空间向量与立体几何典型例的题目

空间向量与立体几何典型例题一、选择题：Ai在底面ABC1.（2008全国I卷理）已知三棱柱ABCAiBC的侧棱与底面边长都相等,内的射影为ABC的中心，则ABi与底面ABC所成角的正弦值等于（.32C.5D.gABC为正四面体，设棱长为a,则ABiJ3a,棱柱的高,2、,3(AOJa2AO2Ja2a)2323底面ABC所成角的正弦值为AO摆.UUULULTUULTAB13A.1B.2331.解：C.由题意知三棱锥A另解：设AB,AC,AA为空间向量的一组基底,（即点B到底面ABC的距离），故AB1与uuuULUUUJTAB,AC,AAi的两两间的夹角为600UULT长度均为a，平面ABC的法向量为OA1uult1uum1uuuruluitAA1ABAC,AB1331lutuultABAA则AB与底面ABC所成角的正弦值为.3ulutuultOAABjUUU11LUUIAOAguultuultOA1AB122UULTa,OA13.6lult,AB13二、填空题：（2008全国I卷理）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角3CABD的余弦值为M,N分别是AC,BC的中点，贝UEM,AN所成角的余一1弦值等于一.一6一1.答案：1.设AB2,作CO面ABDE,6OHAB，则CHAB,CHO为二面角CABCHJ3,OHCHcosCHO1,结合等边三角形与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥,LUUTAN则ANEMLULTAN1UULTUUTUUUU-(ACAB),EMUUUT1UUUEM(ABAC)2故EM,AN所成角的余弦值1UUTAC2UULT(AC1 .UULTANlutAE,UUTAE)UUUTEMUULTUUUTANEM另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,1题图（2）x则点A(1M(-2uuur则AN故EM,1,1,0),B(1,1,0),E(1,1,0),C(0,0,.2)12,1,N(2,12,uuur,EMf31(2,2,uuiruuuu,ANEMAN所成角的余弦值z13(2,2，uuuruuurANEMuuruuurANEM1uuur-,AN2uuurEMOABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形,三、解答题：1.(2008安徽文)如图，在四棱锥ABC,OA底血ABCD,OA2,M为OA的中点。4(I)求异面直线AB与MD所成角的大小；(H)求点B到平面OCD的距离。1.方法一(综合法)QCD|AB,MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角).OA平面ABCD,CDMP.ADP-,.、2.DP=42.MDMA2AD2、2,DP1cosMDP,MDCMDP一MD23所以AB与MD所成角的大小为一3作APCD于P,连接MP(2)AB|平面OCD,点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作AQOP于点Q,.APCD,OACD.CD平面OAP,.AQ平面OAP,/.AQCD又.AQOP.AQ平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离.OP,OD2DP2AQOAgAPOPJOA2AD2DP2J411匝，AP222匝22g22，所以点B到平面OCD的距离为一3233DP标系方法二(向量法)作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐和的B(1mp(0,m0),D(mm0/：0,0,20,1),Az(1)设AB与MD所成的角为uuuu(1,0,0),MDuuuuuurABgMD血1iiuuuiab|mduuuAB(丧,1)cyAB与MD所成角的大小为uuu.2uuur-OP(0,，2),OD2设平面OCD的法向量为n322,2)22uuu(x,y,z)，则ngOPumr0,nQD0y2z02-2一2xy2z022(0,4,2)uuu的距离为d，则d为OB在向量取z2,解得n设点B到平面OCDn(0,4,J2)上的投影的绝对值，uuuOB(1,0,2),uuuOBnABC-,OA4DBNC所以点B到平面OCD的距离为-3(2008安徽理)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形,底面ABCD,OA2,M为OA的中点，N为BC的中点。证明：直线MN|平面OCD；(II)求异面直线AB与MD所成角的大小;(m)求点B到平面OCD的距离。2.方法一(综合法)(1)取OB中点E,连接ME,NEQME|ABABllCD,ME|CD又QNE|OC,平面MNE|平面OCDMN|平面OCD(2)QCD|AB,精彩文档MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)作APCD于P,连接MP.OA平面ABCDCDMP.ADPDP=2V2,4MD,MAAD2DP1cosMDP,MD2MDCMDP-3所以AB与MD所成角的大小为3B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作CD,OACD,/.CD平面OAP,二AQCD(3)AB|平面OCD,点A和点AQOP于点Q,AP又AQOP.AQ平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离3.241-,2.OP.OD2DP2.OA2AD2DP2APDP2OAgAPOP322-，所以点B到平面OCD的距离为一3方法二(向量法)CD于点P,如图,分别以.2B(1,0,0),P(0,;,0),D(作APA(0,0,0),AB,AP,AO所在直线为X,y,Z轴建立坐标系、一2、222,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1224uuuu(1)MN、2uuur、,，.