小学奥数行程问题经典整理

第一讲 行程问题（一）教学目的：1、比例的基本性质2、纯熟掌握比例式的恒等变形及连比问题3、可以进行多种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度汽车发车时间间隔（2）、求达到目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。原则措施是：画图尽量多的列3个好使公式结合s全程vt-结合植树问题数数。（3） 当浮现多次相遇和追及问题柳卡火车过桥火车过桥问题常用措施 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. 火车与人错身时，忽视人自身的长度，两者路程和为火车自身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. 火车与火车上的人错身时，只要觉得人具有所在火车的速度，而忽视自身的长度，那么她所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数与否变化分类为四种常用题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常用）（2）车速不变-班速不变-班数多种（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个原则解法：画图列3个式子1、总时间=一种队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一种队伍步行的时间=班车同步出发后回来接它的时间。时钟问题：时钟问题可以看做是一种特殊的圆形轨道上2人追及问题，但是这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。时钟问题有别于其她行程问题是由于它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。流水行船问题中的相遇与追及两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.阐明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题同样，与水速没有关系.例题精讲：模块一 发车问题【例 1】 某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.后来每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，通过多少时间，停车场就没有出租汽车了？【解析】 这个题可以简朴的找规律求解时间 车辆4分钟 9辆6分钟 10辆8分钟 9辆12分钟 9辆16分钟 8辆18分钟 9辆20分钟 8辆24分钟 8辆由此可以看出：每12分钟就减少一辆车，但该题需要注意的是：到了剩余一辆的时候是不符合这种规律的到了12*9=108分钟的时候，剩余一辆车，这时再通过4分钟车厂正好没有车了，因此第112分钟时就没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，因此应当为108分钟。【例 2】 某人沿着电车道旁的便道以每小时千米的速度步行，每分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从背面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不断地来回运营问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？【解析】 设电车的速度为每分钟米人的速度为每小时千米，相称于每分钟75米根据题意可列方程如下：，解得，即电车的速度为每分钟300米，相称于每小时18千米相似方向的两辆电车之间的距离为：(米)，因此电车之间的时间间隔为：(分钟)【巩固】 某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相似的时间发一辆公共汽车.她发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上她；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆?【解析】 此类问题一般规定两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。是人与电车的相遇与追及问题，她们的路程和（差）即为相邻两车间距离，设两车之间相距S，根据公式得，那么，解得，因此发车间隔T =【巩固】 某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从背面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来假设两个起点站的发车间隔是相似的，求这个发车间隔【解析】 设电车的速度为a，行人的速度为b，由于每辆电车之间的距离为定值，设为l由电车能在12分钟追上行人l的距离知，； 由电车能在4分钟能与行人共同走过l的距离知， ,因此有l=12(a-b)=4(a+b)，有a=2b，即电车的速度是行人步行速度的2倍。那么l=4(a+b)=6a，则发车间隔上：即发车间隔为6分钟【例 3】 一条公路上，有一种骑车人和一种步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？【解析】 规定汽车的发车时间间隔，只规定出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？由题可知：相邻两汽车之间的距离（如下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才干追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。对于骑车人可作同样的分析.因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分钟），则：间隔距离=（V汽-V人）6（米），间隔距离=（V汽-V自）10（米），V自=3V人。综合上面的三个式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，则：间隔距离=（V汽-1/6V汽）6=5V汽（米）因此，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离V汽=5V汽（米）V汽（米/分钟）=5（分钟）。【巩固】 从电车总站每隔一定期间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？【解析】 此类问题一般规定两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。甲与电车属于相遇问题，她们的路程和即为相邻两车间距离，根据公式得，类似可得，那么，即，解得米/分，因此发车间隔为9020820=11分钟。