函数方程思想在解题中的应用

函数方程思想在解题中的应用衡阳县一中 王爱民 马中平湖南祁东育贤中学 周友良 421600一. 在集合方面的运用例1. 50名学生报名参加A、B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数解析：此题是一道应用题，若用建模则寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图设AB的元素为x个，则有（30x）x（33x）（x1）50，可得x21，x18那么符合条件的报名人数为8个二. 在不等式方面的运用例2、解不等式 分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意到且题中出现 , 启示我们构造函数f(x)=x3+5x去投石问路。解：将原不等式化为，令f(x)=x3+5x，则不等式变为，f(x)=x3+5x在R上为增函数原不等式等价于，解之得：1x2或x2。例3.知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2上式等价于或解得a8.注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x5-4sinx+即a+1-2sin2x0,( t-1,1)恒成立。设f(t)= 2t2-4t+4-a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在-1，1内单调递减。只需f(1)0,即a-2.(下同)三. 在数列方面的运用例4.已知数列的通项公式，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？分析：根据条件，数列的点都在函数的图象上，如右图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。例5已知数列是等差数列，若，求。解：，故为等差数列，其通项为一次函数，设，则点，在其图象上，故，解之得：。评注：是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点。本题是利用待定系数法建立一次函数来求解。例6设等差数列的前n项和为，已知，。（1）求公差d的取值范围；（2）指出、中哪一个值最大，并说明理由。分析：对于（1），可考虑由，建立关于d的不等式组，对于（2）由是n的二次函数加以考虑，转化为求二次函数的最值问题。解：（1）由知，。（2），是关于n的二次函数，图象的对称轴方程为：，故当整数时，最大，即最大。评注：对于等差数列来说，是n的二次函数，且常数项为零，可写为的形式，其图象必过原点，对于此题来说，由于，故图象与x轴的另一交点横坐标，满足，故对称轴为，因此，判定时最大，以上思维过程更为简捷。四. 在解析几何方面的运用例7.设点(，0)，和抛物线：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到： x11，点P2(x2，2)在抛物线C1：yx2a1xb1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，点在抛物线：yx2an xbn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离 ()求x2及C1的方程 ()证明是等差数列解：()由题意,得A(1,0),C1：y=x2-7x+b1.设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|=令f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2,则由题意得,即又P2(x2,0)在C1上,2=x22 -7x2+b1解得x2=3,b1=14.故C1方程为y=x2-7x+14.()设P(x,y)是C1上任意一点,则|AnP|=令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则,由题意得,即=0,又,(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n1),即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0, (*)下面用数学归纳法证明xn=2n-1. 当n=1时,x1=1,等式成立. 假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, (*)又ak=-2-4k-,.即当n=k+1,时等式成立.由知,等式对nN+成立,xn是等差数列.例8.xyOAB图4在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）（）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解法一：（）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，依题意得 ， ，即 ， 由得，设直线的方程为可化为 ， ， 设的重心G为，则 ， ，由得 ，即，这就是得重心的轨迹方程（）由弦长公式得把代入上式，得 ，设点到直线的距离为，则， ， 当，有最小值，的面积存在最小值，最小值是 解法二：（） AOBO, 直线，的斜率显然存在，设AO、BO的直线方程分别为，设，依题意可得由得，由得，设的重心G为，则 ， ， 由可得，即为所求的轨迹方程.（）由（）得，当且仅当，即时，有最小值，的面积存在最小值，最小值是 .解法三:（I）设AOB的重心为G(x , y) ，A(x1, y1)，B(x2 , y2 )，则 （1）不过OAOB ，即， （2）又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得，所以重心为G的轨迹方程为，（II），由（I）得，当且仅当即时，等号成立，所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1 五. 在立体几何方面的运用例9.如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBN，求MN的最小值。（2002年全国高考题）分析：由于点M、N分别在异面直线（线段）AC与BF上移动，MN的最小值易理解为AC、BF间的距离，但有两点应引起注意：其一，CMBN；其二，AC与是线段而不是直线，因此的最小值未必是异面直线与间的距离。采用构建的目标函数，用代数方法略解如下：过作MOAB于O点，连接ON，由题设可得AM，由，所以MO。又，ONAF，ON，在直角MON中，MN，当且仅当时线段MN取得最小值。例10.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y, （1）求MN的长(用x,y表示)；（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。解析：在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：PN2=，在中，MN=；（2）MN，故当，时，MN有最小值。且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离。六. 在三角函数方面的运用例11、已知x,2y，aR,且求cos(x+2y)的值。分析与解：此题直接求解困难较大。但观察式子（1），（2）可得变形： x3+sinx=2a,(2y)3+sin2y=-2a,由这式子使我们联想到函数f(v)=v3+sinv 由（1）得，f(x)=2a; 由（2）得，f(2y)=-2a;由f(v)在上，为单调的奇函数。故f(x)=-f(2y)=f(-2y),又x,2y,x=-2y,x+2y=o,从而cos(x+2y)=0。例12、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.七. 在二项式定理方面的运用例13.设，则_。分析：本式为二项式展开式中的偶数项系数和，而不是偶数项二项式系数和，不能直接用二项式系数性质求解，但可用赋值法构造方程求解。解：由于。令得：令得：两式相加再除以2得：。例14.求证：。分析：从，是展开式中项系数，是展开式中项系数，故可利用两边二项展开式中对应项系数相等来加以证明：左边展开式中的系数为：而右边展开式系数和为。故。八. 在概率统计方面的运用例15某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列如下：12312P设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用100元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？命题意图：本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题.知识依托：期望的概念及函数的有关知识.错解分析：在本题中，求Ey是一个难点，稍有不慎，就将产生失误.技巧与方法：可借助概率分布、期望、方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题.解：设x为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑1x12的情况，设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量的函数且y=,电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为：Ey=300x(Px+Px+1+P12)+300100(x1)P1+2300100(x2)P2+300(x1)100Px1=300x(12x+1)+ 300=(2x2+38x)由于xN,故可求出当x=9或x=10时，也即电器商月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.例16.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有、两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为级时，产品为一等品，其余均为二等品表一概 工 率 序产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8（）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率甲、乙；表二利 等 润 级产品一等二等甲5(万元)2.5(万元)乙2.5(万元)1.5(万元)（）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（）的条件下，求、的分布列及、；表三 用 项 量 目产品工人(名)资金(万元)甲85乙210（）已知生产一件产品需用的工人数和资金如表三所示，该工厂有工人40名，可用资金60万，设、分别表示生产甲、乙产品的数量，在（）的条件下，、为何值时最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力.解:（）解：（）解：随机变量、的分别列是52.5P0.680.322.51.5P0.60.4 （）解：由题设知目标函数为 作出可行域（如图）：作直线 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，此时 10分取最大值. 解方程组得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .九.在平面向量方面的应用例17.已知向量在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围. 解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（1，1）上恒成立.解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，十.在实际问题方面的运用.例18.运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元.且bac,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）.解：设运输路程为S（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y1(元)、y2(元)、y3(元).则由题意，,由ab,各字母均为正值，所以y1y20，即y20,由cb及每字母都是正值，得cb+.所以，当cb+时y2y3,由y2y1即y2最小，当bacb+时，y3y2y1,y3最小.电子邮箱zyl2518006126 ,手机号码； ；QQ：406426941 湖南祁东育贤中学 周友良 421600