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考点考点 0 03 3 函数函数及其表示及其表示1.了解函数、映射的概念.2.了解函数的定义域、值域及三种表示法（解析法、图象法和列表法）.3.了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.一、一、函数的概念函数的概念1函数与映射的相关概念函数与映射的相关概念（1）函数与映射的概念函数映射两个集合A、B设 A、B 是两个非空数集设 A、B 是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应名称称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记法yf(x)，xAf：AB注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点（2）函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域（3）构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.（4）函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2必记结论必记结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1 均表示相等函数.(2)映射的个数若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从集合 A 到集合 B 的映射共有个二、二、函数函数的三要素的三要素1函数函数的定义域的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.(4)yx0的定义域是x|x0.(5)yax(a0 且 a1)，ysinx，ycosx 的定义域均为 R.(6)ylogax(a0 且 a1)的定义域为(0，).(7)ytanx 的定义域为.2函数的解析式函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是 yf(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3函数的值域函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数 ykxb(k 为常数且 k0)的值域为 R.(2)反比例函数(k 为常数且 k0)的值域为(，0)(0，)(3)二次函数 yax2bxc(a，b，c 为常数且 a0)，当 a0 时，二次函数的值域为；当 a 1，则f(f(2)=_；f(x)的值域为_.8已知函数f x=x2+2x1，函数y=g x为一次函数，若g f x=2x2+4x+3，则g x=_.9已知函数,，则_10 设 函 数则 使 得成 立 的的 取 值 范 围 是_1（2019 年高考全国卷文数）设f(x)为奇函数，且当x0 时，f(x)=，则当x0时，f(x)=ABCD2（2019 年高考全国卷理数）设函数的定义域为 R R，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是ABCD3（2018 年高考全国 I 卷文科）设函数，则满足的x的取值范围是ABCD4（2017 年高考山东卷理科）设函数的定义域为，函数的定义域为,则A（1,2）BC（2,1）D2,1)5（2017 年高考天津卷理科）已知函数设，若关于x的不等式在 R R 上恒成立，则a的取值范围是ABCD6（2018 年高考浙江卷）已知R R，函数f(x)=，当=2 时，不等式f(x)1 时，f(x)=f(x2)只是图象的一个平移过程，所以值域是(,0，填(1)0,(2)(,0.【名师点睛】本题综合考查分段函数求复合函数值问题，及分段函数值域问题，一般是分段求出y的取值范围再求出整个函数的值域，本题解法根据函数平移对函数值域影响，省去了求函数表达式过程，更简洁.8【答案】2x+5【解析】由题意，函数y=g x为一次函数，由待定系数法，设g x=kx+b（k 0），g f x=k x2+2x1+b，由对应系数相等，得k=2，b=5.即答案为 2x+5.9【答案】3【解 析】由 题 意，得，即，解得，即.故填 3.10【答案】.【解 析】由，得或，得或，即的取值范围是，故答案为.【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、由分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.直通高考直通高考1【答案】D【解析】由题意知是奇函数，且当x0 时，f(x)=，则当时，则，得故选 D【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养采取代换法，利用转化与化归的思想解题2【答案】B【解析】，时，；时，；时，如图：当时，由解得，若对任意，都有，则.则m的取值范围是.故选 B.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到时函数的解析式，并求出函数值为时对应的自变量的值.3【答案】D【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选 D【思路分析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现：若有成立，一定会有，从而求得结果.【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.4【答案】D【解析】由得，由得，故，选 D5【答案】A【解析】不等式可化为(*)，当时，(*)式即，即，又（当时取等号），（当时取等号），所以，当时，(*)式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以综上，故选 A【名师点睛】首先将转化为，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围6【答案】(1,4)【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)0 的解集是当时，此时，即在上有两个零点；当时，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解7【答案】2，+）【解析】要使函数有意义，则需，解得，即函数的定义域为.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.8【答案】【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得,即，解得，故函数的定义域为.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可9【答案】【解 析】由得 函 数的 周 期 为4，所 以因此【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10【答案】，2【解析】分类讨论：当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，其中，结合二次函数的性质可知：当时，则；当时，即：，整 理 可 得：，由恒成立的条件可知：，其中，结合二次函数的性质可知：当或时，则.综合可得的取值范围是.【名师点睛】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面进行分析11【答案】【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是12【答案】【解析】要使函数有意义，则，即，故填13【答案】【解析】令，当时，；当时，；当时，写成分段函数的形式：，函数在区间三段区间内均单调递增，且，可知x的取值范围是.【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f
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