精心设计习题变式培养学生思维能力

精心设计习题变式 培养学生思维能力摘要：习题教学是培养学生数学能力的有效途径之一，本文从习题变式的方法和内容对教材习题进行了分析,对习题的设计进行思考,提出了习题设计的一些理念,选择部分内容进行了习题设计的探索,设计出一套相对应的习题变式题。 本文主要从递进式习题变式；开放式习题变式；加以研究，通过习题的变式，营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开阔学生的视野，激发学生的情趣，培养学生的思维。关键词：习题变式 创新 思维能力在日常教学中，我们常发现这样的问题：课堂上教师讲了一道习题，让学生来做稍有“变脸”的题目，很多学生还是无从下手。这说明学生可能处于“思维定势”，只是单纯地依赖模仿与记忆，不会变通。只有对习题中蕴涵的数学思想进行变式训练，才能发挥习题的潜在作用，以达到提高学生思维能力的目的。因此，深入研究课本习题，对于理解课本知识内涵，演示解题方法，凸现解题思想有着重要意义。一、递进式习题变式递进式习题变式是由一个基本问题出发，着意设计阶梯式的问题，逐渐深入，同中求异，引导学生的思维向纵深拓展。递进式习题变式可培养思维的深刻性，使学生学起来不觉得乏味而倍感新鲜，在解决问题的过程中运用类比、特殊到一般的思维方法，探索问题的发展变化，使他们懂得怎样从事物的千变万化的复杂现象中去抓住本质，触类旁通，从而培养思维的深度与广度，活跃和开阔学生的解题思路，提升解题能力。以下题为例：【原题】：课标人教版九年上24.1.4圆周角例224.1-15如图24.115，O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC，AD，BD的长。【分析】：本题利用圆周角定理的推论，同圆中弧，弦之间的相等关系以及勾股定理的计算题。从AB为直径入手，得到ABC、ABD都是直角三角形，在直角ABC中，AB、AC已知，根据勾股定理便可求出BC，然后进一步分析，从CD平分ACB，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可知=，容易得到AD=BD，这样利用直角三角形ABD便可求出AD和BD的长。【改编1】：如图，O的半径x满足x2-2x-15=0,弦AC=6，AB为直径。（1）D是圆周上异于A，B，C的动点，当AD的长为多少时，以点A，B，C，D为顶点的四边形为等腰梯形。（2）当D运动到什么位置时，使以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为最大，此时最大面积是多少？能否以此时的四边形一个顶点画出一条分割线，将此四边形分成两部分后，使这两部分能拼成一个正方形，如能，请说明理由，画出分割线，并求此时CD的长？图3图1图2【分析】：本题中教师将一元二次方程引入问题，利用一元二次方程的解确定圆的半径，通过圆的对称性，当以点A，B，C，D为顶点的四边形为等腰梯形时，则知AC=BD=8，有两种情况，第一种情况C在 上时 ，如图（1）。当D 运动到 上 时，此时四边形ACBD为矩形，不合题意。考察了学生的分类思想。有助于分类意识的培养。从第一问可知，ABC的面积为定值，明显当D为弧AB的中点时，ABD面积最大，此时四边形面积为最大。S四边形ACBD=SABC+SABD。图形分割是学生学习中的一个薄弱环节，本问恰到好处地利用角平分线的对称原理并结合直径所对的圆周角为直角，从而得到分割线，分割线如图（3）DFCB，可以把BDF绕D点逆时针旋转900得到ADE，得到正方形EDFC。CD为此时拼割后正方形的对角线，可利用面积求CD的长。本题在图形操作上有一定难度，需要教师的引导与点拨【改编2】：如图，O的半径x满足x2-2x-15=0,AB为直径，C为半圆AMB上的一个动点，ACB的平分线交O于D。（1）试问，在点C的运动过程中，点D的位置是否发生变化？试说明理由？（2）当ABC的一条直角边的长为6时，弦CD与直径AB交点为K，试求AK的长.图4M图5M【分析】：（1）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，从而由ACB的平分线可知=，所以D为定点。（2）问要分图（4）、图（5）两种情况，考察了学生分类情况.。在图6中通过直角三角形ABC三边的长，作斜边AB上的高CE，易求AE=3.6，E0=1.4，CE=4.8，从1问的结论中可知AOD为直角，利用CEKDOK去求KO，AK=AO-OK，同理可求第二种情况，AK=AO+OK，如图7。