荆州市第三中学2018学年上学期高二数学12月月考试题含解析

、选择题荆州市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级姓名分数1.如图，在 ABC中，AB=6 ,AC=4应，A=45,。为ABC的外心，则菽?它等于（A . - 2 B, - 1 C. 1 D, 22. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（C.3.37r j-ttD, 定义集合运算：A*B=z|z=xy , xCA）y C B.设 A=12, B=0 , 2,则集合A*B的所有元素之和为B. 2C. 3D. 6y -x,4.目标函数z = x + my的最大值小于2,则m的取值范围为（设m1,在约束条件yEmx,下, x y -1.A. (1,1+扬b. (1 + 72,+)C. (1,3)D. (3,y)5.A.在等比数列an中，已知a1=3,公比q=2,则氏和a8的等比中项为（48 B. 48 C. 96 D. 966.11+kf（7）则 f（2）二（ xvJk.3A. 3 B. 1 C. 2 D. 三27 .若函数f (x)的定义域为R,则函数f (x)是奇函数”是f (0) =0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件8 .设数列an的前 n 项和为 Sn,若 Sn=n2+2n (nCN*),则 J+tJ+一+二-=()alai a2aj anan+l八 1_ 1 10 1 n 1ABCD3 2n+l 3 2n+36 4n+36 4n+69 .某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是()兀兀兀A. 1 + B. 1+C. 1+D. 1+兀126310 .如图，棱长为的正方体 ABCDABGDi中，E,F是侧面对角线BCi,ADi上一点，若 BEDF是菱形,1A. 一2C 11 口.2则其在底面 ABCD上投影的四边形面积()3B .一411.A.若a 0, b0, a+b=1,则y+g的最小值是（）z c2 B, 3 C, 4 D. 512. 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350, 500, 150,按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为()A. 5B.6C.7D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题 二、填空题0冥(113.向区域*。1内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为.L /322b -14 .已知函数f(x)=x+ax+bxa -7 a在x =1处取得极小值 10,则一的值为 .a15 .设是空间中给定的1个不同的点，则使u 成立的点的个数有 个.j16 .已知函数f (x) =xm过点(2, ?),贝U m=.17 .若双曲线的方程为 4x2-9y2=36,则其实轴长为 .18 .如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，AB=5 , BC=4 , AA1二3,沿该长方体对角面 ABC1D1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 .三、解答题19,已知等比数列an中，a1=,公比q=9.1 - %(I ) Sn为an的前n项和，证明：Sn=42(n )设 bn=log3a + log3a2+ +lOg3an,求数列bn的通项公式.CD垂直平分半径 OA,垂足为F,沿直径AB将20 .如图1,圆。的半径为2, AB, CE均为该圆的直径，弦半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图2)(I )求四棱锥 C - FDEO的体积(n )如图2,在劣弧BC上是否存在一点 P (异于B, C两点)，使得PE/平面CDO?若存在，请加以证明;若不存在，请说明理由.21 .已知 C- r 冗),H sirr-cos=p(1 )求 sin a , cos a 的值；(2)若 sin (Q + B ) = - s BE S 占)，求 sin 3 的值. .一一-3x a22.(1)【淮安市淮海中学 2018届高三上第一次调研】已知函数f x =一3 b当a =b =1时，求满足 f x )=3x 的x的取值;若函数f(x )是定义在R上的奇函数存在t w R,不等式f (t2 -2t )1，所以直线Z = x + my载矩为-，即直线工=X +my a演)+ M)= 1过点Arh取最大值，不妨设点A的坐花为为)，有上孔=吟，所以此时工=工。+皿心=丁匚+工，解方程得mwa-&J + a),又因为已知a Al,所以a的取僖范围为 1 + m 1考点：线性规划.