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第2课时映射与函数,一,二,一、映射【问题思考】1.图中的对应是从集合A到B的函数吗?提示:不是.因为函数是建立在两个数集基础上的.,一,二,2.如图所示的对应有什么共同特点?,提示:上述3种对应虽然形式不同,但都满足集合A中的任意一个元素,在B中都有唯一元素与之对应.,一,二,3.填写下表:,一,二,4.做一做:已知集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,下列A到B的四种对应法则中,能够构成映射的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B,一,二,二、映射与函数的关系【问题思考】1.函数与映射有何区别和联系?提示:(1)区别:对于映射f:AB来说,集合A,B可以是数集以外的其他非空集合;而函数定义中的两个集合必须是非空数集.(2)联系:映射是函数概念的一种扩展,即将数集扩展到任意非空集合,函数是一种特殊的映射,所以映射不一定都是函数,而函数都是映射.2.填空.(1)映射是函数概念的推广.(2)函数是数集到数集的特殊映射.,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)映射f:AB与映射f:BA是同一个映射.()(2)映射f:AB中,A中的元素可以没有象与之对应.()(3)映射f:AB中,B中的任一元素均有原象与之对应.()(4)一一映射f:AB中,B中的任一元素均有原象与之对应.()(5)映射是函数,函数也是映射.()答案:(1)(2)(3)(4)(5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,映射与一一映射的概念【例1】(1)如图,下列对应法则:其中是映射的个数为()A.3B.4C.5D.6(2)判断下列对应法则是否是从A到B的映射,若是映射,是否是一一映射?A=R,B=x|x0,f:xy=|x|;A=x|x0,B=y|y0,f:xy=;A=x|x2,xZ,B=y|y0,yN,f:xy=x2-2x+2.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析:(1)所谓映射,是指多对一的对应,一对一的对应,且A中的元素无剩余,以此来判断既准确又迅速;(2)判断某一映射是否是一一映射,应抓住两点:原象不同,象不同;每个象都必须有原象.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1)解析:这三个图所示的对应法则都符合映射的定义,即A中每一个元素在对应法则下,在B中都有唯一的元素与之对应.对于,A的每一个元素在B中有2个元素与之对应,所以不是A到B的映射.对于,A中的元素a3,a4在B中没有元素与之对应,所以不是A到B的映射.综上可知,能构成映射的个数为3.答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)解:因为0A,在f作用下0|0|=0B,所以不是映射,更不是一一映射.对于任意xA,都有,故是映射.又因为对B中任一元素,在A中有且仅有一个原象,所以为一一映射.对任意的xA,依对应法则f有xy=x2-2x+2=(x-1)2+1,因为x2,xZ,所以y2,yN,即yB,所以是映射.因为0B,且(x-1)2+1=0无解,所以集合B中的元素0在A中无原象,所以不是一一映射.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.判断一个对应法则是A到B的映射,应从两个角度去分析:(1)存在性:集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素;(2)唯一性:集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.这两个条件缺一不可.2.若判断不是A到B的映射,只要举出一个反例,即说明集合A中的某一元素,在B中无对应元素或有多个对应元素即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射,其中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么?(1)A=1,3,5,7,B=2,4,6,8,对应关系f:xy=x+1;(2)A=N,B=N+,对应关系f:x|x-1|;(3)A=x|0x6,B=y|0y2,对应关系f:x.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,所以此对应是从A到B的映射.又B中每一个元素在A中都有唯一的原象与之对应,故该对应是一一映射.又A,B是非空数集,因此该对应也是从集合A到集合B的函数.(2)集合A=N中元素1在对应关系f的作用下为0,而0N+,即A中元素1在B中没有元素与之对应,故该对应不是从A到B的映射,更不是函数,也不是一一映射.(3)集合A中元素6在对应关系f的作用下为3,而3B,故该对应不是从A到B的映射,更不是函数,也不是一一映射.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求映射中的象或原象【例2】已知映射f:AB中,A=B=(x,y)|xR,yR,f:(x,y)(3x-2y+1,4x+3y-1).(1)求A中元素(1,2)的象;(2)求B中元素(1,2)的原象.分析:(1)根据映射的定义,把(1,2)代入对应法则即可得象;(2)根据映射的定义,利用解方程组的方法求其原象.