正切函数的性质与图象

正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象回顾探究回顾探究试根据研究正、余弦函数的图象与性试根据研究正、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函质的经验，以同样的方法研究正切函数的性质与图象数的性质与图象.函数函数y=sinxy=cosx图像图像定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性2522320 xy21-1xRxR 1,1y 1,1y 22xk时，时，1maxy22xk 时，时，1miny 2xk时，时，1maxy2xk时，时，1miny-2,222xkk增函数增函数32,222xkk减函数减函数2,2xkk 增函数增函数2,2xkk 减函数减函数2522320 xy1-122对称轴：对称轴：,2xkkZ对称中心：对称中心：(,0)kkZ对称轴：对称轴：,xkkZ对称中心：对称中心：(,0)2 kkZ奇函数奇函数偶函数偶函数思考：正弦函数的两个代数性质：思考：正弦函数的两个代数性质：反映了正弦函数图像的什么几何反映了正弦函数图像的什么几何特征？特征？xxxxsin)sin(,sin)2sin(函数图象的每一个几何特征，函数图象的每一个几何特征，都是函数性质的直观反映；且函都是函数性质的直观反映；且函数的每一个代数性质反映在图象数的每一个代数性质反映在图象上都有其几何特征与之对应。因上都有其几何特征与之对应。因此，可以借助此，可以借助函数的图象来研究函数的图象来研究函数性质函数性质，也可以借助，也可以借助函数的性函数的性质来研究函数的图像质来研究函数的图像。Zkkxxxy,2|tan的定义域是正切函数有意义。才能使得，只有对于正切函数xyZkkxxytan,2tan回顾正切定义：回顾正切定义：abtantan()tan,2xx xxkk RZ由诱导公式得所以，正切函数是周期函数，周期是所以，正切函数是周期函数，周期是 .tan()tan,2xx xxkk RZ由诱导公式得所以正切函数是奇函数所以正切函数是奇函数.如图如图,由正切线的变由正切线的变换规律可得，正切函换规律可得，正切函数在数在 内是增内是增函数函数.,22 观察下图中的正切线，当角观察下图中的正切线，当角x在在 内增加时，正切内增加时，正切函数值发生什么变化？函数值发生什么变化？(,)22TT,22kk kZ 又由正切函数的又由正切函数的周期性可知，正切周期性可知，正切函数在开区间函数在开区间 内都是增函数内都是增函数.xA AO22uvxuTAO(1),22xATOv如图（1）当 大于且无限接近时，正切线向轴的负方向无限延伸；xuvTAO(2),22xATOv如图（2）当 小于且无限接近时，正切线向轴的正方向无限延伸；v所以正切函数的值域是实数集所以正切函数的值域是实数集R.。但没有最大值、最小值）内可取遍任意实数，在（22tanx-+我们先来作一个周期内的图象。想一想想一想：先作哪个区间上的图象好好呢？(-,)2 22 2利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ，的图像的图像xytan 22 ，x作法作法:(1)等分：等分：(2)作正切线作正切线(3)平移平移(4)连线连线把单位圆右半圆分成把单位圆右半圆分成8等份。等份。83488483，利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ，的图像的图像:xytan 22 ，x44288838320oxyyx1-1/2-/23/2-3/2-0tan,()2yx xxkk RZ利用正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数且的图象，并把它叫做叫做正切曲线正切曲线.,2xkk Z.从图中可以看出 正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的渐近线渐近线正切函数图象的简单画法：三点两线法“三点三点”:1414)0,0(，）、，、（“两线两线”:22xx和441-1xy0223223正切函数正切函数 的性质：的性质：tanyx定义域：定义域：|,2x xkkZ值值 域：域：R周期性：周期性：正切函数是周期函数，正切函数是周期函数，周期是周期是 奇偶性：奇偶性：奇函数奇函数单调性：单调性：在在(,)22 kkkZ内是增函数内是增函数xy 2 2 o22tan yx观察正切函数的图象，讨论其性质：观察正切函数的图象，讨论其性质：例例6.求函数求函数 的定义域、周期和单调区间。的定义域、周期和单调区间。tan()23yx解：原函数要有意义，自变量解：原函数要有意义，自变量x应满足应满足,232xkkZ即即12,3xk kZ所以，原函数的定义域是所以，原函数的定义域是1|2,.3x xk kZ由由,2232kxkkZ解得解得5122,33kxk kZ所以原函数的单调递增区间是所以原函数的单调递增区间是51(2,2),33kk kZ)32tan()32tan()(xxxf),2(3)2(2tanxfx因此函数的周期为因此函数的周期为2.)42tan(3)2(xy变题);42tan(3:y因为原函数可化为解正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支相同形状的曲线组成，正切函数的性质应结合图象去支相同形状的曲线组成，正切函数的性质应结合图象去理解和记忆。理解和记忆。2.2.正切曲线与正切曲线与x x轴的交点及渐近线轴的交点及渐近线,是确定图象形状、是确定图象形状、位置的关键要素位置的关键要素,作图时一般先找出这些点和线作图时一般先找出这些点和线,再画再画正切曲线正切曲线.作业作业:P45练习练习:2，3，4，6.