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14.2 导数的应用知识梳理1.函数的单调性（1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若f（x）0,则f（x）为增函数;若f（x）0,则f（x）为减 函数.（2）求可导函数单调区间的一般环节和措施.拟定函数f（x）的定义区间.求f（x）,令f（x）=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.把函数f（x）的间断点即涉及f（x）的无定义点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间提成若干个社区间.拟定f（x）在各小开区间内的符号,根据f（x）的符号鉴定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性.2.可导函数的极值（1）极值的概念设函数f（x）在点x 0附近有定义,且若对x0附近所有的点均有f（x）f（x0）（或f（x）f（x0）,则称f（x0）为函数的一种极大（小）值,称x0为极大（小）值点.（2）求可导函数f（x）极值的环节.求导数f（x）.求方程f（x）=0的根.检查f（x）在方程f（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f（x）在这个根处获得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处获得极小值.3.函数的最大值与最小值（1）设y=f（x）是定义在区间a,b上的函数,y=f（x）在（a,b）内有导数,求函数y=f（x）在a,b上的最大值与最小值,可分两步进行.求y=f（x）在（a,b）内的极值.将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一种为最大值,最小的一种为最小值.（2）若函数f（x）在a,b上单调增长,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在a,b上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值.特别提示我们把使导函数f（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点,那么（1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已阐明过,f（0）主线不存在,因此点x=0不是f（x）的驻点.（2）可导函数的驻点也许是极值点,也也许不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是 f（x）=3x2,在点x=0处有f（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（, +）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点.点击双基1.（海淀区高三第一学期期末模拟）函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数A.（,） B.（,2）C.（, ） D.（2,3）解析：y=（xsinx+cosx）=sinx+xcosxsinx=xcosx,当x（,）时,恒有xcosx0.答案：C2.函数y=1+3xx3有A.极小值2,极大值2B.极小值2,极大值3C.极小值1,极大值1D.极小值1,极大值3解析：y=33x2=3（1+x）（1x）.令y=0得x1=1,x2=1.当x1时,y0,函数y=1+3xx3是减函数;当1x1时, y0,函数y=1+3xx3是增函数;当x1时,y0,函数y=1+3xx3是减函数.当x=1时,函数y=1+3xx3有极小值1;当x=1时,函数y=1+3xx3有极大值3.答案：D3.设f（x）在（a,b）内有定义，x0（a,b），当xx0时，f（x）0;当xx0时，f（x）0.则x0是A.间断点 B.极小值点C.极大值点 D.不一定是极值点解析:f（x）在x0处不一定持续.答案:D4.函数f（x）=xx在（，）上的单调性是_.解析:f（x）=exex=ex（e2x1）,当x（0,+）时，f（x）0.f（x）在（0，+）上是增函数.答案:增函数5.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范畴是_.解析:f（x）=3x2+2x+m.f（x）在R上是单调递增函数,f（x）0在R上恒成立，即3x2+2x+m0.由=443m0,得m.答案:m典例剖析【例1】 求函数y=的值域.剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观测或运用不等式性质来求解，也可以运用函数的单调性求出值域.本题形式构造复杂，可采用求导的措施求解.解:函数的定义域由求得x2.求导得y=.由y0得2,即解得x2,即函数y=在（2,+）上是增函数.又此函数在x=2处持续,在2,+）上是增函数，而f（2）=1.函数y=的值域是1,+）.评述:函数y=f（x）在（a,b）上为单调函数，当在a,b上持续时，y=f（x）在a,b上也是单调函数.【例2】 已知f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=1时获得极值，且f（1）=1,（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断x=1是函数的极大值还是极小值，并阐明理由.剖析:考察函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导拟定也许的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f（x）=0的根建立起由极值点x=1所拟定的有关等式，运用待定系数法拟定a、b、c的值.（1）解法一:f（x）=3ax2+2bx+c,x=1是函数的极值点,x=1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系知又f（1）=1,a+b+c=1. 由解得a=,b=0,c=.解法二:由f（1）=f（1）=0,得3a+2b+c=0, 3a2b+c=0. 又f（1）=1,a+b+c=1. 由解得a=,b=0,c=.（2）解:f（x）=x3x,f（x）= x2= （x1）（x+1）.当x1或x1时,f（x）0;当1x1时，f（x）0.x=1时，f（x）有极大值；x=1时,f（x）有极小值.【例3】 已知函数f（x）=2ax,x（0,1.（1）若f（x）在x（0,1上是增函数，求a的取值范畴；（2）求f（x）在区间（0,1上的最大值.剖析:（1）要使f（x）在（0,1上为增函数，需f（x）0,x（0,1）.（2）运用函数的单调性求最大值.解:（1）由已知可得f（x）=2a+,f（x）在（0,1）上是增函数，f（x）0,即a, x（0,1.a1.当a=1时，f（x）=2+对x（0,1）也有f（x）0，满足f（x）在（0,1上为增函数，a1.