(。,丁2),OD(-442uuuuuurOCD的法向量为n(x,y,z),则ngOP0,ngOD2ony2z02即-22oxy2z022取z2,解得n(0,4,、-2)uuuu、2-.=-MNcn(1；,；,1)g(0,4,、2)044MN|平面OCD(2)设AB与MD所成的角为uuuuuun-、,.AB(1,0,0),MD(,1)22设平面、,2.2一，2).22ZODA-NBcPy)01MuuuuuunABgMDwuulu!iABMD-,AB与MD所成角的大小为一33uuu设点B到平面OCD的交流为d,则d为OB在向量n(0,4,J2)上的投影的绝对值uuuOB(1,0,2),得duumOBn一十_，2.所以点B到平面OCD的距离为一3P-ABC中，AC=BC=2,ZACB=90,AP=BP=AB,(2008北京文)如图，在三棱锥PCXAC.(I)求证:PCXAB;()求二面角B-AP-C的大小.3.解法一：(I)取AB中点D,连结PD,CD. AP=BP,PDAB.AC=BC. CDAB.PDnCD=D.ABL平面PCD. PC平面PCD,PCXAB.(n).AC=BC,AP=BP,丛PC丝BPC. 又PCXAC,PCXBC.又ZACB=90,即ACBC,且ACnPC=C,.AB=BP,.BELAP. EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP.ZBEC是二面角B-AP-C的平面角. 在ABCE中，ZBCE=90,BC=2,BE3AB6,2BC6sinZBEC=.BE36一面角B-AP-C的大小为aresin.3解法二：(I).AC=BC,AP=BP,ZAPC丝zBPC.又PCXAC. PCXBC.ACABC=C,PCI平面ABC. AB平面ABC,PCXAB.(n)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).设P(0,0,t),.IPB|=|AB|=2豆,.t=2,P(0,0,2).取AP中点E,连结BE,CE.-IAC|=|PC|,|AB|=|BP|,CEAP,BEAP.ZBEC是二面角B-AP-C的平面角.E(0,1,1),EC(0,1,1),EB(2,cosZBEC=ECEBECEB1,1),.3二面角B-AP-C的大小为arccos由34.(2008北京理)如图，在三棱锥PABC中，ACAPBPAB,PCAC.(l) 求证：PCAB;()求二面角BAPC的大小；(m)求点C到平面APB的距离.4.解法一：(I)取AB中点D,连结PD,CD.QAPBP,PDAB.QACBC,CDAB.QPDICDD,BC2,ACB90,AB平面PCD.QPC平面PCD,PCAB.(n)QACBC,APBP,APCABPC.又PCAC,PCBC.又ACB90,即ACBC,且ACIPCC,BC平面PAC.取AP中点E.连结BE,CE.QABBP,BEAP.QEC是BE在平面PAC内的射影，CEAP.BEC是二面角BAPC的平面角.在BCE中，BCE90,BC2,BEBC.6sinBEC.BE3二面角BAPC的大小为arcsin6.3（川）由（I）知AB平面PCD,平面APB平面PCD.过C作CHPD，垂足为H.Q平面APBI平面PCDPD,CH平面APB.CH的长即为点C到平面APB的距离.由(I)知PCAB,又PCPC平面ABC.QCD平面ABC,PCCD.一1在RtPCD中，CDAB2pcJpd2CD22.点C到平面APB的距离为-AC,且ABIACA,.2,PDPB、6,2PCgCD2、3CH.PD3解法(DQACBC,APBP,APCABPC.又PCPCAC,BC.QACIBCC,PC平面ABC.QAB平面ABC,PCAB.（n）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).设P(0,0,t).QPBAB22,t2,P(0,0,2).取AP中点E,连结BE,CE.QAC|PC,ABBP,C的平面角.uuu1),EB(2,1,1),23-.2g.63CEAP,BEAP.BEC是二面角BAPuuinQE(011),EC(0,1,uuuruuuECgEBcosBECuuinuuuECgEB二面角BAPC的大小为arccos二.3APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.(m)QACBCPC,如(n)uuurQBH建立空间直角坐标系uuur2HE,Cxyz.点H,一，222的坐标为一,一,一-3332/33uuurCH2/33点C到平面APB的距离为C在平面APB内的射影为正5.