高等代数习题及答案(1)

高等代数试卷一、判断题（下列命题你觉得对的的在题后括号内打“”，错的打“”；每题1分，共10分）1、若是数域上的不可约多项式，那么在中必然没有根。 （ ）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ）3、实二次型正定的充要条件是它的符号差为。 （ ）4、是线性空间的一种子空间。（ ）5、数域上的每一种线性空间均有基和维数。 （ ）6、两个元实二次型可以用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相似的正惯性指数和负惯性指数。 （ ）7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ）8、线性变换的属于特性根的特性向量只有有限个。 （ ）9、欧氏空间上的线性变换是对称变换的充要条件为有关原则正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）10、若是欧氏空间的原则正交基，且，那么。 （ ）二、单选题（从下列各题四个备选答案中选出一种对的答案，并将其号码写在题干背面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每题1分，共10分）1、有关多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ）； ；若。2、设是一种阶行列式，那么（ ）行列式与它的转置行列式相等； 中两行互换，则行列式不变符号；若，则中必有一行全是零； 若，则中必有两行成比例。3、设矩阵的秩为，那么（ ）中每个。10、欧氏空间中的原则正交基是（ ）； ； 三、填空题（将对的的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空2分，共20分）1、多项式在实数域上的原则分解为 。2、运用行列式的性质可知四阶行列式的值为 。3、若一种非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增广矩阵的秩等于 。4、在线性空间中，定义（其中是中一种固定向量），那么当 时，是的一种线性变换。5、实对称矩阵的属于不同特性根的特性向量是彼此 的。6、阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类。7、若基到的过渡矩阵为，而向量有关基和的坐标分别为和，那么着两个坐标的关系是 。8、设是线性空间的非空子集，若对的加法和数乘 ，则称为的子空间。9、若线性变换有关基的矩阵为，那么有关基的矩阵为 。10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。四、改错题（请在下列命题中你觉得错误的地方划线，并将对的的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，改正错误2分。每题3分，共15分）1、如果是的导数的重因式，那么就是的重因式。 2、若线性方程组相应的齐次线性方程组有无穷多解，那么也有无穷多解。 3、设是一种矩阵，若用阶初等矩阵右乘，则相称对施行了一次“的第三列乘5加到第四列”的初等变换。 4、若都是数域上的方阵的属于特性根的特性向量，那么任取也是的属于的特性向量。 5、设是欧氏空间的线性变换，那么是正交变换的充足必要条件是能保持任二个非零向量的夹角。 五、计算题（每题10分，共40分）1、计算阶行列式 2、用相应的齐次线性方程组的基本解系表达下列线性方程组的所有解3、解矩阵方程 4、设是的一种基，而是另一组基，求由到的过渡矩阵，并求向量在下的坐标。六、证明题设是三维欧氏空间的一种原则正交基，试证：也是的一种原则正交基。 高等代数试卷参照解答一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题1、； 2、； 3、4； 4、0； 5、正交； 6、； 7、； 8、封闭；9、； 10、相似的维数。四、改错题1、如果是的导数的重因式，那么就是的重因式。是的因式且是的重因式2、若线性方程组相应的齐次线性方程组有无穷多解，那么也有无穷多解。当AX=B有解时，AX=B也有无穷多解3、设是一种矩阵，若用阶初等矩阵右乘，则相称对施行了一次“A的第三列乘5加到第四列”的初等变换。A的第4列乘5加到第3列4、若都是数域上的方阵的属于特性根的特性向量，那么任取也是的属于的特性向量。当时时，是的属于的特性向量5、设是欧氏空间的线性变换，那么是正交变换的充足必要条件是能保持任二个非零向量的夹角。必要条件