高数中需要掌握证明过程的定理(二)

在第一期的资料内我们总结了高数前半部分需要掌握证明过程的定理，由于最近比较忙，所以一直没来得及写。现将后半部分补上。希望对大家有所帮助。1)泰勒公式(皮亚诺余项)设函数f (x)在点X0处存在n阶导数，则在X0的某一邻域内成立2nf(x)f(Xo)X X f(Xo)X ：f(Xo). X：of(n)(Xo)o XXon2!n!【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。对于它们，我们首要的任务是记住常见函数(sinx,cosx,ln(1x),ex,(1x)a)在x0处的泰勒公式，并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。在复习的前期,但由于证明过程中所如果基础不是很好的话， 两种不同形式的泰勒公式的证明可以先不看。用到的方法还是很常用的。因此把它写在这里。证明：令 R(x) f(X)f (Xo)X Xo(Xo)2x Xo2!f (Xo).n土旦 f(n)(Xo) n!则我们要证明R(x) o x x0 n由高阶无穷小量的定义可知，需要证明limX X0R(x)nxo0。这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的, 因此用洛必达法则得f (X) f (Xo)X Xof (Xo). R(x) lim nx Xo x xolimX xon 1n x xonx Xon 1 !1-f(n)(Xo)再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零， 则。不难验证该过程可以一直进行下去，运用过n 1次洛必达法则后我们可以得到并且也都是可导的,因此可以再次运用洛必达法. R(x) lim nx xo x xolimfX Xo(n1)(x) f，)X Xo f (Xo)lim fX Xo(n O(X)f(n (Xo)n! x x0n! x xo f (Xo)n!f(n1)(x) f(n1)(Xc)(n)由于f(x)在点Xo处存在n阶导数，由导数的定义可知lim- f( )(xo)x XoX xo代入可得lim R(X) n x X0 x x00。证毕注：这个定理很容易得到如下错误的证明：直接用n次洛必达法则后得到lim R(x) n lim f (x) f (n) (x0)0XXx X)X X0错误的原因在于定理条件中仅告知了f (X)在点X0处存在n阶导数，并没有说明在其它点处的n阶导数是否存在。就算其它点 处白n阶导数也存 在，f(n) (X)也不一定连续, lim f(x) f (n)(x0) 0也不一定成立。X X0希望大家注意。2)泰勒公式(拉格朗日余项)设函数f(X)含有点X0的某个开区间(a,b)内有直到n 1阶导数,则对(a, b)内任意一点x,都成立f (x) f(Xo)X X f (Xo)2X02!f (X0).nX X0n!严(X0) Rn(x)其中R(x)n 1X X0(n1)!f (n 1)(介于X和X0之间。【点评】： 证明：同上。令 R(x)f(X)f (Xo)x Xof (Xo)2X X0.f (X0) .2!nX X。n!f(n)(x0)Ri(x)X X0则我们需要证明R(x)R 1(x)f(n 1)()o(n 1)!由于 R(Xo)Pni(Xo) 0,R(X)因此Pn1(x)R(x) R(xo)Pnl(x) P, 1(X0)易知，R(x), Pn 1 (x)满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知,x和X0之间存在一点1使得R(x) R(%)R( 1)R( 1)Pn 1 (x) Pn 1(x0)Pn 1 ( 1) n 1 Pn( 1)“-X Xo-(n)而 R(x) f (x) f (Xo) X Xo f (Xo) . f (Xo)(n 1)!因此，此时仍然有 R (Xo) Pn(Xo) o。则 R(i)1 R(i) R(Xo)、n 1 Pn( l) (n 1)Pn( i) Pn(Xo) 易知，R(X), Pn(X)仍满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知，在1和Xo之间存R( 2)n 1 nPn 1( 2)一 .