1．3二项式定理(一)

1.1.3.13.1二项式定理二项式定理(一一)*教学目标：教学目标：1掌握二项式定理及其推导方法、二项式展开掌握二项式定理及其推导方法、二项式展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单的式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单的问题问题 2揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广和揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广和提出二项式定理的推导过程，领悟从特殊到一般的提出二项式定理的推导过程，领悟从特殊到一般的思维方法，培养学生的归纳能力、抽象思维能力和思维方法，培养学生的归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力逻辑思维能力教学重点：教学重点：二项式定理、二项展开式和通项公式二项式定理、二项展开式和通项公式教学难点：教学难点：二项式定理的正确运用二项式定理的正确运用1问题问题 某人投资某人投资100万元，有两种获利的可能供选择。万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率一种是年利率11，按单利计算，按单利计算，10年后收回本金和年后收回本金和利息。另一种年利率利息。另一种年利率9，按每年复利一次计算，按每年复利一次计算，10年年后收回本金和利息。后收回本金和利息。试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？年后可多得利息多少元？分析：本金分析：本金100万元，年利率万元，年利率11，按单利计算，按单利计算，10年后的本利和是年后的本利和是:本金本金100万元，年利率万元，年利率9，按每年复利一次计算，按每年复利一次计算，10年后的本利和是：年后的本利和是：那么如何计算那么如何计算(1+9(1+9)1010 的值呢？能否在不借助计算的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如研究形如(a+b)n 的展开式。的展开式。从本节课开始我们就来研究二项式定理（点明课题）从本节课开始我们就来研究二项式定理（点明课题）.复习引入复习引入 100(1 11%10)21010100(1 9%)(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)4=(a+b)1=a+b 如何研究(a+b)n的二项展开式的规律性？.讲授新课讲授新课 a3+3a2b+3ab2+b3 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 将将(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)展开后，它展开后，它的各项是什么呢？的各项是什么呢？容易看到，等号右边的积的展开式的每一容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是各项都是4 4次式，即展开式应有下面形式的各项：次式，即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)在上面四个括号中：在上面四个括号中：每个都不取每个都不取b的情况仅的情况仅l种，即全取种，即全取a，故有，故有 种，种，即即a4的系数为的系数为 .恰有恰有l个取个取b的情况有的情况有 种，故种，故a3b的系数为的系数为 恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有 种，故种，故a2b2的系数为的系数为 恰有恰有3个取个取b的情况有的情况有 种，故种，故ab3的系数为的系数为 4个都取个都取b的情况有的情况有 种，故种，故b4的系数为的系数为 因此因此04C04C14C14C24C24C34C34C44C44C44433422243144044)(bCabCbaCbaCaCba因此14C14C24C24C34C34C44C44C40413222334444444()abCaC a bC a bC abCb04C04C 依此类推，对于任意正整数依此类推，对于任意正整数n n，上面的关系也是成立的上面的关系也是成立的.