312三角函数线的应用

高中数学专题教学研习讲稿高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客： 邮箱：anson_top专题： 三角函数线的应用& 基本知识点（Level A）【1】三角函数定义: 任意角的三角函数1任意角的三角函数的概念设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，S拓展：任意角的三角函数值只与终边的位置有关，与在终边上选取的点无关，以此可引出三角函数线的概念 可见任意角的三角函数之间的关系非常复杂且变化多端，但学生仅仅需要掌握正余弦以及正切2三角函数在各象限的符号，在四个象限的符号，根据定义第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正S拓展：三角函数在各象限的符号可记作：一正二正弦，三切四余弦（简记为“全”）_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）已知角的终边经过点，则的值为 答案：（2）设是第三、四象限角，则的取值范围是 答案：（3）若，试判断的符号 答案：负【2】三角函数定义:三角函数线PvA O M T 1三角函数线的定义特别地在任意角的三角函数的概念中，我们假定，即为单位圆的概念（半径的圆为单位圆，在本节中为了研究的方便，我们将该单位圆的圆心放在了原点）以此我们可以用几何法表示任意角的三角函数值三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式2三角函数线的画法如图，图中的有向线段、对应的分别为：，的三角函数线S拓展：教材即是在此处第一次引进了有向线段这个概念，指的是既有大小又有方向的线段S注意：要作一点说明的是，在单位圆中作出在第二、三象限内的三角函数线必须进行延长，否则就不符合定义3三角函数线的特征 正弦线“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线“躺在轴上(起点是原点)”、正切线“站在点处(起点是)” 重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，正弦纵坐标、余弦横坐标、正切纵坐标除以横坐标之商” 记住：单位圆中角终边的变化与值的大小变化的关系 为锐角_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）若，则的大小关系为 答案：（2）若为锐角，则的大小关系为 答案：（3）函数的定义域是 答案：【3】三角函数定义:特殊角的三角函数值特殊角，的三角函数值须记住并能熟练使用：（在以后的编制过程中尽量保证使用弧度制，这样更为方便）不存在不存在【4】同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：（变式：，）（2）商数关系：（变式：，）（3）倒数关系：*，*，S 注意：其中，带*的不必掌握 同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）函数的值的符号为 答案：大于（2）若，则使成立的的取值范围是 答案：（3）已知，则 答案：（4）已知，则 ； 答案：；（5）已知，则 答案：（6）已知，则 答案：【5】 正弦、余弦的诱导公式1诱导公式的记忆规律主要是指、等角的转换记忆方式一：诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.记忆方式二：六组诱导公式诱导公式一：诱导公式二：诱导公式三：诱导公式四：诱导公式五：*诱导公式六：*S 注意：其中，带*的不必掌握记忆方式三：正弦、余弦的诱导公式；如：,记忆方式四：两角和与差公式的特殊化（1）；（2）；（3）；（4）2诱导公式的作用诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：Step 1: 负角变正角，再写成（）；Step 2: 转化为锐角三角函数_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1） 答案：（2）已知，则 答案：（3）若为第二象限角，则 答案：& 拓展知识点（Level B）【1】角族元素三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 、”的关系. 如等.【2】有用的结论（1）半角所在的象限：（2）和的符号规律：与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则是第_象限角（答：一、三）& 深化知识点（Level C）【1】同角三角函数的基本关系式的记忆法则：其实任意角的三角函数不止、，根据教材版本作稍许拓宽，但不需掌握正弦：倒数余割：余弦：正割：上述两者求倒数上述两者求倒数正切：余切： （1）对角线上对应的函数互为倒数例：（2）每一个顶点对应函数等于相邻顶点对应函数的乘积例：（3）阴影三角形中，上面二个顶点对应的函数的平方和等于下面一个顶点的平方例：【2】用反三角函数表示角时要注意角的范围反正弦：，；反余弦：，；反正切：，& 高阶阅读交流、素材提供 博客： 邮箱：anson_top第 5 页 共 6 页