概率论与数理统计习题集.doc

概率论与数理统计习 题 集 学号_ 姓名_ 班级_计算机学院35第一章 概率论的基本概念一、填空题1，在一副扑克牌（52张）中任取4张，则4张牌花色全不相同的概率为_。2，设A,B,C,D是四个事件，则四个事件至少发生一个可表示为_；四个事件恰好发生两个可表示为_。3，已知5把钥匙中有一把能打开房门，因开门者忘记是哪把能打开门，逐次任取一把试开，则前三次能打开门的概率为 _。4，10件产品中有3件次品，从中随机抽取2件，至少抽到一件次品的概率是_。5，设两个随机事件A，B互不相容，且，则_。二、选择题1，某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9中的任意一个，则由完全不同数字组成的电话号码的个数是（ ）。 A，126 B，1260 C，3024 D，50402，若,则（ ）。 A，0.4 B，0.6 C，0.8 D，0.73，在书架上任意放置10本不同的书，其中指定的三本书放在一起的概率为（ ）。 A，1/15B，3/15C，4/5D，3/54，若，则（ ）。 A，0.6 B，0.7 C，0.8 D，0.55，设为A，B任意两个随机事件，且，则下列选项必然成立的是（ ）。 A， B， C， D，三、计算题1，10个零件中有3个次品，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。2，有三箱同型号的灯泡，已知甲箱次品率为1.0%，乙箱次品率为1.5%，丙箱次品率为2%。现从三箱中任取一灯泡，设取得甲箱的概率为1/2，而取得乙、丙两箱的机会相同，求取得次品的概率。若已知取出的灯泡是次品，则此灯泡是从甲箱中取出的概率是多少？3，已知，求。4，某人投篮，命中率为0.8，现独立投五次，求最多命中两次的概率。5，证明：若事件A、B、C相互独立，则事件A分别与BC，BC，B-C相互独立。6，设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求： （1） 顾客买此箱玻璃杯的概率； （2） 在顾客买的此箱玻璃杯中，恰有一只是残次品的概率。 7，设一批产品中，一、二、三等品各占70%，20%，10%，从中任取一件，结果不是三等品，试求取到的是一等品的概率。8，设一盒子中有5个不同的硬币，每一个经抛掷出现字面的概率不同：，。试求（1）任取一个硬币抛掷，出现字面的概率；（2）若将同一硬币再抛一次，又出现字面的概率。9，将两种信息分别编码为0和1传送出去，由于随机干扰，接收有误，0被误收为1的概率为0.02，1被误收为0的概率为0.01，在整个传送过程中，0与1的传送次数比为7:3，试求当接收到的信息是0时，原发信息也是0的概率。10，甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，试求是甲射中的概率。第二章 随机变量极其分布一、填空题1，已知随机变量XN(3,16)，且P(Xc)=P(Xc)，则c=_。2，若随机变量X服从区间（1，6）上的均匀分布，则方程有实根的概率是_。3，设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则_。 4，设，已知F(2.5) = 0.9938，则概率P(9.95X10.05) = _。5，设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则c=_。二、选择题1，设随机变量，则当s增大时，概率是（ ）。 A，单调增大； B，单调减小； C,保持不变； D，增减不定；2，已知离散型随机变量X的分布函数为F(x)，则P(aXb)=（ ）。 A,F(b)-F(a)； B，F(b)-F(a)-P(X=a)； C，F(b)-F(a)-P(X=b)；D，F(b)-F(a)+P(X=a)；3，设随机变量X的分布函数为F(x)，则随机变量Y=2X+1的分布函数G(y)是( )。 A， B， C， D，4，设随机变量X的取值范围是-1，1，以下函数中可以作为X的概率密度的是（ ）。 A， B， C， D， 5，设是某个连续型随机变量的概率密度函数，则的取值范围是（ ）。 A，； B，； C，； D，； 三、计算题1，设随机变量X的密度函数为，求：（1）常数A； （2）； （3）分布函数。2，某种电池的寿命服从正态分布，其中a = 400，s = 35，求x，使寿命在a-x与a+x之间的概率不小于0.9。3，设随机变量X服从区间（2，5）上的均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观察值大于3的概率。4，一个罐子装有m个黑球和n个白球，无放回地抽取r个球(r m+n)，问： （1）抽到白球数的分布律是什么？ （2）有放回呢？ 5，一电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟呼唤次数大于10的概率。6，设随机变量X的概率函数密度为，求： （1）常数C；（2）X落在区间 (0,1) 内的概率。7，对某一目标进行射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为p，求： （1）射击次数的分布律；（2）射击次数的分布函数。8，设随机变量X的分布律为X0 1 2 3 4 5pk1/12 1/6 1/3 1/12 2/9 1/9试求随机变量的分布律和分布函数。9，设X在区间0, 1上服从均匀分布，试求Y=-2lnX的分布函数和概率密度函数。