微积分证明不等式方法

18 / 18用微积分理论证明不等式的方法#省扬中高级中学 卞国文 212200高等数学中所涉与到的不等式,大致可分为两种:函数不等式和数值不等式对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式；对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式一、用导数定义证明不等式法1证明方法根据导数定义导数定义：设函数在点的某个邻域内有定义,若极限存在,则称函数在可导,称这极限为函数在点的导数,记作2证明方法：找出,使得恰为结论中不等式的一边；利用导数的定义并结合已知条件去研究3例例1:设函数,其中都为实数,为正整数,已知对于一切实数,有,试证：分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数,如果能找出它们之间的关系,无疑能帮助解决此题,可以看出：于是问题可以转化为证明证明：因则利用导数的定义得：由于所以即4.适用范围用导数定义证明不等式,此方法得适用范围不广,我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系有些不等式符合导数的定义,因此可利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为简的目的二用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法根据可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一：若函数在可导,则在内递增递减的充要条件是：.定理二：设函数在连续,在内可导,如果在内或,那么在上严格单调增加或严格单调减少.定理三：设函数在内可导,若或,则在内严格递增或严格递减.上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系,因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.2.证明方法1构造辅助函数,取定闭区间；如何构造辅助函数？利用不等式两边之差构造辅助函数见例2；利用不等式两边相同形式的特征构造辅助函数见例3；若所证的不等式涉与到幂指数函数,则可通过适当的变形若取对数将其化为易于证明的形式,再如前面所讲那样,根据不等式的特点,构造辅助函数见例4.研究在上的单调性,从而证明不等式.3.例例2：证明不等式：.分析：利用差式构造辅助函数,则将要证明的结论转化为要证,而,因而只要证明.证明：令,易知在上连续,且有,由定理二可知在上严格单调增加,所以由单调性定义可知,即.因此.例3：求证：.分析：不等式两边有相同的形式:：试构造辅助函数.利用定理二与在在上的单调性证明不等式.证明：设辅助函数.易知在上连续,且有.则由定理二可知在上严格单调增加.由,有,得到,所以原不等式成立.例4：证明：当时,.分析：此不等式为幂指数函数不等式,若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数,更很难判断其在上的单调性,可对不等式两边分别取对数得到,化简得,在此基础上可利用差式构造辅助函数：,因,因而只要证明即可.证明：分别对不等式得两边取对数,有,化简有：.设辅助函数,易知在上连续,也在上连续,因,根据定理二,得在上严格单调增加,所以.又由在上连续,且,根据定理二可知在上严格单调增加,所以,即,因此,即.4.适用范围利用函数单调性证明不等式,不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续,开区间内可导,且在闭区间的某端点处的值为0,然后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1证明方法根据极值的充分条件定理定理四极值的第一充分条件设在连续,在内可导,i若当时,当时,则在取得极大值; 若当时,当时,则在取得极小值.定理五极值的第二充分条件设在的某领域内一阶可导,在处二阶可导,且,若,则在取得极大值；若,则在取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑,而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值,则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.2.证明方法1构造辅助函数,并取定区间.如何构造辅助函数？当不等式两边均含有未知数时,可利用不等式两边之差构造辅助函数见例5；当不等式两边含有相同的形式时,可利用此形式构造辅助函数见例6；当不等式形如或为常数时,可设为辅助函数见例7.求出在所设区间上的极值与最大、最小值.极值与最大、最小值的求法极值求法：1求出可疑点,即稳定点与不可导的连续点；2按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.