【例 4】 甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆（涉及自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？【解析】 先看平路上的状况，汽车每分钟行驶汽车平路上汽车间隔的1/20，那么每分钟自行车在平路上行驶汽车平路上间隔的1/80，因此在平路上自行车与汽车每分钟合走汽车平路上间隔的1/20+1/80=1/16，因此该学生每隔16分钟遇到一辆汽车，对于上坡、下坡的状况同样用这种措施考虑，三种状况中该学生都是每隔16分钟遇到一辆汽车.【例 5】 甲、乙两地是电车始发站，每隔一定期间两地同步各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王在途中相遇时她们已行走了 分钟【解析】 由题意可知，两辆电车之间的距离电车行8分钟的路程（每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车）电车行5分钟的路程小张行5分钟的路程电车行6分钟的路程小王行6分钟的路程由此可得，小张速度是电车速度的，小王速度是电车速度的，小张与小王的速度和是电车速度的，因此她们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的，即分钟，因此小张与小王在途中相遇时她们已行走了60分钟【例 6】 小峰骑自行车去小宝家约会，一路上小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，小峰只得打的去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，公交车的发车时间间隔为多少分钟？【解析】 间隔距离=（公交速度-骑车速度）9分钟；间隔距离=（出租车速度-公交速度）9分钟因此，公交速度-骑车速度=出租车速度-公交速度；公交速度=（骑车速度+出租车速度）/2=3骑车速度.由此可知，间隔距离=（公交速度-骑车速度）9分钟=2骑车速度9分钟=3骑车速度6分钟=公交速度6分钟. 因此公交车站每隔6分钟发一辆公交车.【例 7】 某人乘坐观光游船沿顺流方向从A港到B港。发现每隔40分钟就有一艘货船从背面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过，已知A、B两港间货船的发船间隔时间相似，且船在净水中的速度相似，均是水速的7倍，那么货船发出的时间间隔是_分钟。【解析】 由于间隔时间相似，设顺水两货船之间的距离为“1”，逆水两货船之间的距离为（71）（71）3/4。因此，货船顺水速度游船顺水速度1/40，即货船静水速度游船静水速度1/4，货船逆水速度游船顺水速度3/41/203/80，即货船静水速度游船静水速度3/80，可以求得货船静水速度是（1/403/80）21/32，货船顺水速度是1/32（11/7）1/28），因此货船的发出间隔时间是11/2828分钟。模块二 火车过桥【例 8】 小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，她散步的速度是1.5 米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾通过她身旁共用了 20秒已知火车全长 390米，求火车的速度【答案】18米/秒【例 9】 小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,她们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能协助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?【解析】 火车的时速是:100(20-15)6060=7(米/小时)，车身长是:2015=300(米)【例 10】 列车通过 250 米的隧道用 25秒，通过 210 米长的隧道用 23秒又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长 320米，速度为每秒17米列车与货车从相遇到相离需要多少秒？【解析】 列车的速度是 (250 210) (25 23) =20 (米秒)，列车的车身长： 20 25 250 =250 (米)列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长，根据路程差 = 速度差追击时间，可得列车与货车从相遇到相离所用时间为： (250 320) (20 17)= 190 (秒)【例 11】 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？【解析】 根据另一种列车每小时走72千米，因此，它的速度为：7360020（米/秒），某列车的速度为：（25O210）（2523）40220（米/秒）某列车的车长为：2025-250500-250250（米），两列车的错车时间为：（250150）（2020）4004010（秒）。【例 12】 李云靠窗坐在一列时速 60千米的火车里，看到一辆有 30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头通过窗口时，她开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2 米，货车车头长10米问货车行驶的速度是多少？【解析】 本题中从货车车头通过窗口开始计算到货车最后一节车厢驶过窗口，相称于一种相遇问题，总路程为货车的车长货车总长为： (15.8 30 1.2 30 10) 1000 =0.52 (千米)，火车行进的距离为：6018/3600=0.3 (千米)，货车行进的距离为： 0.52 0.3 =0.22(千米)，货车的速度为：0.2218/3600=44 (千米时)【例 13】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同步向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从她们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？【解析】 行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表达为（x-1）22或（x-3）26，由此不难列出方程。法一：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）22=（x-3）26。解得x=14。因此火车的车身长为：（14-1）22=286（米）。法二：直接设火车的车长是x, 那么等量关系就在于火车的速度上。可得：x/263x/221这样直接也可以x=286米 法三：既然是路程相似我们同样可以运用速度和时间成反比来解决。两次的追及时间比是：22：2611：13，因此可得：（V车1）：（V车3）13：11，可得V车14米/秒，因此火车的车长是（14-1）22=286（米）【例 14】 一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。