（2008福建文）如图，在四棱锥中，侧面PAD上底面ABCD,侧棱PA=PD=而，底面ABCD为直角梯形，其中BC/AD,ABCD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：POL平面ABCD;（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)uuuruuu所以CD(1,1,0),PB(1,1,1)uuruuuruuiouurpbCDCOSPB,CDmuuuur.63PBCD所以异面直线所成的角的余弦值为:ruuuuuir(2)设平面PCD的法向量为n(x,y,z),CP(1,0,1),CDruuunCP0xz0ruur，所以；nCD0xy0令x=1,则y=z=1,所以n(1,1,1)又/AC(1,1,0)r皿_t-心顼nAC23贝U,点A到平面PCD的距离为：dJr-n3(1,1,0)6.(2008福建理)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD上底面ABCD，侧棱PA=PD=42,底面ABCD为直角梯形，其中BC/AD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.(I)求证：POL平面ABCD;(n)求异面直线PD与CD所成角的大小；(m)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，AQ,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由QD6.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：(I)证明：在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PADL底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以POX平面ABCD.(n)连结BO,在直角梯形ABCD中、BC/AD,AD=2AB=2BC,有OD/BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB/DC.由(I)知，POOB,ZPBO为锐角，所以/PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在RtMOB中，AB=1,AO=1,所以OB=J2,在RtzPOA中，因为AP=J2,AO=1,所以OP=1,PG在RtZPBO中，tanZPBO=BC2所以异面直线(m)假设存在点122,PBOarctan22十/2arctan寻.Q，使得它到平面PCD的距离为W3.PB与CD所成的角是则SDQC在RtZPOC中，PC所以PC=CD=DP,S1,一x,由()碍2.OC2OP2pcdjg(分22_32AQ由Vp-dqc=Vq-pcd,碍2,所以存在点Q洒足题息，此时QD解法二：(I)同解法一.uuuruuruur(n)以O为坐标原点，OC、OD、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),uuuu所以CD=(、uuu,1,1,0),PB=(1所以异面直线1,1).6PB与CD所成的角是arccos,3，-c3(m)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为2uuuuuur由(n)知CP(1,0,1),CD(1,1,0).设平面PCD的法向量为n=(xo,yo,zo).uuungDP0,xozo0,则umr所以即ngDD0,xv。0,取xo=1,得平面PCD的一个法向量为xoy0zo,uuur设Q(0,y,0)(1y1),CQ(1,y,0),由n=(1,1,1).uuuuurCQgnn22此时|AQ1 3AQ1,QD，所以存在点Q满足题息，此时2 2QD3y=-【或y=(舍去),7、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，/PDA=60。(1)求DP与CCi所成角的大小；(2)求DP与平面AAiDiD所成角的大小。7.解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系uuuuuuu则DA(1,0,0),CC(0,0,1).连结BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.uuuu设DH(m,m,1)(m0),uuuuuur由已知DH,DA60,uuuuuuu由DAgDHuuruuuuDADHcosuuiruuuuDA,DH可得2m.2m21.2uuuu解得m，所以DH2(I)因为cosuuuuuuuuDH,CCuuuuuuur所以DH,CC即DP与CC所成的角为45.-1001122245uuirDC(n)平面AADD的一个法向量是0Ji1uuuuuuuro0o1因为cosDH,DC22-1.2(0,1,0).uuuuuur所以DH,DC60o.可得DP与平面AADD所成的角为30.J28.(2008湖北文)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1.(I)求证：(n)若AAABACBC;a,直线AC与平面ABC所成的角为.面角BCA勺大小为，求证:8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、.面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.(满分12分)(I)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D,则由平面A1BCX侧面A1ABB1,且平面A1BCA侧面A1ABB1=AB,得AD上平面AiBC.又By平面AiBC所以ADBC.