、一.、11 R ( i) R(x0)1 R ( 2)在一点2使得122n 1 Pn( 1) Pn(Xo) (n 1)Pn( 2)由于1在X和Xo之间，因此 2也在X和Xo之间。容易检验，上述过程可以一直进行下去，使用过 n 1次柯西公式后即可得到R(x) f(n1)() O Pn1(x)(n 1)!证毕注：在计算极限或确定无穷小量的阶时，一般用到皮亚诺余项的泰勒公式；在做证明题时用拉格朗日余项比较多。 两种泰勒公式的条件是不同的，其中拉格朗日余项的条件更强，结论也更强。这两个定理的证明，如果基础不太好一时接受不了的话可以先跳过，到下一阶段再看。3)定积分中值定理设函数f (x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点使得下式成立:bf(x)dx f( )(b a)a【点评】：积分中值定理是定积分比较定理和闭区间上连续函数的介值定理的推论，它在是证明微积分基本定理的基础，在整个微积分中具有极大的理论意义。同时，证明题中对该定理的应用也比较常见，通常会和微分中值定理结合使用，考生首先应该熟记该定理的条件和该定理的证明过程也结论。另外，考试中还出现过与该定理证明方法类似的证明题。因此,是需要掌握的。该定理的证明过程教材上有，因为比较重要，也为了方便大家，在这里写下我的证明过程f (x)在区间a,b上证明：由于f(x)在区间a,b上连续，由闭区间上连续函数的最值定理可知:可以取到最大与最小值。设最大值为M ,最小值为m 。则有mf(x)M ,x a,b 。b则有 mdxabf(x)dxabMdx ,也即m(b a)bf(x)dxaM (ba)两边同时除以(b a)可得mbf (x)dxab abf (x) dx可知是介于函数f (x)在区间a,b上的最大值 M和最小值为b am之间的一个数。由闭区间上连续函数的介值定理可知,f(x)能取到 m,M 上的一切数。bf(x)dx因此在积分区间a,b上存在一点使得：f ()。b ab也即 f (x)dx f ( )(b a)。a证毕附：下面是02年数三的一道证明题，证明方法与本定理很类似，大家可以试一试。【02年数三6分】：设函数f (x), g(x)在a,b上连续，且g(x)0。试利用闭区间上连续函数的性质，证明存bf(x)g(x)dxf( )g(x)dx。ab在一点 a,b ,使得a4)积分上限函数的导数x如果函数f(x)在区间a,b上连续，则变积分上限函数(x) f(t)dt在a,b上可导,a并且它的导数是d x(x) f (t)dt f (x),a x b dx a证明，因此要证明(x)的导数等于【点评】：这个定理的重要性不用强调了，考试中也直接考到过它的证明。由于是对定理的f(x)只能用定义，对于大家强化导数的定义是一个很好的训练。证明：x a,b由导数的定义可知，本定理等价于证明lim (x x) (x) x 0 xf(x)。而limx I,(x x) (x) lim， 0xx 0xxf (t)dt a f(t)dtaxx xx f出x由于f (x)在区间a,b上连续，因此由定积分中值定理可知:存在介于x与xx之间的x x使得 f (t)dt xf (),x则 lim (x x) (x) lim f( )ox 0xx 0由于介于x与x x之间，因此当 x 0时， x。又由于f (x)在区间a, b上连续，可知lim f()x 0lim f ( ) f (x)。(xx) (x)一、也即 lim -f(x)。x 0 x d x由导数的定义可知(x) f (t)dt f(x),a x bodx a证毕5)牛顿莱布尼兹公式如果函数F(x)是连续函数f (x)在区间a,b上的一个原函数，bf(x)dx F(b) F(a)a【点评】：牛顿-莱布尼兹公式又名微积分基本定理，是因为它用一个简单的公式就成功地联系起了微积分中最重要的两个概念：微分和积分，极大地简化了定积分的计算。它是微积分最核心的定理之一，其简洁明了的形式也使它被认为是微积分几百年研究历史中最漂亮的结论之一！该定理和上一个定理实际上是等价的，只需要用到一个函数在同一区间上的不同原函数间仅相差一个常数。