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3.4向量和矩阵的范数,为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，向量和矩阵的范数。,向量和矩阵的范数,在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1，x2之间距离用|x1-x2|表示。,向量和矩阵的范数,而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用表示。而平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用表示。推广到n维空间，则称为向量范数。,向量范数,常见的向量范数,向量范数性质,向量范数性质,等价性质：,向量的收敛性,3.4.2矩阵范数,相容范数,算子范数,算子范数,算子范数,常见的矩阵范数,常见的矩阵范数,对称矩阵范数,例题,3.4.3矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性,例题,谱半径和矩阵序列的收敛性,矩阵序列的收敛性,3.5病态方程组与矩阵的条件数,3.5.1病态方程组与扰动方程组的误差分析,病态方程组与扰动方程组的误差分析,病态方程组与扰动方程组的误差分析,病态方程组与扰动方程组的误差分析,病态方程组与扰动方程组的误差分析,病态方程组,扰动方程由于计算机字长限制，在解AX=b时，舍入误差是不可避免的。因此我们只能得出方程的近似解。是方程组（A+A）x=b+b(1),在没有舍入误差的解。称方程（1）为方程Ax=b的扰动方程。其中A，b为由舍入误差所产生的扰动矩阵和扰动向量。当A，b的微小扰动，解得（1）的解与Ax=b的解x的相对误差不大称为良态方程，否则为病态方程。,扰动方程组的误差界,3.5.2矩阵的条件数,矩阵的条件数的性质,相对误差的事后估计,定理3.6.3,例题,3.6解线性方程组的迭代法,3.6.1解线性方程组迭代法概述,解线性方程组迭代法概述,解线性方程组迭代法概述,解线性方程组迭代法概述,3.6.2Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法,Jacobi迭代法,Jacobi迭代法,例题,例题,Jacobi迭代法的矩阵形式,Jacobi迭代法的算法,Gauss-Seidel迭代法,Gauss-Seidel迭代法,例题,Gauss-Seidel迭代法的算法,3.6.3线性方程组迭代法收敛条件,迭代法的收敛条件,迭代法的收敛条件,迭代法的误差估计,迭代法的误差估计,迭代法的误差估计,收敛的判别条件,收敛的判别条件,收敛的判别条件,收敛的判别条件,收敛的判别条件,例题,例题,例题,例题,
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