因为三棱柱ABCAiBiCi是直三棱柱，则AAi底面ABC,所以AAiBC.又AAiAAD=A,从而BCX侧面AiABBi,又ABU侧面AiABBi,故ABBC.(n)证法i:连接CD,则由(I)知ACD就是直线AC与平面AiBC所成的角，/ABAi就是二面角AiBC-A的颊角，即ZACD=0,ZABAi=于是在RtAADC中，sin0=四-AD，在RtAADAi中,ACaADADsinZAAiD=AAiasin0=sinZAAiD,由于。与ZAAiD都是锐角，所以0=ZAAiD.又由RtAAiAB知，ZAAiD+=ZAAiB+=一，故。+=.证法2：由(I)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BBi所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系22.设AB=c(cva=,贝UB(0,0,0),A(0,c,0),C(wac,0,0),Ai(0,c,a),于是BC(Ja2c2,0,0),BA=(0,c,a)AC(.a2c2,c,0)AAic,a设平面AiBC的一个法向量为n=(x,y,z),则由n?BAin?BC0,cyaz0,得c一20,acx0.可取n=(0,a,c),于是nAC=ac0,AC与n的夹角为锐角，则与互为余角sin=cos22一n?AC(0,a,c)?(ac,c,0)clnl?|AC|a2c2?、.(a2c2)c2.a2c2BA?BA(0,a,c)?(0,0,a)ccos=|BA,|?|BA|、a2c2?aa2c2所以sin=cos=sin()，又0v,0,AC与n的夹角为锐角，则sincoscosuuuruuuBA1gBAuuur11uurBAidBAc.a2c2,所以sina.=22ac于是由cvb,得aca_2222b、ac.ac即sinvsin,又Ov,v，所以v210.（2008湖南理）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/BCD=60E是CD的中点，PAL底面ABCD,PA=2.（I）证明：平面PBEL平面PAB;（口）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.10.解：解法一（I）如图所示，连结BD,由ABCD是菱形且/BCD=60知，缶CD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BEXCD,又AB/CD,所以BEXAB.又因为PAL平面ABCD,BE平面ABCD,所以PALBE.而PAAB=A，因it匕BEL平面PAB.又BE平面PBE,所以平面PBEL平面PAB.（H）延长AD、BE相交于点F,连结PF.过点A作AHPB于H,由（I）知平面PBEL平面PAB,所以AH上平面PBE.在RtZABF中，因为/BAF=60,所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtAPAF中，取PF的中点G,连接AG.则AGPF.连结HG,由三垂线定理的逆定理得，PFLHG.所以ZAGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）在等腰RtAPAF中，AGPAJ2.2APgABPB在Rt堕AB中，AH所以，在RtCAHG中,AHsinAGHAGAPgAB22jAP2AB2552.552、希5arcsi/故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是uruurn1gPB0,则由uruuu得n1cBE0X100x1解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),0),P(。,0,2),E(1,旱).(I)因为BE(0，,0),2平面PAB的一个法向量是n0(0,1,0),所以BE和n0共线从而BE平面PAB.又因为BE平面PBE,故平面PBEL平面PAB.uuruuu.3(n)易知PB(1,0,2),BE(0,0),2uuauur1.3PA(0,0,2),AD(一,0)22r设n1(%!,y1,z1)是平面PBE的一个法向量,*2z10,LrJ3所以y10,x12z1.故可取山(2,0,1).y20z20.2un设n2(x2,y2,z2)是平面PAD的一个法向量，则由uuuuun2cPAuuuuun2gAD0彳曰侍X20y23yy2uruu于是，cosn，n212X22z20,ur所以z20,X2J3y2.故可取n2(J3,1,0).0.z2uuu23一15525.15arccos5故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是11.(2008湖南文)如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD600,E是CD的中点，PA底面ABCD,PA气3。(I) 证明：平面PBE平面PAB;(II) 求二面角ABE-P和的大小。11.解：解法一(I) 如图所示，连结BD,由ABCD是菱形且BCD600知,BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BECD,又AB/CD,所以BEAB,又因为PA平面ABCD,BE平面ABCD,所以PAXBE,而PAIABA,因此BE上平面PAB.又BE平面PBE,所以平面PBE平面PAB.由(I)知，BE上平面PAB,PB平面PAB,所以PBBE.又ABBE,所以PBA是二面角ABEP的平面角.