直纹曲面和可展曲面

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date直纹曲面和可展曲面直纹曲面和可展曲面 直纹面和可展曲面一 直纹面的定义 由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。这些直线称为直纹面的直母线。 如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。二 直纹面的参数表示O(C)在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C），其参数表时为 ，这样的曲线称为直纹面的导线。设是过导线（C）上点的直母线上的单位向量，导线（C）上点到直母线上任一点P(u,v)的距离为|v|,则向径可以表示为 : 。这就是直纹面的参数方程。直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C）平行的曲线。三 直纹面的切平面对直纹面, , ,， 。（1）若不平行于，即，则当P点在一条直母线上移动时，参数v随 P点的变化而变化，因此直纹面的法向量（或切平面）绕直母线而旋转。 （2）若平行于，即，则当P点在一条直母线上移动时，虽然v变化了，但是 只改变长度，不改变方向。也即 保持不变。这说明当P点沿直母线移动时，它的法向量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。四 直纹面的高斯曲率 对于直纹面,。所以曲面在P点沿方向的法截线就是直母线，故曲率为零。据梅尼埃定理,因此在P点沿的法曲率.据前面的讨论,只当P点是双曲点或抛物点时才可能出现的情况。这说明直纹面上的高斯曲率。 下面将指出，当时，当 时 。由直纹面的方程得，。，L = ， ，所以当时，当 时 。因沿直母线总有，故直母线是直纹面的渐近线。 五 腰曲线1 腰点的定义：设为过导线上点的直母 线，是过导线上 的邻近点的直母线，作和 的公垂线（如图），垂足分别为M和，公垂线的垂足M当时沿直母线趋于极限位置,点称为直母线上的腰点。 2 腰点的向径表达式 垂足M和对应的向径分别是M：，： ，由此得，又因，所以 。将带入得：，两边除以，取极限令得：，所以，把它带入得腰点的向径表达式： （）3 腰曲线的定义：在直纹面的每一条直母线上（假如）有一个腰点，这些腰点的轨迹叫做腰曲线。说明：（1）（）为对应参数为u的直母线上腰点的向径，当u变动时就得到所有直母线上的腰点的向径。因此（）表示了所有腰点构成的轨迹曲线。所以（）就是腰曲线的参数方程。（2）若取腰曲线为导线，则（）中腰曲线的向径，于是可得；反之，若，可知腰曲线为导线。即有结论：腰曲线是导线，即 。（3）腰曲线的几何意义: 它沿直母线的狭窄部位“围绕”着直纹面。4.2 可展曲面一 可展曲面的定义定义 把直纹面中满足的曲面叫做可展曲面。 推论 直纹面可展的充分必要条件是沿直纹面的每一条直母线只有一个切平面。 说明（1）有的书上就是以推论的条件定义可展曲面的，而把 作为一个充要条件。 （2）确实有沿同一直母线其切平面不是同一个的直纹面，如正螺面、单叶双曲面、双曲抛物面等，他们都不是可展曲面。二 可展曲面包含的曲面 命题1 每一个可展曲面或是柱面或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。 证明 设为可展曲面，则。我们取腰曲线为导线，此时。 （1）=常向量。表明腰曲线退化为一点，也就是说，各条直母线上的腰点都重合。所以曲面是以腰点为顶点的锥面。 （2） 时，由条件，所以共面，又，而，所以 。，这时可展曲面是=，可知这是导线（腰曲线）的切线曲面。如图（3） ，则=常向量。这表示柱面。如上图。 说明：命题的逆命题也成立。即：每一个柱面、锥面、任一条曲线的切线曲面一定是可展曲面。证明留做习题。三 单参数曲面族的包络 定义 给出一个单参数曲面族：，其中是参数，当的值变化时，我们就得到族中不同的曲面，并且假定函数 具有一阶与二阶的连续偏导数。如果有一个曲面S，它的每一点是族中一个曲面的点，而且在S与的公共点它们有相同的切平面;另一方面，对族中每一个曲面，在曲面S上有一点， 使与 S在公共点有相同的切平面，则称S是单参数曲面族的包络。 例如,到z轴距离是1的平面 ，所有这样的平面构成一个单参数 的曲面族（实际是平面族），就是这平面族的包络。四 单参数曲面族包络的方程 结论：设：为单参数曲面族，每个上的点都是正常点。若曲线族 构成曲面S，则S为包络。从曲线族方程消去得S的方程： 。证明 对S上任一点P(x,y,z),则存在某个，P在 上。即P在曲面族中曲面上，且= 0 。反过来，对中每个，则在上。因S由所有构成的，所以也在S上。在其上任取一点P , P是上的点，也是S上的点。 设dx,dy,dz是S在P点的任一切向量,设P在上：,两边求微分得，因，所以，这说明 是S在P点的法向量（因所有切向量与它垂直）（注：不全为零时P为正常点).而也是在P点的法向量。这说明在P点，S与有相同的切平面。 以上两方面证明了S是的包络。因P是上任一点,所以以上说明了S与沿着这条曲线相切。 定义 设S是单参数曲面族的包络，则S与族中的曲面 相切的曲线称为特征线。可知, 固定时，是特征线方 程.特征线的轨迹就是包络.每个曲面沿特征线切于包络。