10，设某长街道有n个路口，各路口都安置红绿灯，且出现什么颜色灯相互独立，红绿颜色显示时间为1：2，今有一汽车沿长街行驶，若以X表示该汽车首次遇到红灯之前已通过路口的个数，试求随机变量X的概率分布。第三章 多维随机变量及其分布一、填空题1，设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，则_。2，设随机变量X，Y相互独立，且都服从参数是1/3的（01）分布，则P(X=Y)=_。3，设随机变量X与Y相互独立，且它们的分布律均为：X1 3P1/3 2/3则P(XY)=_。4，设X和Y为两个随机变量，且，则_。5，设随机变量X与Y独立，XB(2,p)，YB(3,p)，且， 则_。二、选择题1，设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，则（X，Y）关于Y的边缘分布函数（ ）。 A，； B，； C，； D，2，设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，其分布律为X Y 0 1 2-1010.2 0 0.10 0.4 00.1 0 0.2 则F（0，1）=（ ）。 A，0.2； B，0.4； C，0.6； D，0.8 3，设随机变量X和Y的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。 A，；B，； C，； D，4，设相互独立的两个随机变量与具有同一分布律，且的分布律为0 1 则随机变量的分布律为（ ）。A，； B， ；C，； D，。5，设随机变量X与Y相互独立，其概率分布为0 1 0 1 则以下结果正确的是（ ）。 A，X=Y； B，P(X=Y)=1； C，P(X=Y)=0； D，三、计算题1，二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。2，设随机变量与相互独立，分别服从参数为的指数分布，试求的密度函数。3，设随机变量相互独立且服从同一分布，试证明随机变量与相互独立。4，设二维连续型随机变量的联合概率密度为： （1）求随机变量和的边缘概率密度；（2）和是否独立？（3）求。5，设随机变量和独立同分布，且的分布律为：，求的分布律。6，将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）。7，设随机变量X与Y相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，求Z= X +Y的分布函数及概率密度函数。8，设随机变量X1与X2独立同分布，记随机变量，。求：（1）的联合分布律；（2）判断Y1与Y2是否独立；（3）求，。9，设随机变量X，Y的概率密度分别为 ，且X与Y相互独立，求的概率密度函数。10，设随机变量（X，Y）服从区域B上的均匀 ，其中B为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域，试求：（1）（X，Y）的联合概率密度函数及分布函数；（2）关于X，Y的边缘密度；（3）。第四章 随机变量的数字特征一、填空题1，设X与Y是两个相互独立的随机变量，且X服从（-1，2）上的均匀分布，Y服从参数为4的指数分布，则_，_。2，则_。3，设随机变量且，则X的概率密度_。4，设随机变量X的分布律为，则EX=_，_，_。5，设随机变量X服从分布，已知，则参数n=_，_。二，选择题1，如果随机变量X与Y满足，则下列说法正确的是（ ）。 A，X与Y相互独立； B，X与Y不相关； C，； D，2，设随机变量X，Y相互独立，且，则X + 2Y服从的分布为（ ）。 A，N(1,4)； B，N(1,8)； C，N(1,14)； D，N(1,22)3，设随机变量X的分布函数为 则E(X) =（ ）。 A，2； B，1； C，1/2； D，34，设随机变量的方差相关系数则方差（ ） A，40； B， 34； C， 25.6； D， 17.6 5，设，其中、为常数，且，则（ ）。 A，； B，；C，； D，。三、计算题1，游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个正点的5分钟，25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早上8点的第X分钟到达底层电梯处，且X服从0,60上的均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。2，设二维随机变量（X，Y）的密度函数为 试求：（1）EX，DX；（2），。3，设随机变量X和Y的分布律分别为 X0 1Y1 21/3 2/31/4 3/4且，试求的联合分布和协方差。4，设连续型随机变量X的概率密度函数为 试求方差。5，设X和Y是两个相互独立的随机变量，同服从正态分布，令，其中a，b为不等于0的常数，讨论Z1与Z2的相关性和独立性。6，设离散型随机变量X服从泊松分布，已知，试求参数。7，设连续型随机变量Y服从指数分布，令随机变量 试求：（1）的联合分布律，和是否独立？（2）的分布律；（3）；（4）和的相关系数。8，设随机变量，且X与Y的相关系数，令，试求Z的分布及X与Z的相关系数。9，设二维随机变量（X，Y）的联合概率分布律为 Y X -1 0 1-11a 1/8 1/41/8 1/8 b3/8+a2/8+ba+1/8 2/8 b+1/41 试求：（1）EXY；（2）当a，b取何值时，X与Y不相关；（3）当a，b取何值时，X与Y既不相关，又独立？