在RtPAB中，PA-otanPBAV3,PBA60.AB故二面角ABEP的大小为60o解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(|急,0),D(1，E,0),P(0,0,T3),E(芒,0).22222uur、3uruuuun(I)因为BE(0,工,0),平面PAB的一个法向量是n0(01,0),所以BE和n0共线.2从而BE上平面PAB.又因为BE平面PBE,所以平面PBE平面PAB.uun-uuu(II)易知PB(1,0,V3),BE小、3Lr(0,0),该n12uruuun1PB则由uruurn1BE0,得00所以yu=0,x3.故可取叫(J3,0,1).而平面ABE的uu一个法向量是n2(0,0,1).uruu于是,cosn1,n2iPR1.|n1|c|n212故二面角ABEP的大小为60o0,Z1(为，y，z)是平面PBE的一个法向量12.(2008江苏)记动点P是棱长为1的正方体ABCD-AB1C1D1的对角线D1PD1B.当APC为钝角时，求的取值范围.uum12.解：由题设可知，以DA、DC、DD1为单位正交基底，建立uuruuurBD上一点,记uuuuuuuu由DiB(1,1,1)，得DPuuuruuuuuuunPAPD1D1A(unnuuuruuuuPCPD1DC(如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1)uurnQB(,)，所以)(0,1,1)(,1,1)APC为钝角等价于uuuuuurPAgPCuuu|iuui0,PA|gPC21(1)2(1)(31)0,得-,)(1,0,1)(1,1)显然APC不是平角，所以uuruuucosAPCcosPA,PCmuuuu则等价于PAgPC0即(1)()()(1)，F1因此，的取值范围是(一J)3ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,13.(2008江西文、理)如图，正三棱锥O且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线一3分力U相父于A、B1、C1,已知OA.2(1) 求证：B1C1面OAH；(2) 求二面角OA1B1C1的大小.解：(1)证明：依题设，EF是ABC的中位线,所以EF/BC,则EF平面OBC，所以EF/B1C1。又H是EF的中点，所以AHEF,则AHBQ。因为OAOB,OAOC,所以OAL面OBC，则OAB1C1,因it匕B1C1上面OAH。(2)作ON_LA1B1于N,连C1N。因为OC1上平面OA1B1,根据三垂线定理知，C1NABi,ONC1就是二面角OABiCi的平面角。作EMOBi于M，则EM/OA，则M是OB的中点,则EMOM1。设OB1x，由/蓄得亡3解得x3,4-工-2-23-m-OA1OB1在RtOA1B1中，A1B1JOAOB1必，则,ON112A1Bi所以tanONC1丝1扼，故二面角OABG为arctan扼。ON1 解法二：(1)以直线OAOC、OB分别为x、v、z轴，建立空间直角坐标系，Oxyz则1A(2,0,0),B(0,0,2),C(0,2,0),E(1,0,1),F(1,1,0),H(1,一,一)2uuir11uuur11uuur所以AH(1,),OH(1-),BC(0,2,2)2222uuuruuiruuuruur所以AHBC0,OHBC0所以BC平面OAH由EF/BC得BQ/BC,故：BQ平面OAH(2)由已知A(3,0,0),设%0,0,z)2uuur1uuur则A1E(-,0,1),EB1(1,0,z1)uuruu2uuir由A,E与EB共线得：存在R有AE12z31(z1)B1(0,0,3)uurEB1得同理：&(0,3,0)uuin3uuur3AE(e0,3),AC1(-,3,0)r设m(x.,y1,z,)是平面A1B1C1的一个法向量则令x2得yurn(2,1,1).urnrcosn1,n2x1in又n(0,1,0)是平面OA巳的一个法量=槌4116.6所以二面角的大小为arccos614.(2008辽宁文)如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD截面PQEF/AD,截面PQGH/AD.(I)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；(H)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，中，AP=BQ=b(0b1H.G/Z-，F并求出这个值；41(m)若b,求DE与平面PQEF所成角的正弦值.13 2.本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力.满分12分.解法一：(I)证明：在正方体中，ADAD,ADAB,又由已知可得PF/AD,PH/AD,PQ/AB,所以PHPF,PHPQ,所以PH平面PQEF.所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.4分()证明：由(I)知PFJ?AP,PHf2PA，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是h/2AP72PA)PQ扼，是定值.8分(m)解：设AD交PF于点N，连结EN,因为AD平面PQEF,所以ZDEN为DE与平面PQEF所成的角.1_-因为b一，所以P,Q,2*3.2可知DN，DE4所以sinZDEN3.2432E,F分别为AA,BB,BC,AD的中点.32也212分Az解法以D为原点，射线DA,DC,DD分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz.由已知得DF1b,故A(1,0,0),A(1,0,1),D(0,0,0),D(0,0,1),P(1,0,b),Q(1,1,b),E(1b,1,0),F(1b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1).(I)证明：在所建立的坐标系中，可得uuuruurPQ(0,1,0)PF(b,0,b),uuurPH(b1,0,1b),uuuuuuuuAD(1,0,1),AD(1,0,1).uuuuuuiruuuuuuruuuu因为ADgPQ0,ADgPF0,所以AD是平面PQEF的法向量.uuuuuuuruuuuuuiruuuu因为ADgPQ0,ADgPH0,所以AD是平面PQGH的法向量.uuuuuuuuuuuuuuur因为ADgAD0,所以ADAD,所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.4分uuruuruuuruuuruuuruuiruur()证明：因为EF(0,1,0)，所以EF/PQ,EF=PQ，又PFPQ，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形.uuur_uuu_在所建立的坐标系中可求得PH2(1b),PFJ2b,uuruuuuur所以|PH|PF72，又PQ1,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为42，是定值.8分uuuu(山)解：由(I)知AD(1,0,1)是平面PQEF的法向量.由p为AA中点可知,、，1所以E,1,0,2uuuuDEQ,E,1,1,2F分别为BB,BC,AD的中点.1，因此DE与平面PQEF所成角的正弦值等于12分CCuuuruuuu|cosAD,DE15.(2008辽宁理)如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，AP=BQ=b(0b=UUT|m|g|BD|二面角E-AF-C为锐角，23155125.15所以所求一面角的余弦值为.520.（2008陕西理）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1,BAC90,A1A平面ABC,A1A43,AB42,AC2,AC11,A1C1B1.-A、BD1.DC2(I)证明：平面AAD平面BCC1B1；(H)求二面角ACCiB的大小.QBD:DCi:2,BD技又也3AB3ABBCAiCiDBAs/XABC,ADBBAC90，即AD又AAIADA,BC平面AiAD,QBC平面BCCiBi,平面AAD平面BCCiBi.（n）如图，作AECiC交CiC于E点，连接BE,BC.W:EaF-cB、D（第20题，解法一）20.解法一：（I）QAA平面ABC,BC平面ABC,A,ABC.在RtABC中，AB扼，AC2,BC扼，由已知得AB平面ACCiA.AE是BE在面ACCiAi内的射影.由三垂线定理知BECCi,AEB为二面角ACCiB的平面角.过Ci作CiFAC交AC于F点,V3,则CFACAFi,CiFAACiCF60.在RtAEC中，AEACsin60在RtABAE中，tanAEBAB、2AEa、6B为arctan.3建立空间直角坐标系,即二面角ACCiAEBarctan解法二：（I）如图，则a（0,0,0）b（龙,0,0）,c（0,2,0）a。0,73）,Ci（01,73）,uuiriuuirQBD:DCi:2,BD-BC.3D点坐标为业，2,0.3uuir,BCuL2.22八AD，-,033uuuuuiruuirQBCgAA0,BCgAD0BC平面AiAD，又BC-uuur（2,2,0）,AABCAAi,平面BCCiBi,（0,0,V3）-BCAD,平面AADAAI平面BCCiBi.uuu(n)QBA平面ACCiA，取mAB(】2,0,0)为平面ACC的法向量,设平面BCCiBi的法向量为n(l,2l2mm.3n0,0,l.2m,nunnm,n)，则BCgn.3m,3uiuu0,CC1gn0.如图，可取m1,则n、2,屿2,20cosm,n；G2)20202g(；2)10-3332I3即二面角ACCi15B为arccos521.（2008陕西文）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A&G,BAC90,A1A平面ABC,A,AV3,ABAC2AG中占I八、(I)证明：平面AAD平面BCC1B1;(H)求二面角ACCB的大小.C21.解:的法了出A_L平而u平面ARC二AM_LBC-在feAEAC中=ACJ）为HC中点.二HC工AD,SZAMAD=A,二BCJ_平面AMD又HTu平面BCCA，二平血A,AD上军面ECU8，（n）加fthft.qcc.c于E点连埃BE,业已知俾.W平面ACC.A,二AEJfeBEa平面4CCA内射射貌.由三琳线鹿理知meJ_CTj.为二面角A-CCl8的画角.过G作AC交AC于F.则CFAC-AF*I心F=AM二占,AZCLO60*.在中，住=ACiin*金K喜占，在RfABAE中wiAE占禁.旦一访AE73-j.AEB*AretanT网工面倒-8为疝mn枣匚第1*屈，解法一)二由角A-CCt-B为g吨里gL722.(2008四川文)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角WfHiNI】01图，建立字间苴角坐标系，叫