14时16分迎面遇到一种向南走的学生，12秒后离开这个学生。问：工人与学生将在何时相遇？ 【解析】 工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟14时16分+24分=14时40分【例 15】 同方向行驶的火车，快车每秒行30米，慢车每秒行22米。如果从辆车头对齐开始算，则行24秒后快车超过慢车，如果从辆车尾对齐开始算，则行28秒后快车超过慢车。快车长多少米，满车长多少米？【解析】 快车每秒行30米，慢车每秒行22米。如果从辆车头对齐开始算，则行24秒后快车超过慢车，每秒快8米，24秒快出来的就是快车的车长192m，如果从辆车尾对齐开始算，则行28秒后快车超过慢车那么看来这个慢车比快车车长，长多少呢？长得就是快车这4秒内比慢车多跑的路程啊 4832，因此慢车224【例 16】 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头通过她的车窗时开始到乙车车尾通过她的车窗共用了14秒，求乙车的车长.【解析】 一方面应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000360010（米），乙车的速度是每秒钟54000360015（米）.此题中甲车上的乘客事实上是以甲车的速度在和乙车相遇。更具体的说是和乙车的车尾相遇。路程和就是乙车的车长。这样理解后其实就是一种简朴的相遇问题。（1015）14350（米），因此乙车的车长为350米.【例 17】 在双轨铁道上，速度为千米/小时的货车时达到铁桥，时分秒完全通过铁桥，后来一列速度为千米/小时的列车，时分达到铁桥，时分秒完全通过铁桥，时分秒列车完全超过在前面行使的货车求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？【解析】 先统一单位：千米/小时米/秒，千米/小时米/秒，分秒秒，分秒分分秒秒货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：(米)；列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：(米)考虑列车与货车的追及问题，货车时达到铁桥，列车时分达到铁桥，在列车达到铁桥时，货车已向前行进了12分钟(720秒)，从这一刻开始列车开始追赶货车，通过2216秒的时间完全超过货车，这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长，因此列车的长度为(米)，那么铁桥的长度为(米)，货车的长度为(米)【例 18】 一条单线铁路上有A,B,C,D,E 5个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同步从A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才干让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才干使停车等待的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟? 【解析】BECAD225千米25千米15千米230千米 两列火车同步从A,E两站相对开出,假设途中都不断.可求出两车相遇的地点,从而懂得应在哪一种车站停车等待时间最短.从图中可知,AE的距离是:225+25+15+230=495(千米)两车相遇所用的时间是:495(60+50)=4.5(小时)相遇处距A站的距离是:604.5=270(千米)而A,D两站的距离为:225+25+15=265(千米) 由于270千米265千米,从A站开出的火车应安排在D站相遇,才干使停车等待的时间最短.由于相遇处离D站距离为270-265=5(千米),那么,先达到D站的火车至少需要等待:(小时) ，小时=11分钟模块三 流水行船【例 19】 乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?【解析】 乙船顺水速度：1202=60（千米/小时）.乙船逆水速度：1204=30（千米/小时）。水流速度：（60-30）215（千米/小时）.甲船顺水速度：12O34O（千米/小时）。甲船逆水速度：40-215=10（千米/小时）.甲船逆水航行时间：12010=12（小时）。甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）【例 20】 船来回于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增长，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时?【解析】 本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生变化，规定船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增长后的逆水速度.船在静水中的速度是：（18010+18015）2=15（千米/小时）.暴雨前水流的速度是：（18010-18015）2=3（千米/小时）.暴雨后水流的速度是：1809-15=5（千米/小时）.暴雨后船逆水而上需用的时间为：180（15-5）=18（小时）【例 21】 (“学而思杯”六年级)甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行千米，乙艇每小时行千米目前甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距27千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又通过4小时，甲艇达到乙艇的出发地水流速度是每小时 千米 【解析】 两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，因此它们从出发到相遇所用的时间为小时相遇后又通过4小时，甲艇达到乙艇的出发地，阐明甲艇逆水行驶27千米需要小时，那么甲艇的逆水速度为(千米/小时)，则水流速度为(千米/小时)【例 22】 一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，逆流航行 120 千米也用 16 时。求水流的速度。 【解析】 两次航行都用 16 时，而第一次比第二次顺流多行 60 千米，逆流少行 40 千米，这表白顺流行60 千米与逆流行 40 千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的 1.5 倍。将第一次航行当作是 16 时顺流航行了 120801.5240（千米），由此得到顺流速度为 2401615（千米时），逆流速度为151.5=10（千米时），最后求出水流速度为（1510）22.5（千米时）。 