最大、最小值的求法：1闭区间上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点,再将可疑点处的函数值与端点处的函数值比较,最大者为最大值,最小者为最小值.2开区间内可导函数的最大值、最小值的求法：若在内可导,且有唯一的极值点,则此极值点即为最大值点或最小值点.3.例例5：证明：当时有.分析：利用差式构造辅助函数,这与前面利用函数单调性定义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同,但由于在上不是单调函数,因对任意,且,不能判断的符号.所以不能用可导函数的单调性证明此不等式,则可采用函数的极值方法试之.函数的单调性证明此不等式,则可采用函数的极值方法试之证明：构造辅助函数,则有令,解得,其中只有在区间内,由,有在点连续因当时,则在上为减函数；当时,则在上为增函数；由定理四可知,在处取得极小值,即为区间上的最小值,所以当时,有故即例6：设,则分析：此不等式两边含有相同的形式：,可将不等式变形为,可构造辅助函数证明：将不等式变形为,构造辅助函数,则有,令,则有当时,所以单调递减；当时,则单调递增因此,由定理四可知在时取得极小值,即最小值所以当,有,即例7：证明：若,则对于中的任意有： 分析：显然设辅助函数,若设,由,故很难用函数单调性的定义去证明考虑到,不难看到不等式,即为与其端点处的函数值的大小比较问题,因而可想到用最值方法试之证明：设辅助函数为,则时,有：令得,解之得稳定点,因函数在闭区间0,1上连续,因而在0,1上有最大值和最小值,已知.有因此对一切时,有所以原不等式得证.4.适用范围1所设函数在某闭区间上连续,开区间内可导,但在所讨论的区间上不是单调函数时；2只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.四、用拉格朗日中值定理证明不等式法1.证明方法根据拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数满足下列条件：I在闭区间上连续；在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得.拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.2.证明方法辅助函数,并确定施用拉格朗日中值定理的区间；对在上施用拉格朗日中值定理；利用与的关系,对拉格朗日公式进行加强不等式.3.例例8：证明：当.分析：所证不等式中的函数的导数为 ,即所证不等式中含有函数与其导数,因而可用拉格朗日中值定理试之.由于,因此可构造函数的改变量,则相应自变量的改变量为,原不等式等价于：,由不等式中间部分的形式可知,可利用拉格朗日中值定理去证明.证明：构造函数,因在上连续,在上可导,在上满足拉格朗日条件,于是存在,使 ,因,所以.即.4.适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数,或函数增量与一阶导数时,可用拉格朗日中值定理来证明.五、用柯西中值定理证明不等式法1.证明方法根据柯西中值定理柯西中值定理：若函数与都在闭区间上连续；与都在开区间内可导；与在内不同时为0；. 则在内至少存在一点,使得 .柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.2.证明方法构造两个辅助函数和,并确定它们施用柯西中值定理的区间；对与在上施用柯西中值定理；利用与的关系,对柯西公式进行加强不等式.3.例例9：设,证明.分析：原不等式可等价于.可看出不等式左边可看成是函数与在区间上的改变量的商,故可用柯西中值定理证明之.证明：原不等式等价于,可构造函数,因均在上连续,在上可导,且,由于,则,所以在上满足柯西中值条件,于是存在,使得,又因有,得到 ,因此,即.4.适用范围当不等式含有两个函数的函数值与其一阶导数,或两个函数的函数增量与其一阶导数时,可用柯西中值定理证明.六、上述二、三、四、五种方法小结前面二、三、四、五种方法中,均可利用差式构造函数,但有时应用导数研究函数单调性证明不等式,有时应用导数研究函数极值证明不等式,而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式.三者有何区别：若所证不等式含有函数值与其导数,宜用中值定理；若所证不等式,其两端函数均可导,且或有一为0时,宜用函数的单调性.若所证不等式的两端函数有不可导时,不能用函数单调性证明,宜用中值定理.若所证不等式,两端函数均可导,但不是单调的函数时,宜用函数的极值来证明.七、用函数的凹凸性证明不等式1.证明方法根据凹凸函数定义与其定理和詹森不等式定义：设为定义在区间I上的函数,若对于I上任意两点和实数,总有,则称为I上的凸函数,若总有,则称为I上的凹函数. 定理六：设为I上的二阶可导函数,则为I上的凸函数或凹函数的充要条件是在I上 .命题詹森不等式 若在上为凸函数,对任意的且,则.该命题可用数学归纳法证明.