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9.4直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0 (A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2 (r0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的鉴别式为. 措施位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离来源:dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r (r20). 措施位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立构成方程组的解的状况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交来源:中。教。网z。z。s。tep|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解1.判断下面结论与否对的(请在括号中打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充足条件.()(2)如果两个圆的方程构成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距不不小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(5)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(6)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()来源:中+教+网z+z+s+tep2.(安徽)直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A.1 B.2 C.4 D.4答案C解析圆的方程可化为(x1)2(y2)25，圆心(1,2)到直线x2y50的距离d1，截得弦长l24.3.圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案B解析C1：(x1)2(y1)24，圆心C1(1，1)，半径r12.C2：(x2)2(y1)24，圆心C2(2,1)，半径r22.|C1C2|，|r1r2|0|C1C2|1，解得k0，因此不管k为什么实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，由于kR，因此164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.措施二(1)证明圆心C(1，1)到直线l的距离d，圆C的半径R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)241180对kR恒成立，来源:中,国教,育出,版网因此R2d20，即dR，因此不管k为什么实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解由平面几何知识，知|AB|22 ，下同措施一.措施三(1)证明由于不管k为什么实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|2R，因此点P(0,1)在圆C的内部，即不管k为什么实数，直线l总通过圆C内部的定点P.因此不管k为什么实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.思维升华(1)运用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可运用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的鉴别式来判断直线与圆的位置关系；(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用措施.(1)若直线axby1与圆x2y21相交，则P(a，b)()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上均有也许(2)直线l：y1k(x1)和圆x2y22y0的位置关系是()A.相离B.相切或相交C.相交D.相切(3)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范畴是_.答案(1)B(2)C(3)(13,13)解析(1)由1，点P在圆外.(2)圆x2y22y0的圆心是(0,1)，半径r1，则圆心到直线l的距离d1.故直线与圆相交.(3)根据题意知，圆心O到直线12x5yc0的距离不不小于1，来源:1，|c|13，c(13,13).题型二圆的切线与弦长问题例2已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值.思维启迪在求过某点的圆的切线方程时，应一方面拟定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.在解决直线和圆相交所得的弦的弦长问题时，常考虑几何法.解(1)圆心C(1,2)，半径r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切.当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.圆的切线方程为y1(x3)，即3x4y50.故过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意得2，解得a0或a.(3)圆心到直线axy40的距离为，来源:中教网()2()24，解得a.思维升华(1)求过某点的圆的切线问题时，应一方面拟定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.(2)求直线被圆所截得的弦长时，一般考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，运用勾股定理来解决问题.已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解(1)如图所示，|AB|4，将圆C方程化为原则方程为(x2)2(y6)216，圆C的圆心坐标为(2,6)，半径r4，设D是线段AB的中点，则CDAB，|AD|2，|AC|4.C点坐标为(2,6).在RtACD中，可得|CD|2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：2，得k.故直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，来源:中+教+网z+z+s+tep(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.题型三圆与圆的位置关系例3(1)已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，则两圆公共弦所在的直线方程是_.(2)两圆x2y26x6y480与x2y24x8y440公切线的条数是_.(3)已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_.思维启迪求动点的轨迹方程核心是寻找与动点有关的等量关系，然后将等量关系用坐标表达出来.答案(1)x2y40(2)2(3)x解析(1)两圆的方程相减得：x2y40.(2)两圆圆心距d0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，则MN时，a的最大值与最小值分别为_、_.思维启迪本题条件MN反映了两个集合所示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接运用数形结合的思想求解.解析由于集合M(x，y)|y，a0，因此集合M表达以O(0,0)为圆心，半径为r1a的上半圆.同理，集合N表达以O(1，)为圆心，半径为r2a的圆上的点.这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO|2.如图所示， 当两圆外切时，由aa2，得a22；当两圆内切时，由aa2，得a22.因此a的最大值为22，最小值为22. 答案2222温馨提示本题重要考察集合的运算及圆与圆相切的有关知识，考察考生综合运用知识解决问题的能力.借助数形结合的思想措施求解本题较为简捷，在求解时要注意对MN的意义的理解，若题中未指明集合非空时，要考虑到空集的也许性，例如AB，则A或A两种也许，应分类讨论.本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好地结合起来.二、圆与线性规划的交汇问题典例：(5分)如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为_.思维启迪求解本题应先画出点P所在的平面区域，再画出点Q所在的圆，最后运用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ|的最小值.解析由点P在平面区域上，画出点P所在的平面区域.由点Q在圆x2(y2)21上，画出点Q所在的圆，如图所示.来源:中教网由题意，得|PQ|的最小值为圆心(0，2)到直线x2y10的距离减去半径1.又圆心(0，2)到直线x2y10的距离为，此时垂足(1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为1.