2022年高等数学知识点归纳

名师总结精品知识点第一讲:极限与连续一.数列函数:1.类型:(1)数列:*()naf n;*1()nnaf a(2)初等函数:(3)分段函数:*0102()(),()xxf xF xxxfx;*00()(),xxf xF xxxa;*(4)复合(含f)函数:(),()yf uux(5)隐式(方程):(,)0F x y(6)参式(数一,二):()()xx tyy t(7)变限积分函数:()(,)xaF xfx t dt(8)级数和函数(数一,三):0(),nnnS xa xx2.特征(几何):(1)单调性与有界性(判别);()f x单调000,()()()xxxf xf x定号)(2)奇偶性与周期性(应用).3.反函数与直接函数:11()()()yf xxfyyfx二.极限性质:1.类型:*limnna;*lim()xf x(含x);*0lim()xxf x(含0 xx)2.无穷小与无穷大(注:无穷量):3.未定型:000,1,0,0,04.性质:*有界性,*保号性,*归并性三.常用结论:11nn,1(0)1naa,1()m a x(,)nnnnabca b c,00!naan1(0)xx,0lim1xxx,l i m0nxxxe,lnlim0nxxx,0l i ml n0nxxx,0,xxex精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 22 页名师总结精品知识点四.必备公式:1.等价无穷小:当()0u x时,s i n()()u xu x;tan()()u xu x;211cos()()2u xux;()1()u xeu x;ln(1()()u xu x;(1()1()u xu x;ar c si n()(u xu x;arctan()()u xu x2.泰勒公式:(1)2211()2!xexxo x;(2)221ln(1)()2xxxo x;(3)341sin()3!xxxo x;(4)24511cos1()2!4!xxxo x;(5)22(1)(1)1()2!xxxo x.五.常规方法:前提:(1)准确判断0,1,0M(其它如:00,0,0,);(2)变量代换(如:1tx)1.抓大弃小(),2.无穷小与有界量乘积(M)(注:1sin1,xx)3.1处理(其它如:000,)4.左右极限(包括x):(1)1(0)xx;(2)()xex;1(0)xex;(3)分段函数:x,x,max()f x5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)6.洛必达法则(1)先”处理”,后法则(00最后方法);(注意对比:1lnlim1xxxx与0lnlim1xxxx)(2)幂指型处理:()()ln()()v xv xu xu xe(如:1111111(1)xxxxxeeee)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小8.极限函数:()lim(,)nf xF x n(分段函数)精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 22 页名师总结精品知识点六.非常手段1.收敛准则:(1)()lim()nxaf nf x(2)双边夹:*?nnnbac,*,?nnbca(3)单边挤:1()nnaf a*21?aa*?naM*()0?fx2.导数定义(洛必达?):00l i m()xffxx3.积分和:10112l i m()()()()nnffffx d xnnnn,4.中值定理:lim()()lim()xxf xaf xaf5.级数和(数一三):(1)1nna收敛lim0nna,(如2!limnnnnn)(2)121lim()nnnnaaaa,(3)na与11()nnnaa同敛散七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):*(),(0)?nf xkxx(1)(1)()(0)(0)(0)0,(0)nnffffa()()!nnnaaf xxxxnn(2)00()xxnf t dtkt dt2.渐近线(含斜):(1)()lim,lim()xxf xabf xaxx()fxaxb(2)()f xaxb,(10 x)3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,()fx连续性)八.,a b上连续函数性质1.连通性:(,),fa bm M(注:01,“平均”值:0()(1)()()f af bf x)2.介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:()()0f a f b0()0fx(根的个数);(2)()0()0 xaf xf x dx.精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 22 页名师总结精品知识点第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一.基本概念:1.差商与导数:()fx0()()limxfxxfxx;0()fx000()()limxxf xf xxx(1)0()(0)(0)limxf xffx(注:0()lim(xf xA fx连续)(0)0,(0)ffA)(2)左右导:00(),()fxfx;(3)可导与连续;(在0 x处,x连续不可导;x x可导)2.微分与导数:()()()()()ff xxf xfxxoxdffx dx(1)可微可导;(2)比较,f df与0的大小比较(图示);二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;(注:()f x)2.