解:(1)当x=1,y=2时,3x-2y+1=0,4x+3y-1=9.故A中元素(1,2)的象为(0,9).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟解决象与原象问题的关键是紧扣定义,具体地说,就是若已知A中的元素a(即原象a),求B中与之对应的元素b(即象b),这时只要将元素a代入对应法则f求解即可;若已知B中的元素b(即象b),求A中与之对应的元素a(即原象a),这时构造方程(组)进行求解即可,需注意解得的结果可能有多个.在求解过程中,要注意象和原象的区别和联系.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,构成映射个数问题【例3】(1)集合A=a,b,c,B=d,e,则从A到B可以建立不同的映射个数为()A.5B.6C.8D.9(2)已知集合A=a,b,B=-1,0,1,从A到B的映射f:AB满足f(a)+f(b)=0,则这样的映射f:AB的个数为()A.2B.3C.5D.8解析:(1)用树状图写出所有的映射为:,(2)满足条件f(a)+f(b)=0的情形有:-1+1=0,1+(-1)=0,0+0=0,共3个,即满足条件的映射有3个.答案:(1)C(2)B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.一般地,若A中有m个元素,B中有n个元素,则AB共有nm个不同的映射.2.含条件的映射个数的确定,解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件,要采用分类讨论的思想,利用列举法来解决.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,已知集合A=1,2,3,B=4,5,6,映射f:AB满足1是4的一个原象,则符合条件的映射的个数为()A.27B.9C.8D.6解析:要完成题设条件所给的映射,主要是给集合A中的元素2,3找象,可分以下几类:14,2和3分别对应5,6中的一个(构成一一映射),有2个;14,2,3都对应4,有1个;1,2都对应4,3对应5,6中的一个,有2个;1,3都对应4,2对应5,6中的一个,有2个;14,2,3都对应5,有1个;14,2,3都对应6,有1个.综上所述,共有2+1+2+2+1+1=9个.答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因对函数与映射的概念理解不清而致误【典例】下列对应f是从集合A到集合B的函数的是.(1)A=1,2,3,B=7,8,9,f(1)=f(2)=7,f(3)=8;(2)A=Z,B=-1,1,n为奇数时,f(n)=-1;n为偶数时,f(n)=1;(3)A=B=1,2,3,f(x)=2x-1.错解:(1)(2)(3)均为集合A到B的函数.以上出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:错解中没有弄清A中的任意元素在B中都有唯一的元素与之对应.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正解:对于(1),集合A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的象,同时集合A和B都是数集,可知对应关系f是集合A到集合B的函数.对于(2),对应关系f也是集合A到集合B的函数.对于(3),由于f(3)=23-1=5B,即集合A中的元素3在集合B中没有象.因此对应关系f不是集合A到集合B的函数.答案:(1)(2)防范措施对于判断能否构成映射或函数的问题,一定要紧扣定义,抓住“任意”“唯一”这两个关键词.,1.下列各图中表示的对应法则:其中是映射的个数为()A.4B.3C.2D.1答案:D,2.下列集合A,B及其对应法则不能构成函数的是()A.A=B=R,f(x)=|x+1|B.A=B=R,f(x)=C.A=1,2,3,B=4,5,6,7,f(x)=x+3D.A=x|x0,B=1,f(x)=x0答案:B3.已知集合A和集合B的元素都属于N,映射f:AB,若把集合A中的元素n映射到集合B中为元素n2+n,则在映射f下,象20的原象是()A.4B.5C.4或-5D.-4或5解析:由题意知n2+n=20,解得n=4或n=-5(舍去).答案:A4.已知A=a,b,B=c,d,e,则集合A到集合B的不同的映射f的个数为.答案:9,5.判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射,其中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么?(1)A=1,2,3,4,B=3,4,5,6,7,8,9,对应关系f:x2x+1;(2)A=平面内的圆,B=平面内的矩形,对应关系f:作圆的内接矩形;,解:(1)是映射,也是函数,但不是一一映射.因为数集A中的元素x按照对应关系f:x2x+1和数集B中的元素2x+1对应,所以这个对应是数集A到数集B的映射,也是函数.但B中的元素4,6,8没有原象,不能构成一一映射.(2)不是从集合A到集合B的映射,更不是函数,也不是一一映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.(3)是A到B的映射,也是函数和一一映射.因为A中的每一个元素按照对应关系,在B中都有唯一的元素与之对应,并且A,B均为非空数集,所以是A到B的映射,也是函数.又该对应满足一一映射的定义,同时也是一一映射.,
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