【例 23】 一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游 50 千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相似且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中，10 分钟后此物距客船 5 千米。客船在行驶 20 千米后折向下游追赶此物，追上时正好和货船相遇。求水流的速度。【解析】 51/6=30(千米/小时)，因此两处的静水速度均为每小时 30 千米。 5030=5/3(小时)，因此货船与物品相遇需要5/3小时，即两船通过5/3小时候相遇。 由于两船静水速度相似，因此客船行驶 20 千米后两船仍相距 50 千米。 50(30+30)=5/6(小时)，因此客船调头后通过5/6小时两船相遇。 30-20(5/3-5/6)=6(千米/小时)，因此水流的速度是每小时 6 千米。 【例 24】 江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同步从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5 小时后货船追上游船。又行驶了 1 小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6 分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找届时正好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？ 【解析】 此题可以分为几种阶段来考虑。第一种阶段是一种追及问题。在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是 15 千米，共用了 5 小时，故两者的速度差是 155=3 千米。由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是 3 千米。在紧接着的 1 个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距 31=3千米。这时货船上的东西落入水中，6 分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度1/10 千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又是一种相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，因此这段时间是货船的静水速度*1/10货船的静水速度=1/10小时。按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10 千米，两者到相遇共用了 1/10 小时，帮两者的速度和是每小时 33/101/10=33 千米，这与它们两在静水中的速度和相等。（解释一下）又已知在静水中货船比游船每小时快 3 千米，故游船的速度为每小时（33-3）2=15 千米。 【例 25】 (三帆中学考题)一艘船来回于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比是一天因下暴雨，水流速度为本来的2倍，这艘船来回共用10小时，问：甲、乙两港相距 千米【解析】 设平时水流速度为千米/时，则平时顺水速度为千米/时，平时逆水速度为千米/时，由于平时顺行所用时间是逆行所用时间的一半，因此平时顺水速度是平时逆水速度的2倍，因此，解得，即平时水流速度为3千米/时暴雨天水流速度为6千米/时，暴雨天顺水速度为15千米/时，暴雨天逆水速度为3千米/时，暴雨天顺水速度为逆水速度的5倍，那么顺行时间为逆行时间的，故顺行时间为来回总时间的，为小时，甲、乙两港的距离为(千米)【例 26】 一条小河流过A，B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?【解析】 如下画出示意图有AB段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有BC段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时而从AC全程的行驶时间为8-1=7小时设AB长千米,有,解得=25因此A,B两镇间的距离是25千米.【例 27】 河水是流动的，在 B 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 A点到 B 点，然后穿过湖到C点，共用 3 小时；若她由 C 到 B 再到 A，共需 6 小时如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，从 B 流向 C ，那么，这名游泳者从 A到 B 再到 C 只需 2.5小时；问在这样的条件下，她由C 到 B再到 A，共需多少小时？【解析】 设人在静水中的速度为 x，水速为 y ，人在静水中从 B 点游到 C 点需要 t 小时根据题意，有 ，即，同样，有 ，即；因此，即 ，因此 ； (小时)，因此在这样的条件下，她由 C 到 B 再到 A共需 7.5 小时模块四 时钟问题【例 28】 目前是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？【解析】 时针的速度是 3601260=0.5(度/分)，分针的速度是 36060=6(度/分)即 分针与时针的速度差是 6-0.5=5.5(度/分)，10点时，分针与时针的夹角是60度， 第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是180度，即 分针与时针从60度到180度通过的时间为所求。因此 答案为 (分)【例 29】 有一座时钟目前显示10时整那么，通过多少分钟，分针与时针第一次重叠；再通过多少分钟，分针与时针第二次重叠?【解析】在lO点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重叠时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“”，于是需要时间：因此，再过度钟，时针与分针将第一次重叠第二次重叠时显然为12点整，因此再通过分钟，时针与分针第二次重叠原则的时钟，每隔分钟，时针与分针重叠一次 我们来熟悉一下常用钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数因此时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“”【例 30】 某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分（如右图所示）。当这只钟显示5点时，事实上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，事实上是什么时间？【解析】 原则钟一昼夜是2460=1440（分），怪钟一昼夜是10010=1000（分）怪钟从5点到6点75分，通过175分，根据十字交叉法，14401751000=252（分）即4点12分。