第16炼-含参数函数的单调区间

第16炼 含参数函数的单调区间 在高考导数的综合题中，所给函数往往是一种含参数的函数，且导函数具有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过某些例题总结参数讨论的措施与技巧，便于更加迅速精确的分析含参数函数的单调区间。一、基本知识：1、导数解单调区间的环节：运用导数求函数单调区间的措施，大体环节可应用到解含参函数的单调区间。即拟定定义域求出导函数令解不等式得到递增区间后取定义域的补集（减区间）单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间一方面拟定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项解决掉，以简化讨论的不等式4、有关分类讨论的时机与分界点的拟定（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：，其解集为，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？由于无论参数为什么值，均是将移到不等号右侧出成果。因此不需要分类讨论，再例如解不等式，第一步移项得：（同样无论为什么值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现的不同取值会导致不同成果，显然是负数时，不等式恒成立，而是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相似时，就是分类讨论开始的时机。因此一道题与否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同环节和成果，就自然的进行分类讨论。（2）分界点的拟定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，一方面要明确参数在问题中所扮演的角色。例如上面的不等式，所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的核心，那自然想到按的符号进行分类讨论。（3）当参数取值为一种特定值时，可将其代入条件进行求解（4）当参数扮演多种角色时，则以其中一种为目的进行分类，在每一大类下再考虑其她角色的状况以及与否要进行进一步的分类。 例如：解不等式：，可得：此时扮演两个角色，一种是的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一种角色是决定的大小，进而要和来角逐大小根。那么在解决时可先以其中一种为重要目的，例如以系数的正负，进行分类。当时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于，以此为前提，故小大根不存在问题，解集为当时，不等式变为当时，不等式解集为小大根之外，而，的大小由的取值决定，因此自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（注重的对比）时，不等式解集为时，不等式化为时，不等式解集为但愿通过此例可以体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一种难点，而是有线索可循了。二、典型例题：例1：已知函数，求的单调区间解：定义域 令，所解不等式为当时，即解不等式的单调区间为：当时， 恒成立为增函数:例2：已知函数（1）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值（2）求函数的单调区间解：（1）由切线与垂直可得： （2）思路：导函数，令解单调增区间，得到含参不等式。分类讨论时注意扮演两个角色：一种是影响最高次项的符号，一种是影响方程的根解： 令即 （将的范畴分类后，要善于把每一类的范畴作为已知条使用件，在本题中使用的条件使得大小可以拟定下来，避免了进一步的分类）的单调区间为： 的单调区间为：例3：已知函数，求的单调区间解：定义域：，令，可得：，即当时，的单调区间为：当时，为增函数当时，恒成立 为增函数例4：讨论函数的单调区间解： 令，即 （注意定义域为，因此导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式） 时 （求解需要除后来开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从的符号入手） 恒成立，在单调递增 函数 为增函数 时 （下一步为开方出解集，按的符号进行再分类）当即时，恒成立，在单调递减当即时，解得：的单调区间为：小炼有话说：本题定义域为，故对单调区间既有增进作用又有制约作用：增进作用体目前对所解不等式的简化，请人们养成一种良好习惯，当已知变量范畴时，一边关注范畴一边解不等式。制约作用体目前单调区间应当是定义域的子集，因此在时，表格中自变量的区间是从处开始分析的例5：已知函数，讨论的单调性解：定义域为 令即考虑 （左边无法直接因式分解，考虑二次函数与否与轴有交点） 时 恒成立，故在单调递增 时 的解 的解集为的单调区间为： 时 在单调递增小炼有话说：本题亮点在于的讨论，判断极值点与否在定义域中。进而拟定单调性。除理解出根来判断符号之外，本题还可以运用韦达定理进行判断。，阐明两根同号，而，阐明的符号决定的正负，从而在的状况下进行再次分类讨论例6：已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间解：（1） 切线方程为：，即（2），令，即解不等式： 当时，解得：，故的单调区间为： 当时 ，因此解得：故的单调区间为： ，则，常值函数不具有单调性 时，解得：或 故的单调区间为：例7：已知函数.求函数的单调区间.解： 令，即， （参数角色： 的大小， 与否在定义域内，以为目的分类） 即 （此时一定在定义域中，故不再分类）不等式的解集为或 的单调区间为： 在单调递增 ，要根据与否在进行进一步分类当时， 不等式的解集为或 的单调区间为：当时，则，不等式的解集为 ，的单调区间为：小炼有话说：（1）在求单调区间时面临一种的根与否在定义域中的问题，由此也可体会到定义域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范畴从而有助于不等式的化简，另一方面也圈住了单调区间，极值点所在的范畴。（2）体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也可进行些简化。例8：已知函数，求的单调区间解：定义域令，即解不等式（1）当时，可得，则不等式的解为的单调区间为：（2）当时， 时，即，解得或的单调区间为： ，代入到恒成立 为增函数 ，解得：或的单调区间为：例9：设函数，求的单调区间；解：，令即（1） 则恒成立 在上单调递增（2）或 当时，解得 ，单调区间为： 当时，解得：或单调区间为：例10：已知函数，其中，试讨论的单调性思路：，可令，则需解不等式，由于的奇偶不同会导致解集不同，因此可对分奇偶讨论解： 令解得 当为奇数时，为偶数，可解得： 的单调区间为：当为偶数时，为奇数，可解得： 的单调区间为：