10，设随机变量X的概率密度函数为 （1）试求； （2）试求和的相关系数； （3）试问和是否相互独立，为什么？第五章 大数定律及中心极限定律计算题1，某宾馆一次性可接待1980人供旅游住宿，根据经验电话预约的客户入住率为90%，经理室一共接受了2200个电话预约，求实际入住人数在19502010之间的概率。2，一大批产品中优质品占一半，现每次抽一件，看后放回再抽，问在100次抽取中取到优质品的次数超过45次的概率为多少？ 3，设一个复杂系统由几个独立的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需要有80%部件工作，试问至少需要多少部件才能使系统的可靠度为0.95。4，设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？5，计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？6，某商店出售某种商品，根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布。假定各周的销售量是相互独立的。用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率。第六章 样本及抽样分布一、填空题1，设总体，其中是已知参数，是未知参数，从该总体抽取容量为4 的样本，则的分布为_。2，设是取自总体的样本，则统计量服从_分布。3，设统计量，则_。4，为样本。若要求， 则_。5，总体X与Y相互独立，且，。与是两总体中抽取的独立样本。与是两样本方差，则_。二、选择题1，设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）。A，； B， ；C，； D，2，为样本，则服从的变量为（ ）。 A，； B，； C，； D，3，为样本，则统计量服从的分布为（ ）。 A，； B，； C，； D，4，设总体，为样本。与是样本均值与方差，则服从的分布为（ ）。 A，； B，； C，； D，5，设总体，是未知参数，是来自总体的一个样本，则下列结论正确的是（ ）A，；B，；C，；D，三、计算题1，设总体，为样本，为样本均值，为使，问n至少应取多少？2，设总体，为样本， 分别表示样本均值和样本二阶中心距，试求，。3，从正态总体中抽取容量为n的样本，为使样本均值位于区间（1.4，5.4）内概率不小于0.95，试问样本容量n至少应取多少？4，设为正态总体的样本，试确定c，使随机变量服从t分布。5，设总体，为总体的样本，分别为样本均值和样本方差，而是第n+1个个体指标，试证明统计量服从t分布。6，设总体X的概率密度函数为 为总体的样本。试求（1）的数学期望与方差；（2）；（3）。第七章 参数估计一、填空题1，设总体，未知，是总体的样本，则参数的矩估计量是_；最大似然估计量是_。2，设是来自均匀分布总体的一个样本，则的矩估计量是_；最大似然估计量是_。3，设为总体的样本，则的无偏估计量为_。4，设总体，为样本，则当常数C =_时，为的无偏估计。5，设总体，为样本，则的一个无偏估计量为_。二、计算题1，设总体X的概率密度函数为 其中为未知参数，从总体中抽取容量为4 的样本，对样本的一组观察值27，25，29，35，试求（1）的最大似然估计值；（2）概率的最大似然估计值。2，设总体X的密度函数为 求参数的矩估计量和最大似然估计量。3，总体，为总体的一个样本。求常数 k , 使为s 的无偏估计量。4，设某电子元件失效时间T的概率密度函数为 其中，为参数，为总体的样本，求：（1）若已知，的最大似然估计量；（2）若已知，的最大似然估计量。5，设总体X的分布律为 X0 1 2 3 其中为未知参数，0，2，1，2，3是总体的样本，试求：（1）的最大似然估计值；（2）的矩估计值6，设总体X的概率密度函数为 其中为未知参数，为总体的样本，试求的最大似然估计量，并问是的无偏估计量吗？7，设一批零件长度，从这批零件中抽取10件，测得长度，计算的样本均值为，标准差为，给定置信度，试求总体标准差s 的置信区间。8，设甲、乙两个工厂生产的蓄电池的电容量X和Y，分别服从正态分布，且未知，分别独立的从两个总体中抽取容量为，的样本，经计算得样本均值分别为，样本方差分别为，试求总体均值差的置信度为90%的置信区间。9，设某种油漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0。设干燥时间总体服从正态分布，求的置信度为0.95的置信区间。10，从一批零件中抽取10个，测得其直径尺寸与标准尺寸之间的偏差（单位：mm）分别为2，1，-2，3，2，4，-2，5，3，4。假设零件直径尺寸与标准尺寸之间的偏差是服从的随机变量，求（1）的无偏估计值；（2）的无偏估计值；（3）的置信度为0.95的置信区间。第八章 假设检验一、填空题1，若总体，要检验，应该用 检验法。2，单个正态总体的下列检验：（1）：， ：（已知），检验统计量为 ，拒绝域为 。（2）：， ：（未知），检验统计量为 ，拒绝域为 。3，设为正态总体的样本均值，未知，欲检验假设（已知）。应用 检验法；检验统计量为 。4，设和分别为来自两个正态总体和的样本均值，参数，均未知，欲检验假设，应用 检验法；检验统计量为 。5，设为正态总体容量为n的样本均值，为样本方差，当已知时，检验假设：；：（已知）的统计量为 ；拒绝域为 ；当未知时，检验假设：；：的统计量为 ；拒绝域为 。