【例 31】 手表比闹钟每时快60秒，闹钟比原则时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是几点几分几秒？【解析】 按题意，闹钟走3600秒手表走3660秒，而在原则时间的一小时中，闹钟走了3540秒。因此在原则时间的一小时中手表走366036003599 = 3599（秒），即手表每小时慢1秒，因此12点时手表显示的时间是11点59分56秒。【巩固】某人有一块手表和一种闹钟，手表比闹钟每时慢30秒，而闹钟比原则时间每时快30秒。问：这块手表一昼夜比原则时间差多少秒？【解析】 根据题意可知，原则时间通过60分，闹钟走了60.5分，根据十字交叉法，可求闹钟走60分，原则时间走了606060.5分，而手表走了59.5分，再根据十字交叉法，可求一昼夜手表走了59.52460（606060.5）分，因此答案为2460-59.52460（606060.5）=0.1（分），0.1分=6秒【例 32】 一种快钟每时比原则时间快1分，一种慢钟每时比原则时间慢3分。将两个钟同步调到原则时间，成果在24时内，快钟显示9点整时，慢钟正好显示8点整。此时的原则时间是多少？【解析】 根据题意可知，原则时间过60分钟，快钟走了61分钟，慢钟走了57分钟，即原则时间每60分钟，快钟比慢钟多走4分钟，604=15（小时）通过15小时快钟比原则时间快15分钟，因此目前的原则时间是8点45分。课后练习：练习1. 一条街上，一种骑车人与一种步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？【解析】 紧邻两辆车间的距离不变，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公汽与步行人间的距离，就是汽车间隔距离当一辆汽车超过行人时，下一辆汽车要用10分才干追上步行人即追及距离=（汽车速度-步行速度）10对汽车超过骑车人的情形作同样分析，再由倍速关系可得汽车间隔时间等于汽车间隔距离除以5倍的步行速度即： 104步行速度（5步行速度）=8（分）练习2. 甲、乙两地是电车始发站，每隔一定期间两地同步各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行每辆电车都隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔8分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔9分钟遇到迎面开来的一辆电车已知电车行驶全程是45分钟，那么小张与小王在途中相遇时她们已行走了 分钟【解析】 由题意可知，两辆电车之间的距离电车行12分钟的路程电车行8分钟的路程小张行8分钟的路程电车行9分钟的路程小王行9分钟的路程由此可得，小张速度是电车速度的，小王速度是电车速度的，小张与小王的速度和是电车速度的，因此她们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的，即分钟，因此小张与小王在途中相遇时她们已行走了54分钟练习3. 慢车的车身长是142米，车速是每秒17米，快车车身长是173米，车速是每秒22，慢车在前面行驶，快车从背面追上到完全超过慢车需要多少时间?【解析】 根据题目的条件可知，本题属于两列火车的追及状况，（142173）（2217）63（秒）练习4. 高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走的不正常，每个白天快30秒，每个夜晚慢20秒。如果在10月一日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间正好快3分？【解析】 根据题意可知，一昼夜快10秒，（360-30）10=15（天），因此挂钟最早在第15+1=16（天）傍晚正好快3分钟，即10月16日傍晚。练习5. 某河有相距 45 千米的上下两港，每天定期有甲乙两船速相似的客轮分别从两港同步出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4 分钟后与甲船相距 1 千米，估计乙船出发后几小时可与此物相遇。 【解析】 物体漂流的速度与水流速度相似，因此甲船与物体的速度差即为甲船自身的船速（水速作用抵消），甲的船速为 11/15=15 千米/小时；乙船与物体是个相遇问题，速度和正好为乙自身的船速，因此相遇时间为：4515=3 小时月测备选：【备选1】小明骑自行车到朋友家约会，一路上她注意到每隔12分钟就有一辆公交车从后边追上小乐，小明骑着骑着忽然车胎爆了，小明只得以本来骑车三分之一的速度推着车往回走，这时她发现公交车以每隔4分钟一辆的频率迎面开过来，公交车站发车的间隔时间究竟为多少？【解析】 设公交车之间的间距为一种单位距离，设自行车的速度为x，汽车的速度为y，根据汽车空间和时间间距与车辆速度的关系得到关系式：12（y-x）=4（y+1x/3），化简为3y=5x.即y/x=5/3，而公交车与自行车的速度差为1/12，由此可得到公交车的速度为5/24，自行车的速度为1/8，因此公交车站发车的时间间隔为24/5=4.8分钟.【备选2】2点钟后来，什么时刻分针与时针第一次成直角？【解析】 根据题意可知，2点时，时针与分针成60度，第一次垂直需要90度，即分针追了90+60=150（度），（分）【备选3】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见块车驶过的时间是多少秒？【解析】 8s，可以把车上的人给抽象出来当作一点，那么就类同题1。得出快车和慢车的速度和是35，反之，由车长和速度得到280/358【备选4】甲、乙两艘小游艇，静水中甲艇每小时行千米，乙艇每小时行千米现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距18千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又通过4小时，甲艇达到乙艇的出发地问水流速度为每小时多少千米？【解析】 两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，因此它们从出发到相遇所用的时间为小时相遇后又通过4小时，甲艇达到乙艇的出发地，阐明甲艇逆水行驶18千米需要小时，那么甲艇的逆水速度为(千米/小时)，那么水流速度为(千米/小时)第二讲 行程问题（二）教学目的：1、 可以运用此前学习的知识理清变速变道问题的核心点；2、 可以运用线段图、算术、方程措施解决变速变道等综合行程题；3、 变速变道问题的核心是如何解决“变”；4、 掌握寻找等量关系的措施来构建方程，运用方程解行程题知识精讲：比例的知识是小学数学最后一种重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一种小学“压轴知识点”的角色。