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数1dxdyy三.各类求导(方法步骤):1.定义导:(1)()fa与()x afx;(2)分段函数左右导;(3)0()()limhf xhf xhh(注:00()(),xxF xf xxxa,求:0(),()fxfx及()fx的连续性)2.初等导(公式加法则):(1)()uf g x,求:0()ux(图形题);(2)()()xaF xf t dt,求:()Fx(注:(,),(,),()xbbaaaf x t dtf x t dtf t dt)(3)0102(),()xxfxyxxfx,求00(),()fxfx及0()fx(待定系数)3.隐式(,)0fx y)导:22,dyd ydxdx(1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法.4.参式导(数一,二):()()xx tyy t,求:22,dyd ydxdx精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 22 页名师总结精品知识点5.高阶导()()nfx公式:()()axnnaxea e;()11!()()nnnb nabxabx;()(sin)sin()2nnaxaaxn;()(cos)cos()2nnaxaaxn()()1(1)2(2)()nnnnnnuvuvC uvC uv注:()(0)nf与泰勒展式:2012()nnf xaa xa xa x()(0)!nnfan四.各类应用:1.斜率与切线(法线);(区别:()yf x上点0M和过点0M的切线)2.物理:(相对)变化率速度;3.曲率(数一二):23()(1()fxfx(曲率半径,曲率中心,曲率圆)4.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润)五.单调性与极值(必求导)1.判别(驻点0()0fx):(1)()0()fxf x;()0()fxf x;(2)分段函数的单调性(3)()0fx零点唯一;()0fx驻点唯一(必为极值,最值).2.极值点:(1)表格()fx变号);(由0002()()()lim0,lim0,lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx的特点)(2)二阶导(0()0fx)注(1)f与,ff的匹配(f图形中包含的信息);(2)实例:由()()()()fxx f xg x确定点“0 xx”的特点.(3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)3.不等式证明()0f x)(1)区别:*单变量与双变量?*,xa b与,),(,)xax?(2)类型:*0,()0ff a;*0,()0ff b精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 22 页名师总结精品知识点*0,(),()0ff af b;*00()0,()0,()0fxfxf x(3)注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:max()()f xMfxM)4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点(必求导!):1.y表格;(0()0fx)2.应用:(1)泰勒估计;(2)f单调;(3)凹凸.七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点)1.结论:()()()()0F bF aFf2.辅助函数构造实例:(1)()f()()xaF xf t dt(2)()()()()0()()()fgfgF xf x g x(3)()()()()()0()()f xfgfgF xg x(4)()()()0ff()()()x dxF xef x;3.()()0()nffx有1n个零点(1)()nfx有2个零点4.特例:证明()()nfa的常规方法:令()()()nF xf xPx有1n个零点()nPx待定)5.注:含12,时,分家!(柯西定理)6.附(达布定理):()f x在,a b可导,(),()cfafb,a b,使:()fc八.拉格朗日中值定理1.结论:()()()()f bf afba;()(),()0ab)2.估计:()ffx九.泰勒公式(连接,fff之间的桥梁)1.结论:2300000011()()()()()()()()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx;2.应用:在已知()f a或()f b值时进行积分估计十.积分中值定理(附:广义):注:有定积分(不含变限)条件时使用 精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 22 页名师总结精品知识点第三讲:一元积分学一.基本概念:1.原函数()F x:(1)()()Fxf x;(2)()()f x dxdF x;(3)()()f x dxF xc注(1)()()xaF xf t dt(连续不一定可导);(2)()()()()xxaaxt f t dtf t dtf x()f x连续)2.不定积分性质:(1)()()f x dxf x;()()df x dxf x dx(2)()()fx dxf xc;()()d fxfxc二.不定积分常规方法1.熟悉基本积分公式2.