数学笔记排列组合

排列组合题型总结一.直接法1 .特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择 A5，其余2位有四个可供选择 A，由乘法原理：A A =2402 .特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有 A53 =60, 1不在千位时，千位有a4种选法，个位有a4种，余下的有A42 ,共有A： a4 A2 =192所以总共有192+60=252二.间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 2A3 A2 =252例2有五张卡片，它的正反面分别写。与1, 2与3, 4与5, 6与7, 8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑 0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1,类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C； 23 A/个，其中0在百位的有_2_2_2333_2_2_2C2 22 A2个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数C5 2 A3-C2 22 A2 =432（个）三.插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目， 且保持原节目顺序， 有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有A9 A10=100中插入方法。四.捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有A4种排法，而男生之间又有 A4种排法，又乘法原理满足条件的排法有：A4x A44 =576练习1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（C2 A33）2. 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（C29 A29）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C29其余的就是19所学校选28天进行排列）五.阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C1；种练习1.（a+b+c+d） 15有多少项？当项中只有一个字母时，有C4种（即a.b.c.d 而指数只有15故C： C104O当项中有2个字母时，有C2而指数和为15,即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2, C；4即 C： C14当项中有3个字母时C：指数15分给3个字母分三组即可 C：C1：当项种4个字母都在时C： C134四者都相加即可.练习2.有20个不加区别的小千放入编号为1, 2, 3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？ （C16）3.不定方程 X1+X2+X3+-T%o=100中不同的整数解有（Cc49） 99 /六 .平均分堆问题例6 6 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a1,a2）,（a 3,a：） , （as,a6）由顺序不同可以有 A； =6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有C；C2C；A3=15种练习：1.6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？2.某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。七 .合并单元格解决染色问题例7 （全国卷（文、理）如图1, 一个地区分为 5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5.下面分情况讨论：（i ）当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将 2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素的全排列数A, 一. . 一 4（ii）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形（i）类似同理可得 A 种着色法.（iii）当2、4与3、5分别同色时，将2、4; 3、5分别合并，这样仅有三个单元格o3 3从4种颜色中选3种来着色这二个单兀格，计有 C4 A3种方法.4 33由加法原理知：不同着色万法共有2 A4 C4 A3=48+24=72 （种）练习1 （天津卷（文）将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相1 2 3 4 5不同的种植方法共种（以数字作答）（72）邻的试验田不能种植同一作物2.（江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图 3）,现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 数字作答）.（120）同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以以不用，则符合这种要求的不同着1图33.如图4,用不同的5种 色，相邻部分不能用同一颜色，图4颜色分别 但同一种颜色可以色种数.（540）ABCD田部分着反复使用也可4.如图5:四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图55.将一四棱锥（图6）的每个 种颜色可供使用，则不同的染色 八.递推法例八 一楼共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a=1,a2=2，当n 2时，上n级楼梯的走法可分两类： 第一类： 是最后一步跨一级，有 部1种走法，第二类是最后一步跨两级，有 an-2种走法，由加法原理知：an = 3n-1 + an-2, 据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a 5=a4+a3=8,a6=13,a 7=21,a 8=34,a9=55,a 10=89.故走上 10 级楼梯共有 89 种不同的 方法。九.几何问题1 .四面体的一个顶点位 A,从其它顶点与各棱中点取 3个点，使它们和点 A在同一平面上，不同的取法有种（3C3+3=33）2 .四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？3 333_（C130-4 C3+4-3 C3+3-6C 4+6+2X6=29）（2）以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？三棱锥C104-4C64-6C44-3C44=141四棱锥6X4X4=96 3X 6=18 共有 114十.先选后排法例9有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的 选派方法有（）A.1260 种B.2025 种C.2520 种D.5054 种分析：先从10人中选出2人十一.用转换法解排列组合问题例10.某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种.解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题.A；=20种例11.个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带 1瓶，一共有多少钟不同的带法.解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的 9个空隙种的排列问5题.C9=126 种例12 从1, 2, 3,，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法.解把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。C；1例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街 4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种.解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问3题.C7=35 （种）例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法.解根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题.C；2=924 （种）.例15 求（a+b+c） 10的展开式的项数.解 展开使的项为a b%且“+3+丫 =10,因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排歹加题.C122 =66 （种）例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解设亚洲队队员为a1,a2,a5,欧洲队队员为b1,bz,，bs,下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为C16）=252 （种）十二.转化命题法例17圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有 C：=1365（个）十三.概率法例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前, 那么该天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为1 r 1,例所求的排法种数就是所有排法的一，即一A=360种2 2十四.除序法 例19用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7这七个数字组成没有重复数字的七位数中,（1）若偶数2, 4, 6次序一定，有多少个？（2）若偶数2, 4, 6次序一定，奇数1,3, 5, 7的次序也一定的有多少个？解（1）A3(2)AA3A44十五.错位排列例20同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法 有一种（9）公式1 ) an (n 1)(an i an 2) n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排.c、1 11/ n 12) an=n!(1- + - + +1 一1! 2! 3!n!练习有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？ (44)