【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z = x+my截距为 ,作L : x + my = 0，向可行域内平移，越向上，则的值越大，从而可得当直线直线 m% + y(o = 1 2,解不等式可求 m的范围.5 .【答案】B【解析】解：在等比数列an中，ai=3,公比q=2, .82=3 X2=6,ag=3X 27=384,. .82和88的等比中项为 衣乂384= 48.故选：B.6 .【答案】A11+x【解析】解：.f (一)=,7 .【答案】A【解析】解：由奇函数的定义可知：若 f (x)为奇函数，则任意X都有f (- x) =-f (x),取x=0,可得f (0) =0；而仅由f (0) =0不能推得f (x)为奇函数，比如 f (x) =x2,显然满足f (0) =0,但f (x)为偶函数.由充要条件的定义可得：函数f (x)是奇函数是f (0) =0”的充分不必要条件.故选：A .8 .【答案】D【解析】 解：.Sn=n2+2n (neN*) , .当 n=1 时，a二Si=3；当 n 或时，an=Sn-Sn 1=(n2+2n)- (n1)2+2(n - 1) =2n+1 .-=1 .=- I (2n+l) (2n+3)2 2n+l2n+3，+-+-占(工-工)+ 己-工)+ +- - 2 : F = 丁二9 1士;+二-=、，)31 1 - 4门+6故选：D.【点评】本题考查了递推关系、裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.【答案】A【解析】解：由三视图知几何体的下部是正方体，上部是 2圆锥，且圆锥的高为 4,底面半径为1;正方体的边长为1 ,几何体的体积V=V 正方体+ 、圆糙=13+4*兀被乂=1 +喉故选：A .【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及图中数据所对应的几何量.10 .【答案】B【解析】试题分析：在棱长为的正方体 ABCD ABC1D1中，BG =AD1 =42,设AF =x ,则 层x = J1 + x2 解得x=,即菱形BEDF的边长为互=也则bedf 在底面ABCD上的投影四边形是底边3 3为一，高为的平行四边形，其面积为 一，故选B.4 4考点：平面图形的投影及其作法.11 .【答案】C【解析】解：-a 0, b0, a+b=1 ,.y=3+（=（a+b）（2W）=2+12+2p1=4，当且仅当 a=b=a时取等号.1- y=+ 的最小值是4.【点评】本题考查了 乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题.12 .【答案】C【解析】由分层抽样的意义知，应从青年职工中抽取的人数为- x35O7 （人），故选C.350 + 500+150二、填空题13 .【答案】1.fOxl【解析】解：不等式组 0yx2foxi由题意，a（1, 1）,，区域。4y5 -5b = 0,所以 4 +z2+z4 +z5 - 5c= 0因此，存在唯一的点 M,使 2必二0 成立。jt-i故答案为：16 .【答案】1 .1 1【解析】解：将(2, 2)代入函数f (x)得：2 =2m,解得：m= - 1;故答案为：-1.【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题.17 .【答案】6 .【解析】解：双曲线的方程为 4x2-9y2=36,即为：可彳a a=3,则双曲线的实轴长为 2a=6.故答案为：6.【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题.18 .【答案】 114 .【解析】解：根据题目要求得出:n1 1a1=l，q=-当5M的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5冲+5为+3）2=114.故答案为：114【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析 判断解决问题.三、解答题19 .【答案】【解析】证明：（I） .数列an为等比数歹U,1- % 1- 又.=丹Sn2.S=-H.3 n21(H)二好百 0 bn=log3a+log 3a2+.+log3an= log33+ ( 210g33) +-+ ( nlog33)n (n+l)=2数列b n的通项公式为：bn= - (n+D2【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质.20.【答案】【解析】解：(I)如图1,二弦CD垂直平分半径 OA,半径为2, .CF=DF, OF=joC=l, 在 RtACOF 中有 / COF=60 , CF=DF=/， . CE 为直径，DEXCD, .OF/ DE, DE=2OF=2 ,5梯形fdeo (OF+DE)叩F二药图2中，平面 ACB 平面ADE ,平面 ACB n平面 ADE=AB ,又 CFXAB , CF?平面 ACB , .CFL平面ADE ,则CF是四棱锥C- FDEO的高， 13Vc-FDEO 二 * 梯形 FDEOCF ;工(n )在劣弧BC上是存在一点P (劣弧BC的中点)，使得 PE /平面CDO. 