基本方法:拆(线性性)1212()()()()k fxk g xd xkfx d xkg x d x3.凑微法(基础):要求巧,简,活(221sincosxx)如:211(),ln,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdxx221,(1ln)(ln)1xdxdxx dxd xxx4.变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):1sin,1xxtaxbttetx(2)作用与引伸(化简):21xxt5.分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln,arctan,()xaxxf t dt);(2)“反对幂三指”:,ln,naxnx e dxxxdx(3)特别:()xf x dx(*已知()f x的原函数为()F x;*已知()()fxF x)6.特例:(1)11sincossincosaxbxdxaxbx;(2)(),()sinkxp x e dxp xaxdx快速法;(3)()()nv xdxux精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 22 页名师总结精品知识点三.定积分:1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续)(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*220(0)8aaxx dx aa;*()02baabxdx(3)附:()()baf x dxM ba,()()()bbaaf x g x dxMg x dx)(4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重2:变限积分()()xaxf t dt的处理(重点)(1)f可积连续,f连续可导(2)()xaf t dt()f x;()()()xxaaxt f t dtf t dt;()()()xaf x dtxa f x(3)由函数()()xaF xf t dt参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题3.NL公式:()()()baf x dxF bF a()F x在,a b上必须连续!)注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性(2)有理式,三角式,根式(3)含()baf t dt的方程.4.变量代换:()()()bafx d xfu tut d t(1)00()()()aaf x dxf ax dx xat,(2)0()()()()()aaaaafx dxfx dx xtf xfx dx(如:4411 sindxx)(3)2201sinnnnnIxdxIn,(4)2200(sin)(cos)fx dxfx dx;200(sin)2(sin)fx dxfx dx,(5)00(sin)(sin)2xfx dxfx dx,5.分部积分(1)准备时“凑常数”(2)已知()fx或()xaf x时,求()baf x dx精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 22 页名师总结精品知识点6.附:三角函数系的正交性:222000s i nc o ss i nc o s0n x d xn x d xn xm x d x2200sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdx nm222200sincosnxdxnxdx四.反常积分:1.类型:(1)(),(),()aaf x dxfx dxf x dx()f x连续)(2)()baf x dx:()f x在,()xaxbxc acb处为无穷间断)2.敛散;3.计算:积分法NL公式极限(可换元与分部)4.特例:(1)11pdxx;(2)101pdxx五.应用:(柱体侧面积除外)1.面积,(1)()();baSf xg x dx(2)1()dcSfy dy;(3)21()2Srd;(4)侧面积:22()1()baSf xfx dx2.体积:(1)22()()bxaVfxgx dx;(2)12()2()dbycaVfydyxf x dx(3)0 xxV与0yyV3.弧长:22()()dsdxdy(1)(),yf xxa b21()basfx d x(2)12(),()xx ttt tyy t2122()()ttsxtyt dt(3)(),rr:22()()srrd4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5.平均值(中值定理):(1)1,()baf a bf x dxba;(2)0()0)limxxf t dtfx,(f以T为周期:0()Tf t dtfT)精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 22 页名师总结精品知识点第四讲:微分方程一.基本概念1.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)2.变换方程:(1)令()xx tyDy(如欧拉方程)(2)令(,)(,)uu x yyy x uy(如伯努利方程)3.建立方程(应用题)的能力二.一阶方程:1.形式:(1)(,)yf x y;(2)(,)(,)0Mx y dxN x y dy;(3)()y ab2.变量分离型:()()yf x g y(1)解法:()()()()dyf x dxG yF xCg y(2)“偏”微分方程:(,)zf x yx;3.