从一种工具性的知识点而言，比例在解诸多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体目前措施的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简朴明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相似路线上的运动状况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表达，大体可分为如下两种状况：1. 当2个物体运营速度在所讨论的路线上保持不变时，通过同一段时间后，她们走过的路程之比就等于她们的速度之比。，这里由于时间相似，即,因此由得到，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比2. 当2个物体运营速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相似的路程时，2个物体所用的时间之比等于她们速度的反比。，这里由于路程相似，即，由得，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。行程问题常用的解题措施有公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种措施看似简朴，其实也有诸多技巧，使用公式不仅涉及公式的原形，也涉及公式的多种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；图示法在某些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具示意图涉及线段图和折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点此外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题措施；比例法行程问题中有诸多比例关系，在只懂得和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在某些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不拟定的，在没有具体数值的状况下，只能用比例解题；分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接合用这时一般把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的措施去分析，然后再把成果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解例题精讲：模块一、时间相似速度比等于路程比【例 33】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同步出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲达到 B 地和乙达到 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？【解析】 两个人同步出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程因此 A、 B两地相距 (千米)【例 34】 B地在A，C两地之间甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是她从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：由于丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1） 若丙先去追及乙，因时间相似丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，因此丙用时间为：10（31）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10105530（分钟），同理丙追及时间为30（31）=15（分钟），此时给甲应当送的信，换回乙应当送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10551515=50（分钟），此时追及乙需要：50（31）=25（分钟），返回B地需要25分钟因此共需要时间为5515152525=90（分钟）（2） 同理先追及甲需要时间为120分钟【例 35】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同步从、两点出发，甲每分钟行米，乙每分钟行米，出发一段时间后，两人在距中点的处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了分钟，两人将在距中点的处相遇，且中点距、距离相等，问、两点相距多少米？【分析】 甲、乙两人速度比为，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的，乙走了全程的第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，因此第二次乙行了全程的，甲行了全程的由于甲、乙速度比为，根据时间一定，路程比等于速度之比，因此甲行走期间乙走了，因此甲停留期间乙行了，因此、两点的距离为(米)【例 36】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同步出发，相向而行出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增长 20%这样当甲达到 B 地时，乙离 A地尚有 10 千米那么 A、B 两地相距多少千米？【解析】 两车相遇时甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增长 20%，此时甲、乙的速度比为 ，因此甲达到 B 地时，乙又走了，距离 A地，因此 A、 B 两地的距离为 (千米)【例 37】 上午，小张骑车从甲地出发去乙地下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前去乙地下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米下午 4 点时小王达到乙地，晚上 7 点小张达到乙地小张是上午几点出发？【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米，所如下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45= + 千米，故小张的速度是 45 3 =15千米/时，小王的速度是15 30 =45千米/时全程是 45 3 =135千米，小张走完全程用了135 15= 9小时，因此她是上午 10 点出发的。【例 38】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？ 