习题P129 2, 3, 4五 曲面为可展曲面的条件 命题2 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是此曲面为单参数曲面族的包络。 证 充分性：设S是下面单参数平面族的包络（其中A,B,C,D是与平面族的参数有关的系数），则S是特征线：的轨迹。而对每个特征线是直线，所以S是直纹面。下面证S是可展曲面： S的直母线是特征线，对每一, S沿特征线与曲面：相切，即在S的同一条（确定的）直母线上，S 有同一个切平面，故S为可展曲面。 必要性：设 S为可展曲面，则S是直纹面，且沿S的同一条直母线有同一个切平面。于是沿S的所有直母线的切平面构成一个平面族。因沿一条直母线的切平面是由这条直母线确定的，而直母线是单参数的（如，给定一个u，确定一条直母线，直母线是单参数u确定的 ), 所以这个平面族是单参数的。S在每一点处与中的一平面相切。故S是单参数平面族的包络。 命题3 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的高斯曲率等于零。 证：“”因曲面为可展曲面，所以曲面为直纹面，沿同一直母线的单位法向量不变，即。因此沿直母线，特别取为直母线的方向，则由罗德里格定理知，沿直母线的方向是主方向。因此主曲率（或 ）,于是高斯曲率K= 0 。“”：若 K= =0,不妨设,这时对应的方向是主方向，也是渐近方向。因在整个曲面上K=0,所以曲面上有一族渐近曲线，这族渐近线也是曲率线。整个曲面可视为这族渐近线的集合。由Rodrigues定理，沿渐近线有，即=常向量。这说明沿渐近线保持常向量。 由3.4中注(2)中推论，沿渐近线副法向量（平行于）为常矢。故渐近线为平面曲线，其所在平面为曲线的密切平面。又由命题2，曲面沿渐近曲线的切平面就是（固定的）密切平面。换句话说，对同一条渐近曲线上的点，其切平面是同一个。由此可知，曲面是一个单参数平面族的包络面，因而是可展曲面。 例1 证明空间曲线的密切平面族的包络是曲线 的切线曲面证 曲线的密切平面族方程是 ，这里s看作平面族的参数，是曲线的副法向量。因此将上式对s求微分得，其中为曲线的挠率。因此 。故向量同时垂直于，所以必与平行，于是有即，此即曲线的切线曲面。 例2 设是由空间曲线的副法线形成的曲面。证明是可展曲面为平面曲线。证 曲面的方程为，由伏雷内公式知 ，。因此的基本量，。 所以高斯曲率 ，其中为曲线的挠率。所以是可展曲面= 0 曲线为平面曲线。 注：此题也可按可展曲面的定义证。 命题4 曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线曲面的法线组成一可展曲面。证明：“”设曲线是曲面上的曲率线，则沿此曲线曲面的法线组成的直纹面是。下面证它是可展曲面。 因为曲面的曲率线，由 Rodrigues定理有，即 ，其中为对应的主曲率.由此得，所以。所以为可展曲面。“”：设是曲面上一曲线，沿此曲线曲面的法线构成的曲面是可展曲面。 所以。因是单位向量,所以，而是曲面的切向量，所以，所以（因，所以共面），据罗德里格定理, 是主方向,由定义为曲面的曲率线。 说明 该命题刻画了任何曲面上曲率线的特征。该命题又说明,球面、平面上的任何曲线是曲率线。 推论1 若两曲面沿一条曲线相切，则如果在一曲面上是曲率线,则在另一曲面上也是曲率线。推论2 若一个曲面和一个球面（或平面）沿一条曲线相切，则是上的曲率线。 推论3 可展曲面上的每一条直母线是曲率线。 证 因可展曲面沿每一条直母线的切平面是同一个，因此可以说可展曲面沿每一条直母线与这个切平面相切。由推论2知，直母线是可展曲面的曲率线。 推论3的逆命题也成立。即 命题 若直纹面的每一条直母线是曲率线，则该直纹面一定是可展曲面。证: 因直母线是曲率线时直母线的方向是主方向，因此一个主曲率为零，从而曲面的高斯曲率为零，因而直纹面可展。 由推论3和命题知：直纹面是可展曲面的充分必要条件是它的直母线都是曲率线。 可见，单叶双曲面、双曲抛物面、正螺面的直母线不是曲率线六 可展曲面的特征 命题5 可展曲面可以与平面成等距对应（简称可展为平面）。 证 要证可展曲面与平面成等距对应，只需分别证柱面、锥面、切线曲面都分别与平面有相同的第一基本形式。平面在直角坐标系下的方程为，所以其第一基本形式为：。平面在极坐标系下，将其带入上式得平面第一基本形式的另一表达式。（1）对于柱面：（其中为沿柱面母线的常单位向量 。 为与柱面正交的一条曲线,s为弧长).于是， 。所以第一基本形式为，这与平面的第一基本形式相同。因此柱面可展为平面。 （2）对于锥面： ，其中为常向量，为母线上的单位向量。而s是单位球面曲线的弧长。则有，。于是，。所以锥面的第一基本形式为，这与平面的第二种第一基本形式相同，故锥面可展为平面。(3) 切线曲面，其中为的切向量，即，s是的弧长，于是，所以其第一基本形式为。这个第一基本形式中只出现了曲线的曲率k,而没出现挠率。因此两条曲线如果有同一曲率,那么即使挠率不同，它们的切线构成的切线曲面也有相同的第一基本形式，因而是等距的.由曲线论基本定理，必存在平面曲线 ， 它的曲率为（即与的曲率相同,而挠率），切线曲面与等距,但是平面（或平面的一部分），故与平面等距对应。从而可知与平面等距对应，即可展为平面。说明：命题中都是指曲面或平面的一部分而言。例如，平面上的圆的切线曲面就不包含圆内的部分。在下一节我们将能得到该命题的逆命题，即：只有可展曲面才能和平面建立等距对应。可展曲面与平面等距对应，即可展曲面可以经过（不改变曲面上曲线的弧长，两曲线的夹角的）变形到平面上，或平面经过变形得到锥面、柱面、切线-