大家不妨自己推证。6)柯西 施瓦兹不等式设函数f(x),g(x)都在区间a,b上可积且平方可积(注意：这里没有说连续),b2bb则有 f (x)g(x)dx f ( x)dx g (x)dxaaa【点评】 ：这个公式是教材上的习题，在考试时可以直接用。该公式在f ( x), g(x)连续时也成立， 但证明方法有区别， 通过这个例子可以说明应用牛顿 莱布尼兹公式时检验被积函数是否连续的重要性。证明： x2xx法一： 令 F(x) f(t)g(t)dtf 2(t)dt g2(t)dt,x a,baaa则 F(a) 0。而x2 x22 x 2F(x) 2f(x)g(x) f(t)g(t)dt f2(x)g2(t)dt g2(x) f 2(t)dtaaax2f(x)g(x)f(t)g(t)f2(x)g2(t) g2(x)f2(t)dtf(x)g(t) g(x)f(t) dt 0F ( x) 在区间 a, b 上单调递减。则有F (b) F (a)整理即得所需不等式。证毕注：就本题来说，这个证明过程是错的。因为本题没有说f(x),g(x)连续，因此不能用变上限积分求导公式，也就是说对F(x) 的计算是不合法的。把这个证明过程放在这里是因为在考研范围内我们遇到的函数大多是连续的， 而且利用函数单调性的方法在积分不等式的证明中也是很有代表性的。b2法二： 易知， t R ，有 f(x) tg(x) dx 0 。ab2bbb将括号打开可得f (x) tg( x) dx t g (x)dx 2t f (x)g(x)dx f (x)dxaaaa将该式看作变量t 的二次函数， h(t) 。可知，h(t) 0对任意白实数t都成立。由二次函数的相关理论可知，该二次函数的判别式小于或等于零b2 b2b2也即 2f ( x) g (x)dx4 g ( x)dx f (x)dx 0aaa整理即得所需不等式。证毕注：由于这种证明方法所用到的条件比f(x),g(x)连续弱，因此当f(x), g(x)连续时， 该证明过程也成立。 但这个证明过程所用到的方法不具有代表性， 大家了解一下即可。7）二元函数偏导数存在与可微的关系如果函数z f（x, y）在点（x, y）可微，则函数在该点连续且两个偏导数均存在，并且【点评】：学到多元函数时第一个困扰我们的就是多元函数的可微与可导不再等价，它们与连续性的关系也变得更为复杂了。 下面希望能通过几个定理与反例来 将这个关系说清楚。证明： 由可微的定义可知存在只与（x, y）有关而与x, y实数A,B使得z AxByoJx2y2在点（x, y）附近成立。现证明A ,由偏导数定义可知，这等价于证明 x11m0f (x x, y) f (x, y)由于 z A x B y o . x2成立,x,y) f(x, y)Alimx 0由高阶无穷小的定义可知o lim 一 x 00。因此，有lim f(x x, y) f(x,y)x 0x因此 f (x x, y) f (x, y) Ao xlim 。x 0 x也即A 0 x同理，可证B 三。 y 也就是说：偏导数连续的函数必然可微， 可微的函数必然连续并且存在偏导数， 但连续和偏 导数存在这两个概念本身是互不包含的 (也就是说连续的函数不一定存在偏导数， 偏导数存 在的函数也不一定连续)。注1:关于二元函数可微，偏导数存在、证毕连续和偏导数连续的关系可以用下图来表示：34注二：例如：1)函数 f(x,y)y ,在(0,0)连续,但偏导数不存在。2)又如函数f (x, y)xy 222 ,xyx y220, x y 0，在(0, 0)处的偏导数是存在的。因为 fx(0,0)limx 0f(x,0) f (0,0)而 lim f (x, y)x yx 0x21,尸 ,lim f(x,y)2x 2 xxcy 0 limx 0 x2x2 5x20,同理我们可以得到fy(0,0)也就说(x, y)沿不同路径趋于(0,0)得到的极限值是不一样的。因此二重极限limf(x,y)不存在。进而可得到f(x,y)在(0,0)点处不连续。(x,y) (0,0)注三：如果二元函数f(x,y)的两个偏导数都存在且偏导数作为二元函数是连续的，则该二元函数是可微的。这也是一个定理，证明过程不需要掌握，但定理的结论要熟记。