 解：p态电子在m=1时的角几率分布为 2 2 2 1111 sin 8 3 sin 8 3 |),(|)( = i eYP 若电子沿确定轨道运动，即沿确定空间曲线运动，则电子只应出现在该曲线上。但上式 表明角分布几率与无关，电子不是分布在曲线上，而是分布在空间一个相当宽的区域。故 电子不是沿确定轨道运动，与旧量子论概念不一致。 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 17 第五章 定态微扰论 原子的能级 1. 一维非线性谐振子处于势场2/,2/)( 243432 kxcxbxcxbxkxxU +=，求该 非线性谐振子基态的一级近似能量。 解：因一维谐振子的能量h += 2 1 nE n 无简并，且 243 kxcxbx +，故可采用非简并 定态微扰论的相关结论。 一维非线性谐振子的能量算符 HHH += 0 无微扰项 2/ 2 2 2 22 0 kx dx d H += h 为线性谐振子的能量算符。解本征函数可得其基态波函数为 22 2 1 0 )( x ex = 由无简并定态微扰论的能量一级近似表达式 dHE kk = * 及微扰项表达式 43 cxbxH +=，可得基态能量的的一级近似为 dxHHE 0 * 0000 = dxex c dxex b xx 2222 43 += 因第一项被积函数是奇函数，因此，该项积分为零，即 0 22 3 = dxex b x 第二项被积函数为 dxex c dxex c xx 2222 0 44 2 = （积分过程参见教材p429 附录I） 5 8 32 = c 4 4 3 c = 即 4 0 4 3 c E = 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 18 3. 有两个谐振子组成的耦合谐振子，其能量算符 21 2 2 2 1 2 0 2 2 2 1 )( 2 1 )( 2 1 xxxxppH + = 式中 21 xx为两谐振子的相互作用能量，可视为H 。试证： （1）此耦合谐振子的零级近似能量 0021 0 )1()1( +=+= hh NnnE LL ,2,1;,2,1,0, 2121 =+= nnNnn （2）此耦合谐振子第一激发态（N = 1）能量的一级修正 )2/( 0 h=E 证明： （1）采用定态微扰论，将能量算符表示为HHH += 0 ，其中， 21 xxH =为微扰项 无微扰时的能量算符表示为 02012 2 2 0 2 2 2 1 2 0 2 1 2 2 2 1 2 0 2 2 2 1 0 ) 2 1 2 1 () 2 1 2 1 ()( 2 1 )( 2 1 HHxpxpxxppH +=+=+= 设耦合谐振子的波函数为),( 21 xx，无微扰时的定态薛定谔方程 ),(),( ),( ),( 21 0 21 02 21 01 21 0 xxExxHxxHxxH =+= 因算符 01 H仅与x 1 有关、 02 H仅与x 2 有关，波函数),( 21 xx可分离变量，令 )()(),( 2121 xxxx = 则前述方程可分离为两个独立的方程 )()( 1 01 1 01 xExH = )()( 2 02 2 02 xExH = 02010 EEE += 每个独立的方程描述了一独立的一维谐振子，其能量 Lh Lh 2,1,0,) 2 1 ( 2,1,0,) 2 1 ( 202 02 101 01 =+= =+= nnE nnE 总能量 Lhh 2,1,0,)1()1( 210021 02010 =+=+=+=+= nnNNnnEEE 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 19 （2）当耦合谐振子处于第一激发态时，谐振子能量 001 2)1( hh =+= NE。与该能量 对应的谐振子有两种可能的状态：1、谐振子1处于第一激发态，谐振子2处于基态，此状 态表示为 )()(),( 20112111 xxxx =；2、谐振子2处于第一激发态，谐振子1处于基态， 此状态表示为 )()(),( 21102112 xxxx =。因此，第一激发态能级是二度简并的，应用 有简并定态微扰论求解能量的一级修改。 因简并度f=2，因此，久期方程为22行列式，即 0 22 21 12 11 = EHH HEH 微扰矩阵元 22 2 0211 2 112111 * 1111 )()( dxxxdxxxdxdxHH = 由于被积函数是奇函数，在对称区间上积分为0，故 0 11 =H 同理 0 2112 * 1222 = dxdxHH 2 10 2212021101112112 * 1112 )()( )()()()( = = dxxxx dxxxxdxxxxdxdxHH 积分 = = = 2 2 2 22 )()( 3 2 2 2 10 22 dxexdxxxx x 故， 0 2 12 22 h =H 同理， 0 21 2 h =H 代入久期方程有 0 2 2 0 0 = E E h h ，解得 0 2 h =E 问题得证！