一阶线性(重点):()()yp x yq x(1)解法(积分因子法):00()01()()()()xxp x dxxxM xeyM x q x dxyM x(2)变化:()()xp y xq y;(3)推广:伯努利(数一)()()yp x yq x y4.齐次方程:()yyx(1)解法:(),()ydudxuuxuuxuux(2)特例:111222a xb ycdydxa xb yc5.全微分方程(数一):(,)(,)0Mx y dxN x y dy且NMxydUMdxNdyUC6.一阶差分方程(数三):1*0()()xxxxxnxxycayayb p xyx Q x b精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 22 页名师总结精品知识点三.二阶降阶方程1.()yf x:12()yF xc xc2.(,)yf x y:令()(,)dpyp xyf x pdx3.(,)yf y y:令()(,)dpyp yypfy pdy四.高阶线性方程:()()()()a x yb x yc x yfx1.通解结构:(1)齐次解:01122()()()yxc y xc yx(2)非齐次特解:1122()()()*()y xc y xc yxyx2.常系数方程:()aybycyf x(1)特征方程与特征根:20abc(2)非齐次特解形式确定:待定系数;(附:()axf xke的算子法)(3)由已知解反求方程.3.欧拉方程(数一):2()ax ybxycyf x,令2(1),txex yD Dy xyDy五.应用(注意初始条件):1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积);注:切线和法线的截距2.积分等式变方程(含变限积分);可设()(),()0 xaf x dxF x F a3.导数定义立方程:含双变量条件()f xy的方程4.变化率(速度)5.22dvd xFmadtdt6.路径无关得方程(数一):QPxy7.级数与方程:(1)幂级数求和;(2)方程的幂级数解法:201201,(0),(0)yaa xa xayay8.弹性问题(数三)精选学习资料 -名师归纳总结-第 11 页，共 22 页名师总结精品知识点第五讲:多元微分与二重积分一.二元微分学概念1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),(1)000000(,),(,),(,)xyff xx yyff xx yff xyy(2)lim,lim,limyxxyfffffxy(3)22,lim()()xyfdffxfydfxy(判别可微性)注:(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limxyxyfxffyfffxy2.特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyxyf x y:(0,0)点处可导不连续;(2)22(0,0)(,)0,(0,0)xyf x yxy:(0,0)点处连续可导不可微;二.偏导数与全微分的计算:1.显函数一,二阶偏导:(,)zf x y注:(1)yx型;(2)00(,)xxyz;(3)含变限积分2.复合函数的一,二阶偏导(重点):(,),(,)zf u x yv x y熟练掌握记号12111222,fffff的准确使用3.隐函数(由方程或方程组确定):(1)形式:*(,)0F x y z;*(,)0(,)0F x y zG x y z(存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):0 xyzF dxF dyF dz(要求:二阶导)(3)注:00(,)xy与0z的及时代入(4)会变换方程.精选学习资料 -名师归纳总结-第 12 页，共 22 页名师总结精品知识点三.二元极值(定义?);1.二元极值(显式或隐式):(1)必要条件(驻点);(2)充分条件(判别)2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)(1)目标函数与约束条件:(,)(,)0zf x yx y,(或:多条件)(2)求解步骤:(,)(,)(,)L x yf x yx y,求驻点即可.3.有界闭域上最值(重点).(1)(,)(,)(,)0zf x yMDx yx y(2)实例:距离问题四.二重积分计算:1.概念与性质(“积”前工作):(1)Dd,(2)对称性(熟练掌握):*D域轴对称;*f奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;(3)“分块”积分:*12DDD;*(,)f x y分片定义;*(,)f x y奇偶2.计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换):以“D”为主;(2)交换积分次序(熟练掌握).3.极坐标使用(转换):22()f xy附:222:()()DxaybR;2222:1xyDab;双纽线222222()()xyaxy:1Dxy4.特例:(1)单变量:()f x或()fy(2)利用 重心 求积分:要求:题型12()Dk xk y dxdy,且已知D的面积DS与重心(,)x y5.无界域上的反常二重积分(数三)五:一类积分的应用():;f M dDL):1.“尺寸”:(1)DDdS;(2)曲面面积(除柱体侧面);2.质量,重心(形心),转动惯量;3.为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.