即：即：011()nnnr n r rn nnnnna bCaCa bCa bCb (nN+)这个公式所表示的定理叫做这个公式所表示的定理叫做二项式定理二项式定理,右右边的多项式叫做边的多项式叫做(a+b)(a+b)n n的的二项展开式二项展开式,各项系数各项系数 叫做叫做二项式系数二项式系数.rnC(0,1,2,)rn式中的rn rrnCab1rT叫做二项式展开式的叫做二项式展开式的通项通项，用，用表示，即通项为展开式的第表示，即通项为展开式的第r r+1+1项项说明：说明：任何命题均要经过严格的证明后，方任何命题均要经过严格的证明后，方可做为定理使用，但由于目前知识的局限，可做为定理使用，但由于目前知识的局限，在学完数学归纳法后，会给予其严格的证在学完数学归纳法后，会给予其严格的证明明 二项式定理是建立在排列、组合的二项式定理是建立在排列、组合的基础上的，故可借助于排列组合的有关思想基础上的，故可借助于排列组合的有关思想方法来理解和解决相关的二项式问题方法来理解和解决相关的二项式问题公式的特征公式的特征 二项式展开式有如下特征：二项式展开式有如下特征：展开式共有展开式共有n+1项项展开式中各项均为展开式中各项均为a与与b的的n次齐次式，其中次齐次式，其中a的指数由的指数由n逐项减少到逐项减少到0，b的指数由的指数由0逐项增加到逐项增加到n 区分区分“项项”、“项数项数”；“二项式系数二项式系数”、“系数系数”通项是展开式中的第通项是展开式中的第r+1项而非第项而非第r项项 公式简单变形：在二项式定理中，当用公式简单变形：在二项式定理中，当用-b代替代替b时，时，当用当用a=1、b=x时有时有0111222()(*)nnnnnnnnnnabCaCabCabCbnN011222()nnnnnnnabCaCabCab(1)(1)rrn rrnnnnnCabCb 122(1)1nnnnnnxCxCxCx rnC 注：注：二项式系数二项式系数 与展开中某一项与展开中某一项系数系数是有区别的。是有区别的。例例 题题 解解 析析例例1 展开展开解：原式解：原式41(1)x1223344444423411111.().()()46411CCCCxxxxxxxx 例例2 展开展开解：解：先将原式化简，再展开先将原式化简，再展开61(2)xx6663615243342666631211(2)()(21)1(2)(2)(2)(2)(2)xxxxxxxCxCxCxCxx51666654323 (2)1(6419224016060121)CxCxxxxxxx32236012164192240160 xxxxxx点评：点评：对较复杂的二项式，可先进行化简整对较复杂的二项式，可先进行化简整理理(如提公因式如提公因式)，再进行展开对，再进行展开对(a-b)n形式形式的二项式展开式，展开式中各项的符号可直的二项式展开式，展开式中各项的符号可直接正负相间写出接正负相间写出 此题也可不化简，直接运用二项式展此题也可不化简，直接运用二项式展开公式，把开公式，把 当作当作a，当作当作b，但这，但这样做更繁样做更繁2 x1x52A10 B5 C D15(1)2x例例3(08.全国全国 文文)的展开式中的展开式中x2的系数为的系数为515511(),22rrrrrrrxTCCx52由题意可知由题意可知r=2，所以，所以x2的系数为的系数为解析解析:例例4 用二项式定理证明：用二项式定理证明：能被能被7整除整除 能被能被 整除整除解解:51511 11nn2(1)n(3,*)nnN51515115024925005051515151511(492)14949249249 221CCC 513 171717171162151617171721(2)181(71)177771 1.CCC 515015050161511651511717511 49(4949 22)7(77CCCC ）故15151故故 能被能被7 7整除整除51511161511617177(77CC）111122111(1)11(1)(1).(1)1 1nnnnnnnnnnCnCn 23141(1)(1)(1)1)nnnnnCn 3,*,nnN3141(1)(1)1nnnnCn是正整数是正整数 能被能被 整除整除 11nn2(1)n点评：二项式定理是证明与正整数点评：二项式定理是证明与正整数n有关的整除性质题的有关的整除性质题的工具之一，证明的关键是对被除式工具之一，证明的关键是对被除式(或数或数)进行合理变形进行合理变形练练 习习课本课本 练习，练习，1补充题：2计算答案：55(1)(1)aa514451445555()()1()()(1)1aCaCaaCaCa 原式210202aa小小 结结 二项式定理是初中多项式乘法的延伸，二项式定理是初中多项式乘法的延伸，又是后继学习概率的基础，要理解和掌握好又是后继学习概率的基础，要理解和掌握好展开式的规律，利用它对二项式展开，进行展开式的规律，利用它对二项式展开，进行相应的计算与证明相应的计算与证明 要注意要注意“系数系数”、“二项式系数二项式系数”等概等概念的区别与联系，对二项式展开式的特征要念的区别与联系，对二项式展开式的特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式分析清楚，灵活正用、逆用展开式作作 业业课本课本 练习练习:P31:P31 1,2,3,4