答案1温馨提示本题考察线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考察考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们呈现了数学知识互相交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要运用圆上各点的特殊性.事实上是对数形结合思想的提高，即运用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题.三、圆与不等式的交汇问题典例：(5分)(天津)设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范畴是 ()A.1，1B.(，11，)C.22，22D.(，2222，)思维启迪圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质，即圆内点、圆外点的性质，直线与圆相交、相离的性质，圆与圆的相交、相离的性质等，这些问题反映在代数上就是不等式的形式.解析圆心(1,1)到直线(m1)x(n1)y20的距离为1，因此mn1mn(mn)2，因此mn22或mn22.答案D温馨提示直线与圆位置关系的考察，一般是已知位置关系求参数值，基本不等式的考察一般是给出参数关系，运用基本不等式求最值或范畴.而本题却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系，运用基本不等式转化，结合换元法把关系转化为一元二次不等式， 从而求得mn的取值范畴，这一交汇命题新颖独特，考察知识全面，难度中档，需要注意各知识应纯熟掌握才干逐个化解.措施与技巧1.过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法来源:中国教育出版网先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程xx0.2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法(1)几何措施当斜率存在时，设为k，切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.(2)代数措施设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆方程，得一种有关x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出.3.两圆公共弦所在直线方程的求法若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.4.圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2.(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组消y后得有关x的一元二次方程，从而求得x1x2，x1x2，则弦长为|AB|(k为直线斜率).失误与防备1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程与否对的外，还要考虑斜率不存在的状况，以防漏解.A组专项基本训练 (时间：40分钟)一、选择题1.圆C1：x2y21与圆C2：x2(y3)21的内公切线有且仅有()来源:中教网zzstepA.1条B.2条C.3条D.4条答案B解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.2.(重庆)对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线但是圆心D.相交且直线过圆心答案C 解析x2y22的圆心(0,0)到直线ykx1的距离d1，又r，0dr.直线与圆相交但直线但是圆心.3.直线l过点A(2,4)且与圆x2y24相切，则l的方程为()A.3x4y100B.x2C.xy20D.x2或3x4y100答案D解析显然x2为所求切线之一；另设y4k(x2)，即kxy42k0，而2，k，即切线为3x4y100，x2或3x4y100为所求.4.(山东)过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()来源:中*国教*育出*版网A.2xy30B.2xy30C.4xy30D.4xy30答案A解析如图所示：由题意知：ABPC，kPC，kAB2，直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30.5.已知直线ykxb与圆O：x2y21相交于A，B两点，当b 时，等于()A.1B.2C.3D.4答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将ykxb代入x2y21得(1k2)x22kbxb210，故x1x2，x1x2，从而x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2b21b211.二、填空题6.若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范畴是_. 答案12b3解析由y3，得(x2)2(y3)24(1y3).曲线y3是半圆，如图中实线所示.当直线yxb与圆相切时，2.b12.来源:z|zs|由图可知b12.b的取值范畴是.7.若过点A(a，a)可作圆x2y22axa22a30的两条切线，则实数a的取值范畴为_.答案(，3)解析圆方程可化为(xa)2y232a，由已知可得，解得a3或1a0)的公共弦长为2，则a_.答案1解析方程x2y22ay60与x2y24. 相减得2ay2，则y.由已知条件 ，即a1.三、解答题9.已知以点C(t，)(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程.(1)证明圆C过原点O，OC2t2.设圆C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，SOABOAOB|2t|4，来源:中。教。网z。z。s。tep即OAB的面积为定值.(2)解OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时C到直线y2x4的距离d.圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意，舍去.圆C的方程为(x2)2(y1)25.10.已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x3y60，点(1,1)在边AD所在的直线上.(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)已知直线l：(12k)x(1k)y54k0(kR)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.解(1)lAB：x3y60且ADAB，点(1,1)在边AD所在的直线上， AD所在直线的方程是y13(x1)，即3xy20.由得A(0，2).来源:|AP|2，矩形ABCD的外接圆的方程是(x2)2y28.(2)直线l的方程可化为k(2xy4)xy50，l可看作是过直线2xy40和xy50的交点(3,2)的直线系，即l恒过定点Q(3,2)，由(32)22250，则(a,0)到直线3x4y40的距离为2，即23a410a2或a(舍去)，则圆C的方程为(x2)2(y0)222，即x2y24x0.2.圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析由于圆心到直线的距离为2，又由于圆的半径为3，因此直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个.3.(江西)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.B.C.D.答案B解析SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.当AOB时，SAOB面积最大.来源:z,zs,此时O到AB的距离d.设AB方程为yk(x)(k0)，即kxyk0.由d得k.(也可ktanOPH).4.(江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_.答案解析圆C的原则方程为(x4)2y21，圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kxy20的距离应不不小于2，即2.整顿，得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.5.已知集合A(x，y)|xym0，集合B(x，y)|x2y21.若AB，则实数m的取值范畴是_.答案m1，故m.6.已知圆O：x2y24和点M(1，a).(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程.(2)若a，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|BD|的最大值.解(1)由条件知点M在圆O上，因此1a24，则a.来源:当a时，点M为(1，)，kOM，k切，此时切线方程为y(x1).即xy40，当a时，点M为(1，)，kOM，k切.此时切线方程为y(x1).即xy40.因此所求的切线方程为xy40或xy40.(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d20)， 则ddOM23.又有|AC|2，|BD|2，因此|AC|BD|22.则(|AC|BD|)24(4d4d2)4524(52).由于2d1d2dd3，因此dd，当且仅当d1d2时取等号，因此，因此(|AC|BD|)24(52)40.因此|AC|BD|2，即|AC|BD|的最大值为2.
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