精选学习资料 -名师归纳总结-第 13 页，共 22 页名师总结精品知识点第六讲:无穷级数(数一,三)一.级数概念1.定义:(1)na,(2)12nnSaaa;(3)limnnS(如1(1)!nnn)注:(1)limnna;(2)nq(或1na);(3)“伸缩”级数:1()nnaa收敛na收敛.2.性质:(1)收敛的必要条件:lim0nna;(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论);(3)221,0nnnnss assss;二.正项级数1.正项级数:(1)定义:0na;(2)特征:nS;(3)收敛nSM(有界)2.标准级数:(1)1pn,(2)lnknn,(3)1lnknn3.审敛方法:(注:222abab,lnlnbaab)(1)比较法(原理):npkan(估计),如10()nf x dx;()()P nQ n(2)比值与根值:*1limnnnuu*limnnnu(应用:幂级数收敛半径计算)三.交错级数(含一般项):1(1)nna(0na)1.“审”前考察:(1)0?na(2)0?na;(3)绝对(条件)收敛?注:若1lim1nnnaa,则nu发散2.标准级数:(1)11(1)nn;(2)11(1)npn;(3)11(1)lnnpn3.莱布尼兹审敛法(收敛?)(1)前提:na发散;(2)条件:,0nnaa;(3)结论:1(1)nna条件收敛.4.补充方法:(1)加括号后发散,则原级数必发散;(2)221,0nnnnss assss.5.注意事项:对比na;(1)nna;na;2na之间的敛散关系精选学习资料 -名师归纳总结-第 14 页，共 22 页名师总结精品知识点四.幂级数:1.常见形式:(1)nna x,(2)0()nnaxx,(3)20()nnaxx2.阿贝尔定理:(1)结论:*xx敛*0Rxx;*xx散*0Rxx(2)注:当*xx条件收敛时*Rxx3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)注(1),nnnnana xxn与nna x同收敛半径(2)nna x与20()nnaxx之间的转换4.幂级数展开法:(1)前提:熟记公式(双向,标明敛域)23111,2!3!xexxxR24111()1,22!4!xxeexxR35111(),23!5!xxeexxxR3511sin,3!5!xxxxR2411cos1,2!4!xxxR;211,(1,1)1xxxx;211,(1,1)1xxxx2311ln(1),(1,123xxxxx2311ln(1),1,1)23xxxxx3511arctan,1,135xxxxx(2)分解:()()()f xg xh x(注:中心移动)(特别:021,xxaxbxc)(3)考察导函数:()()g xfx0()()(0)xf xg x dxf(4)考察原函数:0()()xg xfx dx()()f xg x5.幂级数求和法(注:*先求收敛域,*变量替换):(1)(),S x(2)()S x,(注意首项变化)精选学习资料 -名师归纳总结-第 15 页，共 22 页名师总结精品知识点(3)()()S x,(4)()()S xS x的微分方程(5)应用:()(1)nnnnaa xS xaS.6.方程的幂级数解法7.经济应用(数三):(1)复利:(1)nAp;(2)现值:(1)nAp五.傅里叶级数(数一):(2T)1.傅氏级数(三角级数):01()cossin2nnnaS xanxbnx2.Dirichlet充分条件(收敛定理):(1)由()()f xS x(和函数)(2)1()()()2S xf xf x3.系数公式:01()cos1(),1,2,3,1()sinnnafxnxdxaf x dxnbf xnxdx4.题型:(注:()(),?f xS xx)(1)2T且(),(,f xx(分段表示)(2)(,x或0,2x(3)0,x正弦或余弦*(4)0,x(T)*5.2Tl6.附产品:()f x01()cossin2nnnaS xanxbnx00001()cossin2nnnaS xanxbnx001()()2f xf x精选学习资料 -名师归纳总结-第 16 页，共 22 页名师总结精品知识点第七讲:向量,偏导应用与方向导(数一)一.向量基本运算1.12k ak b;(平行ba)2.a;(单位向量(方向余弦)01(co s,c o s,c os)aaa)3.a b;(投影:()aa bba;垂直:0aba b;夹角:(,)a ba ba b)4.ab;(法向:,naba b;面积:Sa b)二.平面与直线1.平面(1)特征(基本量):0000(,)(,)MxyznA B C(2)方程(点法式):000:()()()00A xxByyCzzA xB yC zD(3)其它:*截距式1xyzabc;*三点式2.直线L(1)特征(基本量):0000(,)(,)Mxyzsm n p(2)方程(点向式):000:xxyyzzLmnp(3)一般方程(交面式):1111222200A xB yC zDA xB yC zD(4)其它:*二点式;*参数式;(附:线段AB的参数表示:121121121()(),0,1()xaaa tybbb t tzccc t)3.实用方法:(1)平面束方程:11112222:()0A xB yC zDA xB yC zD(2)距离公式:如点000(,)Mxy到平面的距离000222AxByCzDdABC(3)对称问题;(4)投影问题.精选学习资料 -名师归纳总结-第 17 页，共 22 页名师总结精品知识点三.曲面与空间曲线(准备)1.