（2）由（1）知,当a1时,f（x）在（0,1上为增函数,f（x）max=f（1）=2a1.当a1时，令f（x）=0得x=,01,0x时,f（x）0; x1时，f（x）0.f（x）在（0, ）上是增函数，在（,1减函数.f（x）max=f （）=3.评述:求参数的取值范畴，凡波及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简朴.深化拓展（1）也可用函数单调性的定义求解.思考讨论函数f（x）在区间D上的极值与最值有什么联系？闯关训练夯实基本1.下列各式对的的是A.xsinx （x0）B.sinxx （x0）C.xsinx （0x）D.以上各式都不对解析：令F（x）=xsinx,则F（x）=1cosx0（当x0,x2n,n=1,2,）.故F（x）在x0时单调递增.因此当x0时,有F（x）F（0）=0.答案：B2.函数f（x）=sin（3x）在点（,）处的切线方程是A.3x+2y+=0B.3x2y+=0C.3x2y=0D.3x+2y=0解析:由于f（x）=3cos（3x）,因此所求切线的斜率为f（）=,切线方程为y= （x）,即3x2y+=0.答案:B3.函数y=2x（x0）的最大值为_.解析:y=2,当0x时，y0,y=2x在（0,）上为增函数.当x时，y0,y=2x在（,+）上是减函数.y=2x在（0,+）上的最大值为=.答案:4.（北京东城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:函数y=f（x）在区间（3,）内单调递增;函数y=f（x）在区间（,3）内单调递减;函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;当x=2时,函数y=f（x）有极小值;当x=时,函数y=f（x）有极大值.则上述判断中对的的是_解析:当x（4,5）时,恒有f（x）0.答案:5.已知f（x）=2ax+lnx在x=1,x=处获得极值.（1）求a、b的值；（2）若对x,4时，f（x）c恒成立，求c的取值范畴.解:（1）f（x）=2ax+lnx,f（x）=2a+.f（x）在x=1与x=处获得极值，f（1）=0,f（）=0,即解得所求a、b的值分别为1、1.（2）由（1）得f（x）=2+= （2x2+x1）=（2x1）（x+1）.当x,时，f（x）0;当x,4时，f（x）0.f（）是f（x）在,4上的极小值.又只有一种极小值，f（x）min=f（）=3ln2.f（x）c恒成立，cf（x）min=3ln2.c的取值范畴为c3ln2.6.（全国,理19）已知aR，求函数f（x）=x2eax的单调区间.解:f（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax.当a=0时，若x0，则f（x）0，若x0,则f（x）0.因此当a=0时，函数f（x）在区间（,0）内为减函数，在区间（0，+）内为增 函数.当a0时，由2x+ax20，解得x或x0;由2x+ax20,得x0.因此当a0时，函数f（x）在区间（，）内为增函数，在区间（,0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.当a0时，由2x+ax20，得0x.由2x+ax20，得x0或x.因此当a0时，函数f（x）在区间（,0）内为减函数，在区间（0，）内为增函数，在区间（,+）内为减函数.培养能力7.已知xR,求证：exx+1.证明:设f（x）=exx1,则f（x）=ex1.当x=0时，f（x）=0,f（x）=0.当x0时，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函数.f（x）f（0）=0.当x0时，f（x）0,f（x）在（,0）上是减函数，f（x）f（0）=0.对xR均有f（x）0.exx+1.8.（全国，文21）若函数f（x）=x3ax2+（a1）x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，）上为增函数，试求实数a的取值范畴.解:函数f（x）的导数f（x）=x2ax+a1.令f（x）=0,解得x=1或x=a1.当a11，即a2时，函数f（x）在（1,+）上为增函数，不合题意.当a11,即a2时，函数f（x）在（,1）上为增函数，在（1,a1）内为减函数，在（a1,+）上为增函数.依题意应有当x（1,4）时，f（x）0,当x（6,+）时，f（x）0.因此4a16,解得5a7.因此a的取值范畴是5,7.探究创新9.已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+2的图象有关点A（0，1）对称.（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+,且g（x）在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范畴.解:（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x,y），点（x,y）有关点A（0，1）的对称点（x,2y）在h（x）图象上.2y=x+2.y=x+,即f（x）=x+.（2）g（x）=x+ ,g（x）=1,g（x）在（0，2上递减，10在x（0,2时恒成立,即ax21在x（0,2）时恒成立.x（0,2时，（x21） max=3,a3.思悟小结1.函数单调性的充足条件，若f（x）0（或0），则f（x）为增函数（或减函数）.2.函数单调性的必要条件，设f（x）在（a,b）内可导，若f（x）在（a,b）上单调递增（或递减），则f（x）0（或f（x）0）且f（x）在（a,b）的任意子区间上都不恒为零.3.可以用单调性求函数的极值、最值.教师下载中心教学点睛运用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的重要题型，也是高考考察的重点，复习时应引起足够的注重.解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡.拓展题例【例题】 设函数y=f（x）=ax3+bx2+cx+d图象与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为24x+y12=0,若函数在x=2处获得极值16,试求函数解析式,并拟定函数的单调递减区间.错因点评：有的同窗不懂得P点处的斜率为y|,即y|x=0为已知切线方程的斜率 24.又当x=2时有极值,且极值为16,找不到与a、b、c、d的关系,从而无法求出a、b、c、d,导致错解.对的思路：由y=3ax2+2bx+cf（0）=c,切线24x+y12=0的斜率k=24,c=24,把x=0代入24x+y12=0得y=12.得P点的坐标为（0,12）,由此得d=12,f（x）即可写成f（x）=ax3+bx224x+12.由函数f（x）在x=2处获得极值16,则得解得f（x）=x3+3x224x+12,f（x）=3x2+6x24.令f（x）0,得4x2.递减区间为（4,2）.
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