多元函数的极值与应用

多元函数的极值与应用 摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的解说不断深化到多元函数并且还解说到函数极值的应用以及奇异性核心词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性Extreme value of function and applicationAbstract：This article is about the function extreme solution by a function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singularKeywords：Function extreme: function extend application一函数极值理论定义2.1.1设元函数在点的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于的点均有(或)，则称函数在点有极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极值，使函数获得极值的点称为极值点.定义2.2.1函数在个约束条件 下的极值称为条件极值.3. 多元函数一般极值存在的条件定理3.1（必要条件）若元函数在点存在偏导数，且在该点获得极值，则有 备注：使偏导数都为的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.定理3.2（充足条件）设元函数在附近具有二阶持续偏导数，且为的驻点.那么当二次型 正定期，为极小值；当负定期，为极大值；当不定期，不是极值.记，并记 ，它称为的阶矩阵.对于二次型正负定的判断有如下定理：定理3.3若 ，则二次型是正定的，此时为极小值；若 ，则二次型是负定的，此时为极大值.特殊地，当时，有如下推论：推论3.1若二元函数某领域内具有一阶和二阶持续偏导数，且 令 则 当时，. 当时，没有极值.当时，不能拟定，需另行讨论.4简介多元函数条件极值的若干解法4.1代入消元法通过一种量用其他量替代的措施达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决某些较为简朴的条件极值问题，这种措施合用于约束函数较为简朴的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例4.1.1求函数在条件下的极值.解 由 解得，将上式代入函数，得 解方程组 得驻点 ， 在点处，因此不是极值点从而函数在相应点处无极值；在点处，又，所觉得极小值点因而，函数在相应点处有极小值极小值为.4.2拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用措施，特别是在约束条件比较多的状况下使用拉格朗日乘数法更以便合用.求目的函数在条件函数组限制下的极值，若及有持续的偏导数，且Jacobi矩阵的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值.一方面，构造拉格朗日函数然后，解方程组从此方程组中解出驻点的坐标 ，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理4.2.1（充足条件） 设点及个常数满足方程组 ，则当方阵 为正定（负定）矩阵时，为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此为满足约束条件的条件极小（大）值.例4.2.1求椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四周体的最小体积.解 此椭球在点处的切平面为 化简,得 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：则此切平面与三坐标面所围成的四周体的体积 由题意可知，体积存在最小值，要使最小，则需最大；即求目的函数在条件下的最大值，其中，拉格朗日函数为由 解得;阐明：以上简介的两种措施为解多元函数条件极值的常用措施，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的某些特点选择其他某些特殊解法来迅速解题，如原则量代换法、不等式法、二次方程鉴别式法、梯度法、数形结合法.4.3 原则量代换法求某些有多种变量的条件极值时,我们可以选用某个与这些变量有关的量作为原则量,称其他各量为比较劲,然后将比较劲用原则量与此外选用的辅助量表达出来,这样就将其变为研究原则量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几种变量之和的形式,一般设这几种量的算术平均数为原则量.例4.3.1设,求的最小值.解 取 为原则量, 令 ,则 (为任意实数),从而有 等号当且仅当, 即时成立，因此的最小值为.4.4 不等式法4.4.1运用均值不等式均值不等式是常用的不等式，其形式为，这里，且等号成立的充足条件是.例4.4.1.1 已知，求的极小值.解 当且仅当时，等号成立.4.4.2运用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数和，总有 ,当且仅当实数与相应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，重要是把目的函数合适变形，进而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最后求得极大值或极小值.例4.4.2.1已知，求的最值.解 一方面将 变形为；再设 ，于是，根据柯西不等式及已知条件，有 即： 当且仅当 时，等号成立；即当 时，；当 时，因此，.4.5 二次方程鉴别式符号法例4.5.1若,试求的极值.解 由于 ,代入 得即 (1)这个有关的二次方程要有实数解, 必须即 解有关的二次不等式,得: 显然,求函数的极值, 相称于求 (2)或 (3)的极值.由(2)得 (4)这个有关的二次方程要有实数解,必须,即 解此有关的二次不等式,得 .因此 ,.把 代入(4),得再把,代入(1),得,最后把,代入,得.因此,当,时,函数达到极大值3.同理可得,当,时,函数达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出的极大值3和极小值-3.4.6 梯度法用梯度法求目的函数在条件函数时组限制下的极值，方程组的解,就是所求极值问题的也许极值点.其中表达目的函数的梯度向量，表达条件函数的梯度向量例4.6.1 从斜边之长为的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形.