证明：分别连接PE, CP, OP, 点p为劣弧BC弧的中点，. NC0P二2NC0B, . Z COF=60 , ./ COP=60,则 4COP 为等边三角形， .CP/ AB,且 CP弓AE,又.DE /AB 且 DE=虹，CP/ DE 且 CP=DE,四边形CDEP为平行四边形，PE/ CD,又 PE?面 CDO, CD?面 CDO, PE/ 平面 CDO .图1图2【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平 行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力， 求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题.21.【答案】a a 2J3【解析】解：（1）将sin与+cos-n-两边平方得:(sing+cos月)2=sin2-+2sin-cos-22222+cos2-1-=1+sin a =1,-1 sin a =-,j r / n 、.a 6 (,兀)， COS a = - J1 - si 口2 d = -Jn(2)a C (亍，兀)，3 (0,兀3五 + 3 e ( , -y),sin ( a + 3 )一嚏 V 0, 33T 下），. cos ( a + 3 ) =-71 -=32 比41 2 比 4 W+4则 sin 3 =sin=sin ( a + 3 ) cosa - cos ( a + 3 ) sin” =一三x ( (=)2? 止即产+ N止k。在f wK时有解，根据判另1怔大于零可得面的取值范围如求函数且目)：g(x) = 3工十k,则s(2x) 二 3五十3a二(笋十3-1 2 因此不等式可转化为一元二欠不等式，并将其 9变量分离得：顺工十 的最小值，其申二3工+h库之2,基本不等式求最值得懈M6【解析】t试题-312 Y解析：(1)由题意，f=3 ,化简得33 ) +2 3 1 = 03x 1 11解得3x = -1舍或3x=1,3(2)因为f (x层奇函数，所以f (-x)+f (x)=0 ,所以xx-3a -3 a -Zx-1-1= 03 b3x 1 b化简并变形得：3a -b 3x 3 2ab -6 =0要使上式对任意的 x成立，则3ab=0且2ab6=0a=1,、a=-1一. 一一解得：或，因为f(x)的定义域是R,所以b=3 b=-3a = -1 舍去b =3所以 a=1,b=3,所以 f (x) =f xT对任意 x1,x2 w R, % x2有：-3x 1 3x1 323x 1f 为-f x2 =1 _22-3 3再 1 3x2 133勺一3%(3%十1X3x2 +1)因为x1 0 ,所以f (% )a f8), 因此f (x胫R上递减.因为 f (t2 -2t )2t2 -k , 即t2 +2t -k 0 ,解得：t 一1 ,所以k的取值范围为(t,)一一 13”-3、因为 f (x ) _g(x )+2 = 3(32 -3x ),所以 g(x)=-2即 g x =3x 3，2所以 g 2x =33= 3x 3-2不等式g(2x)2m-g(x )T1恒成立, v v 2即(3x +3 ) -2 m (3x +3 )11 ,9即：mW3x+3+r三恒成立3x 3y v9令t =3x +3 ,t 2,则m t+ 在t上2时恒成立 t99令 h(t )=th(t )=1， tj2,3)时,h(t)0,所以h(t堆(3,+如小单调递增 所以 h(t Ln =h(3) = 6，所以 m W6所以，实数m的最大值为6 考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题求出【思路点睛】 利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性, 最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为 函数的最值问题。23 .【答案】【解析】I C : P=2j5sin日C : x2 +y2 2 J5y =0 ,即圆 C 的标准方程为 x2 + (y J5)2直线的普通方程为x + yJ5-3=0.所以，圆C的圆心到直线的距离为0 55 55 3 33V2万一2x2(y-2 =5 x = 1x = 2n由4(y：)5,解得厂或广y -x . 5 3y =5 2 y -、. 51所以 | PA| |PB 尸.(3 -1)2 ( 5 -、5 - 2)2(3 -2)2 (5 - 5 -1)2 =3、. 224 .【答案】【解析】 解：(1) c=VlasinC-ccosA,由正弦定理有：VsinAsinC sinCcosA sinC=0 ,即 sinC? (VsinA cosA 1) =0 ,又，sinC#0,所以加sinA cosA 1=0,即 2sin (A专)=1,所以a=2；(2) SMBc=,bcsinA=所以 bc=4 ,a=2,由余弦定理得：a2=b2+c2- 2bccosA,即 4=b2+c2- bc,bc=4|b，cbc=4解得b=c=2.