函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系.2.证明方法：定义证明法：将不等式写成定义的形式,构造辅助函数,并讨论在所给区间上的凹凸性.詹森不等式法：对一些函数值的不等式,构造凸函数,应用詹森不等式能快速证此类不等式.3.例例10：证明：当时,.分析：不等式等价于：.不等式两边含有相同形式：,可设辅助函数.因此原不等式可化为要证.只要证明在上为凸函数,即证在内即可.证明定义证明法：设.有.则在为凸函数.对任意,有.因此.例11：若A,B,C是的三内角,则.分析：不等式左边为的函数的和,考虑构造凸函数.证明詹森不等式：令,则.则是上的凸函数,取,由,得到,由詹森不等式结论得：,因是的三内角,则,可得.即.4.适用范围当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.八、用泰勒公式证明不等式法1.证明方法根据泰勒定理泰勒定理：若函数满足如下条件：在闭区间上函数存在直到阶连续导数;在开区间内存在的阶导数,则对任何,至少存在一点,使得:. 泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系.2.证明方法根据已知条件,围绕证明目标,选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式；根据已知条件,向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.注意具体的题目应用此方法时要灵活运用,有些题目在进行前,要先对已知条件或证明目标进行适当的转化,以更有利于证明的进行,使不会过于繁琐.3.例例12：设函数在上二阶可导,且,试证明：.分析：根据题设条件,在上二阶可导,且函数值,可写出函数在处的一阶泰勒公式,并取考察点0或1,利用相应的泰勒公式,对作估计.证明：取,由泰勒公式分别有：.由于,则将以上两式做差,整理得：所以 因此原不等式成立.4.适用范围当遇到含有函数或高阶导数,或函数增量与高阶导数,或要证的是导数一阶或二阶不等式时,可利用泰勒公式来证明有关的不等式.九、用幂级数展开式证明不等式法证明方法根据几个重要的初等函数的幂级数展开式几个重要的初等函数的幂级数展开式如下：；初等函数是中学数学教学重点,某些初等函数可展开成幂级数,在展开式中添加或删去某些幂级数时,可很快证明出某些含幂级数的不等式.2.证明方法先把初等函数展开成幂级数,然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式.3.例例13:当,证明.证明：因分别可写成幂级数展开式,有：则左边的一般项为,右边的一般项为,因此当,所以.4.适用范围当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时,可用幂级数展开式法来证明此不等式.十、用定积分理论来证明不等式法1.证明方法根据定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一：设与为定义在上的两格可积函数,若则.微积分学基本定理：若函数在上连续,则由变动上限积分,定义的函数在上可导,而且.也就是说,函数是被积函数在上的一个原函数.微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.2.证明方法利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数,先证出,然后由定积分的性质可证见例14；构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式,可把常数变为变数构造辅助函数,利用变上限积分与函数的单调性解决此类不等式见例15.3.例例14：证明：.证明利用定积分性质：当时,则.因,在上均为连续函数.则在均可导.由定积分性质可知：例15：设在上连续,且单调递增,试证明.分析：可将此定积分不等式看成是数值不等式,并将常数变为变数,利用差式构造辅助函数：,则要证.证明：利用构造变上限辅助函数：设辅助函数.显然对,因为单调递增,则,则单调递增,所以.因此.4.适用范围当不等式含有定积分或被积函数时,可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.十一、引入参数证明不等式法1.证明方法根据将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明,用微积分理论研究函数的性质,从而证明不等式. 证明方法引入参数,构造辅助函数,得到关于的二次多项式,利用判别式来证明不等式.3.例例16：设在区间上连续,证明：柯西许瓦茨不等式.分析：欲证不等式是函数,以与的积分不等式,引入参数,考虑辅助函数在区间上的积分.证明：利用定积分的性质易知,即.这是关于的二次多项式不等式,因此,判别式：,即：4.适用范围当积分式含有平方项,或的情形.参考文献：1高等数学选讲2数学分析3常微分选讲