第九节导数的应用

第九节导数的应用【热点聚焦】运用导数研究问题是高等数学内容在中学数学中的体现，由于导数的工具性强这一因素，因此，自从导数在高中课本中浮现以来，就一受到高考命题专家的青睐，综合起来看，导数的应用重要涉及如下几种方面:(1)运用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)运用导数研究函数极值与最值;(3)运用导数研究曲线的切线问题;(4)运用导数研究不等式的证明问题;(5)运用导数研究函数的零点;(6)运用导数求参数的取值范畴等.【基本知识】1函数的单调性函数在某个区间内，若，则为增函数；若，则为减函数，若，则为常函数。2如果一种函数在某个区间内的绝对值越大，那么函数在这个范畴内变化越快，这时函数的图象就越“陡峭”。3（1）函数极值的概念函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；并且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；并且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点与极大值点统称为极值点，极小值与极大值统称为极值.（2）求函数极值的环节：求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处获得极大值；如果左负右正，那么在这个处获得极小值4函数的最大值与最小值在闭区间上持续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的环节是：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与两端点的函数值比较，其中最大的一种是最大值，最小的一种是最小值。【课前训练】1有关的函数的极值点的个数有 （ ）A2个 B1个 C0个 D由拟定2设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为（） A单调递增B、有增有减 C、单调递减 D、不拟定3=0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的 ( )(A)充足不必要条件 (B)必要不充足条件 (C)充要条件 (D）非充足非必要条件4（天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个5若f(x)=x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范畴是_6设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，= .【试题精析】一运用导数研究曲线的切线问题【例1】（安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）ABC D二运用导数研究函数的单调性【例2】(重庆卷)设函数的图像与直线相切于点。（）求的值；（）讨论函数的单调性。三运用导数研究函数极值与最值问题【例3】(陕西卷)已知函数f(x)=kx33x2+1(k0).()求函数f(x)的单调区间;()若函数f(x)的极小值不小于0, 求k的取值范畴.四运用导数研究方程的解与函数的零点问题【例4】（四川卷）已知函数，则当实数在什么范畴内变化时，函数的图象与直线只有一种公共点。五运用导数研究不等式【例5】（2浙江卷）已知函数f(x)=x+ x，数列x(x0)的第一项x1，后来各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与通过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如右图所示）求证：当n时，()x （）六运用导数研究实际问题【例6】（福建卷）登记表白，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）有关行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表达为：y=(00且a1, f（x）x2a，当x（1,1）时，f（x）恒成立，则实数a的取值范畴是( )AB CD5（江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足,则必有（ ）A f（0）f（2）2f（1）6若函数y=x3x2a在1,1上有最大值3，则该函数在1,1上的最小值是 .7（湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .8（浙江卷）在区间上的最大值是 9设为实数,函数(1)求的极值;(2)当为什么值时,函数正好有两个零点?.10(山东省样题)已知函数（）若，且存在单调递减区间，求的取值范畴；（）设函数的图象C1与函数图象C1交于点P、Q，过线段PQ的中点作轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 第九节参照答案1C 2C 3B 4A 5或 64【试题精析】【例1】【解】与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，因此在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A.【例2】【解】（）求导得。由于 的图像与直线相切于点，因此，即： 13a+3b = 11 解得: 36a+3b=-12（）由得：令f（x）0，解得 x-1或x3；又令f（x）0时 ， f (x)=3kx26x=3kx(x)，f(x)的单调增区间为(，0 ， ， +)， 单调减区间为0， （II）当k=0时， 函数f(x)不存在最小值 当k0时， 依题意 f()= +10 ， 即k24 ， 由条件k0， 因此k的取值范畴为(2，+)【例4】【解】由题意知当时，的图象与直线只有一种公共点当时，列表： 极大极小，又的值域是，且在上单调递增，当时函数的图象与直线只有一种公共点。当时，恒有，由题意得，即，解得综上，的取值范畴是【例5】【证明】（I）由于因此曲线在处的切线斜率由于过和两点的直线斜率是因此.（II）由于函数当时单调递增，而，因此，即因此又由于令则由于因此因此故【例6】【解】（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值由于在上只有一种极值，因此它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油至少，至少为11.25升【针对练习】1C 2D 3C 4C 5C 6.7.82.9剖析函数的零点就是函数的图象与轴的交点的横坐标.由此可以通过度析函数的单调性和函数的图象特性进行求解.解(1)令，得.又由于时，；时，；，因此的极小值为；的极大值为.(2)由于在上单调递减，且当时，；又在上单调递减，且当时，；而，即函数的极大值不小于极小值，因此当极大值不小于或等于零时，有极小值不不小于或等于0，此时曲线与轴正好有两个交点，即函数正好有两个零点，因此；当极小值等于0时有极大值不小于0，此时曲线与曲线与轴也正好有两个交点，即函数正好有两个零点，因此。综上所述知，当时，函数正好有两个零点。警示研究函数的零点的问题可以转化为研究相应函数图象问题.一般地,函数的零点就是函数的图象与轴的交点的横坐标.方程的根就是函数与图象的交点的横坐标.剖析运用导数的几何意义，函数在某一点处的导数值，就是函数图象在该点处的切线的斜率，求得切线的斜率后，再通过比较其在C1在点M处的切线与C2在点N处的切线的斜率不相等，来证明该题。解（I），则由于函数存在单调递减区间，因此有解.又由于时，则有的解.当时，为开口向上的抛物线，总有的解；当时，为开口向下的抛物线，而总有的解；则,且方程至少有一正根.此时， 综上所述，的取值范畴为.（II）证法一 设点P、Q的坐标分别是， 则点M、N的横坐标为 在C1点M处的切线斜率为 在C2点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则， 即，则=因此 设则 令，则由于时，因此在上单调递增. 故则. 这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.证法二：同证法一得由于，因此，令，得 令由于，因此时，故在上单调递增.从而，即，于是在上单调递增.故即这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.警示运用导数求曲线的切线问题，几乎是每年必考的内容，此类问题，即有也许出目前选择题与填空题中，也有也许出目前解答题中。在此类问题中，导数所肩负的任务是求出其切线的斜率，综合考察导数在解决函数单调性，函数曲线的切线等问题中的作用