本题在图形的构造上需要学生掌握相似的基本图形，巧妙地利用OD与AB垂直的不变结论。又强调了分类思想与意识。图6图7以上变式，注重教材中习题的延伸和拓展，适当对内容和结构作出必要且有创意的补充或重组，不断深入，层层递进。充分利用教材提供的习题的资源优势，挖掘它们的潜在变化。为学生提供良好的探索平台，引导学生不断探索，培养学生的创造能力、逆向思维能力、发散思维能力和逻辑推理能力。使学生从多方面感知数学的思想方法、提高学生综合分析问题、解决问题的能力。二、开放式习题变式开放式习题变式以课本的习题为基础，通过条件开放、结论开放、背景开放、解题策略开放等方法进行有效变式，尽可能改变题目、题型的呈现方式，让学生多角度、多层次、多方面的探究问题，开放式习题变式不仅表现在题型的开放性，更重要的是学生必须运用开放的思维方式解决此类问题，从中感受数学发现的思维过程，领悟数学发现的思维规律，掌握探索数学知识的思维方法，享受发现数学成果的快乐。是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法，能够有效解除教师对学生实行固定思维的束缚，为学生创设一个自由的思维空间。以下题为例：【原题】：问题的提出：人教版（八年下）P116，实验与探究（图8）边长为10的正方形ABCD，O为正方形ABCD的中心，正方形PMNQ（边长足够大）的一个顶点P与O重合，将正方形PMNQ绕点O旋转，与正方形的相邻两边相交，设两个正方形重叠部分的面积为S，请求出S并说明理由图8 图9变式一 顶点P在对角线BD上滑动（图9）边长为10的正方形ABCD，O为正方形ABCD的中心，连结BD，将正方形PMNQ的顶点P在BD上滑动，PM、PN与AB、BC边交于点E、F，设两个正方形重叠部分的面积为S，BP=x,试探究S与x之间的函数关系变式二 顶点P在对角线BD上滑动，建立平面直角坐标系（图10、图11）边长为10的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图，连结BD，将正方形PMNQ的顶点P在BD上滑动，PM、PQ与正方形ABCD相邻两边相交，设两个正方形重叠部分的面积为S，当时，试求P点的坐标。图10 图11 图12归纳，当正方形PMNQ与正方形ABCD的交点在直线BD的两侧时，重叠部分可以转化为正方形。变式三 顶点P在对角线BD上滑动（图12）边长为10的正方形ABCD，将正方形PMNQ的顶点P在BD上滑动，PM、QP与正方形ABCD的边BC、CD相交于E、F。1、请问DP：PB=PF：PE吗？2、当PD：PB=1：3时，线段EF有最大值和最小值吗？如果有，请求出最大或最小值。归纳，此时，易于利用直角三角形构造相似图形，利用相似的知识加以解决。变式四 P在正方形的内部时（图13、图14）边长为10的正方形ABCD，O为正方形ABCD的中心，正方形PMNQ的两边PM、PQ始终经过A、B两点。1、试说明A、P、O、B在以AB为直径的I上。2、连接PO、BO，BPO与BAO相等吗？3、当P在正方形ABCD内运动中，若OP=2，试求BP的长。 图13 图14变式五 综合题（图15、图16）在平面直角坐标系中，直线y=-x+b(b0)，分别交x轴、y轴于A，B两点，把OAB沿直线AB翻折1800后，得到四边形OACB，等腰直角PMN的斜边在x轴上，M（4，0），N（8，0），D为MN的中点，且P在第一象限，设四边形OACB与PMN重叠部分的面积为S。（1）、当b由小变大时，求S与b的函数关系式。（2）、当b为何值时，S=2。（3）、在（2）中确定的四边形BOAP中，动点E从B出发以每秒1个单位的速度向O出发，动点F从O出发沿OAP以每秒2个单位的速度向P出发，一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动了x秒，是否存在实数x，使PEF为直角三角形，如果有，请求出x的值。 图15 图16开放题以其丰富的试题内容和呈现方式,拓宽了解决问题的途径，有效地实现了对学生创新精神和创新能力的考查。让学生在开放的空间中探求知识,激发学生创新意识,体验成功的乐趣。目前，学生整天忙于解题，没有时间总结解题规律和方法，这样增重了学生的负担。所以习题的学习应该有明确的目标，有学生独立思考、质疑反思的时间和空间，有解题方法和策略的归纳与小结，有数学思想的感悟与升华。恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开阔学生的视野，激发学生的情趣，有助于学生产生学习的“最佳动机”， 有助于学生举一反三、事半功倍，有助于培养学生的探索精神和创新意识。