二、计算题1，设袋装食品，每袋100g，其中维生素的含量不得少于21mg，设含量，现取17袋，测得每袋含量，计算得样本均值，样本标准差，试问在显著性水平下，该食品的含量是否合格？2，某食品厂生产袋装花生米，每袋净重，为未知参数，今开箱随机抽取10袋，经计算样本均值，标准差，给定，试问能否认为每袋净重不小于180？3，某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆），今在生产的一批导线中取样品9根，测得样本标准差s=0.007（欧姆）。设总体服从正态分布，问在水平=0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大？4，某种零件的单个长度的均值为10cm，标准差为1cm，更新设备后，从所生产的零件中抽取100个，测得零件长度的平均值，问设备更新后零件的平均长度是否有显著变化？（）5，在两种工艺条件下生产细纱，各取100个试样，试验得强力数据，经计算得： 甲工艺：， 乙工艺：， 试问使用两种工艺生产的细纱强力有无显著差异（）？6，从甲，乙两个灯泡厂分别抽取30个灯泡，测试寿命，甲厂灯泡平均寿命为，样本标准差为，乙厂灯泡平均寿命为，样本标准差为，假设甲厂灯泡寿命，乙厂灯泡寿命，其中参数未知。试问在显著水平下，能否断定甲厂灯泡比乙厂灯泡好？7，（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力。已知kg，现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值kg。问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570kg？（） （2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布。某日抽取5个样品，测得其纤度为：1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 。问这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验。8，食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500g。每隔一定的时间，需要检验机器的工作情况。现抽得10罐，测得其重量（单位：g）的平均值为，样本方差。假定罐头的重量，试问机器的工作是否正常（显著性水平）？习题答案第一章一、填空题 1，2， 3， 4， 5，0.3二、选择题 1，C 2，D 3，A 4，B 5，B三、计算题1， 2，0.3636 3，0.4565 4，0.05792 5，略6，（1）0.94 （2）0.085 7，7/9 8，（1）0.5 （2）3/4 9，0.9956 10，0.75第二章一、填空题 1，3 2，4/5 3，1-3e-2 4，0.9876 5，1二、选择题1，C 2，D 3，A 4，C 5，A三、计算题1，（1） （2）1/6 （3） 2， 3，20/274，（1） （2）5，（1）0.0298 （2）0.00284 6，（1） （2）0.316 7，（1） （2）8，Y的分布律Y0 1 4 9 1/3 1/4 11/36 1/99， 10，第三章一、填空题 1，1/4 2，5/9 3，7/9 4，5/7 5，80/243二、选择题1，D 2，C 3，A 4，D 5，D三、计算题1，（1） （2） （3）独立2，3，略4，（1） （2）不独立 （3）79/965， 2346，（1） YX300102030（2）1/87， 8，（1）略 （2）不独立 （3）1/3；1/39，10，（1） （2）略 （3）略第四章一、填空题 1，1/8 57/16 2，6 3， 4，1/3 2/3 35/24 5，8 0.2二、选择题1，B 2，C 3，C 4，C 5，D三、计算题1，11.67 2，（1） （2） （3）3，XY0 1 21/3 1/5 7/15 4，5，略6，7，（1） X2X10 101 0 1 不独立 （2）M0 1 （3） （4）8，Z服从正态分布，9，（1） （2），或， （3），10，（1） （2） （3）不独立第五章1，2，3， 至少需要25个部件4，5，（1） （2）6， 第六章一、填空题 1，Y t(2) 2， 3， 4， 5，二、选择题1，D 2，B 3，C 4，B 5，C三、计算题1， 2， 3，4， 5，略 6，（1） （2） （3）第七章一、填空题 1， 2，矩估计 最大似然估计 X(n)，X(1)中的一切值 3，是无偏估计量，不唯一 4， 5，二、计算题1，（1） （2）2，矩估计量 最大似然估计量3，4，（1） （2）5，（1） （2）6， 不是的无偏估计量7，的置信区间为 8，置信区间为 9，置信区间为 10，（1） （2） （3）置信区间为 第八章一、填空题 1，Z 2，（1） （2） 3，检验法， 4，F检验法， 5， 二、计算题1，统计量观察值 t的观察值没有落在拒绝域中，故接受原假设2， 拒绝原假设。3，接受原假设。4，故拒绝原假设，认为长度有显著变化5，由于，故接受原假设，认为强力没有显著变化6，故拒绝原假设，可以断定甲厂产品比乙厂产品好7，（1）故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg （2） 故拒绝原假设8，接受原假设