【解析】 由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，因此需要先予以拟定从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所如下坡更用不了1小时，这阐明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路这样的话，由于下坡速度不小于平路速度，因此第一小时走的路程不不小于如下坡的速度走1小时的路程，而这个路程正好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，因此这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，因此假设不成立，即第三小时所有在走上坡路如果第一小时所有在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将不小于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，因此假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路因此整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时所有在走上坡路由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米因此第二小时内用在走平路上的时间为小时，其他的小时在走上坡路；由于第一小时比第二小时多走了15千米，而小时的下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为小时，因此在第一小时中，有小时是在下坡路上走的，剩余的小时是在平路上走的因此，陈明走下坡路用了小时，走平路用了小时，走上坡路用了小时由于下坡路与上坡路的距离相等，因此上坡路与下坡路的速度比是那么下坡路的速度为千米/时，平路的速度是每小时千米，上坡路的速度是每小时千米那么甲、乙两地相距(千米)模块二、路程相似速度比等于时间的反比【例 39】 甲、乙两人同步从地出发到地，通过3小时，甲先到地，乙还需要1小时达到地，此时甲、乙共行了35千米求，两地间的距离【分析】 甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，阐明两人的速度之比为，那么在3小时内的路程之比也是；又两人路程之和为35千米，因此甲所走的路程为千米，即，两地间的距离为20千米【例 40】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同步出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲达到 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】 由题意知，甲行 4 分相称于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系） 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相称于甲行 8 分，因此甲环行一周需 12820（分），乙需 204630（分）.【例 41】 上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到本来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同步达到各自的目的地那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到本来的 3 倍，又走了 10 分钟达到目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么背面的路甲需要走10 3= 30分钟，所此前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，因此甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，因此乙从 B 地出发时是 8 点5 分【例 42】 小芳从家到学校有两条同样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间同样多已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是1由于下坡路与一半平路的长度相似，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是，因此，走上坡路需要的时间是，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为，因此，上坡速度是平路速度的倍【例 43】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，估计50分钟达到但汽车行驶到路程的时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定期间内达到乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比本来快多少米？【分析】 当以原速行驶到全程的时，总时间也用了，因此还剩余分钟的路程；修理完毕时还剩余分钟，在剩余的这段路程上，估计时间与实际时间之比为，根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为，因此每分钟应比本来快米小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比本来快多少，但不如采用比例法简便【例 44】 (“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发小时后因故停车小时，然后以原速的迈进，最后达到目的地晚小时若出发小时后又迈进公里因故停车小时，然后同样以原速的迈进，则达到目的地仅晚小时，那么整个路程为_公里【解析】 如果火车出发小时后不断车，然后以原速的迈进，最后达到目的地晚小时，在一小时后来的那段路程，原筹划所花的时间与实际所花的时间之比为，因此原筹划要花小时，目前要花小时，若出发小时后又迈进公里不断车，然后同样以原速的迈进，则达到目的地仅晚小时，在一小时后来的那段路程，原筹划所花的时间与实际所花的时间之比为，因此原筹划要花小时，目前要花小时因此按照原筹划公里的路程火车要用小时，因此火车的原速度为千米小时，整个路程为千米【例 45】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原筹划的速度提高了1/9，成果提前一种半小时达到；返回时，按原筹划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分达到北京北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】 从开始出发，车速即比原筹划的速度提高了1/9，即车速为原筹划的10/9，则所用时间为原筹划的110/9=9/10，即比原筹划少用1/10的时间