2020届高考数学 专题四 恒成立问题精准培优专练 理

培优点四 恒成立问题一、最值分析法例1：设，当时，恒成立，求的取值范围【答案】【解析】恒成立不等式为，只需，令，则对称轴为当时，在单调递增，即；当时，在单调递减，在单调递增，即综上，二、参变量分离法例2：已知函数，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】【解析】，即只需要即可，设，令(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析），在单调递增，在单调递增，当时，实数的取值范围是三、数形结合法例3：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，则的图象应在的上方，应为单增的对数函数，即，另一方面，观察图象可得：若要保证在时不等式成立，只需保证在时，即可，代入，可得，综上可得：对点增分集训一、选择题1已知，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】由，可得，设，在上单调递增，在上单调递减，2已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】若恒成立，则，在单调递减，在单调递增，3已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】作出的图象可知为减函数，等价于在恒成立，即，解得4若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】恒成立不等式变形为，即的图象在图象的上方，先作出的图象，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关通过观察图象，可得只需，解得5已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】由，可得，其中只需要，令，令，当时，在单调递减，又，即，在单调递减，6设正数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】由，可得，可得在单调递增，在单调递减，故，若原不等式恒成立，只需，再进行一次参变分离，则只需，解得二、填空题7已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】，即恒成立，若不等式恒成立，只需，令，8若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，则的图象应在的上方，应为单减的对数函数，即，观察图象进一步可得，要使不等式对于任意的都成立，只需时，即，9已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为【答案】【解析】，即，作出函数和的图象，可知，即的最大整数值为10已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为【答案】【解析】令，可得，由可得，当时，即，在上单调递增，即，解得，结合，可得三、解答题11已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1），函数在点处的切线方程为（2）当时，由，可得，即只需要，设，令，在单调递增，在单调递增，综上，实数的取值范围为12已知函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）【解析】（1）当时，易得当时，当时，函数在上单调递增，在上单调递减（2）恒成立，只需，由，得，令，解得，在单调递减，在单调递增，都有恒成立，即只需，当时，令，则，与矛盾，当时，解得，在单调递增，在单调递减，解得，综上所述：13已知函数，其中（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当时，可得恒成立，在单调递增；当时，令，可解得或，在，单调递增；在，单调递减（2）若在上恒成立，则只需，由（1）可知在的边界处取得最大值，即对任意的恒成立，可得综上，的取值范围为14已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当时，恒成立，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）由可得，设，恒成立，否则若，由于连续，必存在区间使得，即在单调递减，进而，使得，不符题意下面证任意的均满足条件构造函数（时的）则，当时，若要恒成立，只需证明即可又，可得，令，当时，在单调递增，即，在单调递增，成立，时，恒成立，符合题意综上，的取值范围为16