解:设两条直角边为,本题的实质是求在条件下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 进一步求解得 容易解出根据题意是唯一的极大值点,也是最大值点.因此，当两条直角边都为时,直角三角形的周长最大.4.7 数形结合法 数形结合法是根据目的函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目的的条件极值.例4.7.1 设，求的最值. 解法一 数形结合法解 设则， 即表达坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2倍显然最大值为长轴的长38，最小值为 解法二 消元法解 设 ，则 故当，即时，达到最小值.当，即时，达到最大值.解法三 均值不等式法解 （1）若注意到 当且仅当时等号成立因此：，当且仅当时等号成立即 故 ，此时（2）若，设，则问题变为求的最值由于，因此因此即最大值为38（3）若，做变换，则问题转化为（1）（4）若，则问题转化为（2）解法四 拉格朗日乘数法解 设 令 则 若 ，则，此时 ；若 ，则，或此时从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得成果.因此在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最合适的解题措施，从而提高解题效率.二.多元函数极值的应用多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元记录分析学里鉴别分析和主成分分析等问题上均有广泛的应用.由于本人其他学科知识和时间上的限制，不能较好地展开条件极值在证券投资分析和多元记录分析上的应用问题，具体内容可以参照文献8和文献9，下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.5.1 不等式证明例5.1.1证明不等式：.证 令，则只需证明函数在区域上存在最小值，对于，令，得，且当时，当时，.由一元函数取极值的第一充足判断法，为最小值点，即在曲线上获得最小值，最小值.故在上，即.5.2 物理学中光的折射定律证明例5.2.1设定点和位于以平面分开的不同光介质中，从点射出的光线折射后达到 点，已知光在两介质中的传播速度分别为，求需时最短的传播方式.解 设到平面的距离为，到平面的距离为，（如图），光线从点射到点所需时间为，光线从点射到点所需时间为且，即问题转化为函数在条件 下的最小值.作拉格朗日函数令 由此解得，即光线的入射角与折射角应满足：（光的折射定律）时光线传播时间最短.5.3 生产销售在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增长，但同步也使消费者的购买欲望下降，导致销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增长而减少的，因此销售量、成本与售价是互相影响的.厂家要选择合理的销售价格才干获得最大利润.5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化方案例5.3.1.1设生产某产品需要原料A和B，它们的单价分别为10元、15元，用单位原料A和单位原料B可生产单位的该产品，现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A和B？【分析】由题意可知，成本函数.该问题是求成本函数在条件下的条件极值问题，运用拉格朗平常数法计算.解 令解方程组 这是实际应用问题，因此当原料A和B的用量分别为4单位，2单位时，成本最低.5.3.2运用条件极值得出利润最大化方案例5.3.2.1为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为时，销售量是，若销售产品所得利润是销量的减去广告费，现要使用广告费25万元，应如何分派使广告产生的利润最大，最大利润是多少？解 依题意，利润函数为且 设 令 得 依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元利润最大.例5.3.2.2 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：（1）根据市场调查，本地对该种电视机的年需求量为100万台；（2）去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元；（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本减少为每台3000元.问：在生产方式不变的状况下，每年的最优销售价格是多少？数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为，每台生产成本为，销售价格为，那么厂家的利润为 根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系： 这里为市场的最大需求量，是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同步，生产部门对每台电视机的成本有如下测算： 这里是只生产1台电视机时的成本，是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 在约束条件 下的极值问题.作Lagrange函数 就得到最优化条件 由方程组中第二和第四式得到 ，即将第四式代入第五式得到 再由第一式知 .将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 由此解得最优价格为 只要拟定了规模系数与价格系数，问题就迎刃而解了.目前运用这个模型解决本段开始提出的问题.此时，.由于去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元，因此得到 ；又由于生产1万台时成本就减少为每台3000元，因此得到 .将这些数据代入的体现式，就得到今年的最优价格应为 （元/台）.参照文献：1 唐军强.用方向倒数法求解多元函数极值J.科技创新导报，（15）：246-2472 汪元伦.两类多元函数条件极值的简捷求法J.绵阳师范学院学报，27（2）：14-15.3 陈纪修，於崇华，金路.数学分析.下册/2版M.北京：高等教育出版社，.104 裴礼文.数学分析中的典型问题与措施-北京：高等教育出版社，1993.55 王延源.条件极值的六种初等解法J, 临沂师专学报, 1999(12):21-24.6 肖翔，许伯生.运用梯度法求条件极值J，上海工程技术大学教育研究，(1): 35-377 陈传理，张同君竞赛数学教程(第二版)M北京：高等教育出版社，：1478 法博齐投资管理学M.北京：经济科学出版社，19999 林德光.多元记录教程M.华南热带作枋学院印，198810 陈文灯.考研数学基本核心讲义/经济类M.北京：北京理工大学出版社，.1