曲面(1)形式:(,)0F x y z或(,)zf x y;(注:柱面(,)0f x y)(2)法向(,)(cos,cos,cos)xyznF FF(或(,1)xynzz)2.曲线(1)形式():()()xx tyy tzz t,或(,)0(,)0F x y zG x y z;(2)切向:(),(),()sx ty tz t(或12snn)3.应用(1)交线,投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算:参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四.常用二次曲面1.圆柱面:222xyR2.球面:2222xyzR变形:2222xyRz,222()zRxy,2222xyzaz,2222000()()()xxyyzzR3.锥面:22zxy变形:222xyz,22zaxy4.抛物面:22zxy,变形:22xyz,22()zaxy5.双曲面:2221xyz6.马鞍面:22zxy,或zxy精选学习资料 -名师归纳总结-第 18 页，共 22 页名师总结精品知识点五.偏导几何应用1.曲面(1)法向:(,)0(,)xyzF x y znFFF,注:(,)(,1)xyzf x ynff(2)切平面与法线:2.曲线(1)切向:(),(),()(,)xx tyy tzz tsx yz(2)切线与法平面3.综合:00FG,12snn六.方向导与梯度(重点)1.方向导(l方向斜率):(1)定义(条件):(,)(cos,cos,cos)lm n p(2)计算(充分条件:可微):coscoscosxyzuuuul附:0(,),cos,sin zf x ylcossinxyzffl(3)附:2222cos2sincossinxxxyyyffffl2.梯度(取得最大斜率值的方向)G:(1)计算:()(,)(,xya zf x yGgradzff;()(,)(,xyzb ufx y zGg r a d uuuu(2)结论()aul0G l;()b取lG为最大变化率方向;()c0()G M为最大方向导数值.精选学习资料 -名师归纳总结-第 19 页，共 22 页名师总结精品知识点第八讲:三重积分与线面积分(数一)一.三重积分(fdV)1.域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点):含:关于坐标面;关于变量;关于重心(2)投影法:22212(,)(,)(,)xyDx y xyRz x yzz x y(3)截面法:222()(,)()D zx y xyRzazb(4)其它:长方体,四面体,椭球2.f的特征:(1)单变量()f z,(2)22()f xy,(3)222()f xyz,(4)faxbyczd3.选择最适合方法:(1)“积”前:*dv;*利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体):()baD zIdzfdxdy(细腰或中空,()f z,22()f xy)(3)投影法(直柱体):21(,)(,)xyzx yzx yDIdxdyfdz(4)球坐标(球或锥体):22000sin()RIddfd,(5)重心法(faxbyczd):()Iaxbyczd V4.应用问题:(1)同第一类积分:质量,质心,转动惯量,引力(2)Gauss公式二.第一类线积分(Lfds)1.“积”前准备:(1)LdsL;(2)对称性;(3)代入“L”表达式2.计算公式:22(),(),()()()()baLxx tta bfdsf x ty txtyt dtyy t3.补充说明:(1)重心法:()()Laxbyc dsaxbyc L;(2)与第二类互换:LLAdsA dr精选学习资料 -名师归纳总结-第 20 页，共 22 页名师总结精品知识点4.应用范围(1)第一类积分(2)柱体侧面积,Lz x y ds三.第一类面积分(fdS)1.“积”前工作(重点):(1)dS;(代入:(,)0F x y z)(2)对称性(如:字母轮换,重心)(3)分片2.计算公式:(1)22(,),(,)(,(,)1xyxyxyDzz x yx yDIf x y z x yzz dxdy(2)与第二类互换:A ndSA dS四:第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dxQ x y dy(其中L有向)1.直接计算:()()xx tyy t,2112:()()ttt ttIPx tQy t dt常见(1)水平线与垂直线;(2)221xy2.Green 公式:(1)()LDQPPdxQdydxdyxy;(2)()L AB:*PQyy换路径;*PQyy围路径(3)L(xyQP但D内有奇点)*LL(变形)3.推广(路径无关性):PQyy(1)PdxQdydu(微分方程)()BAL ABu(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dxQ x y dy与路径无关(f待定):微分方程.4.应用功(环流量):IF dr(有向,(,)FP Q R,(,)drdsdx dy dz)精选学习资料 -名师归纳总结-第 21 页，共 22 页名师总结精品知识点五.第二类曲面积分:1.定义:Pdydz QdzdxRdxdy,或(,)R x y z dxdy(其中含侧)2.计算:(1)定向投影(单项):(,)R x y z dxdy,其中:(,)zz x y(特别:水平面);注:垂直侧面,双层分隔(2)合一投影(多项,单层):(,1)xynzz()()xyPdydzQdzdxRdxdyPzQzR dxdy(3)化第一类(不投影):(cos,cos,cos)n(coscoscos)PdydzQdzdxRdxdyPQRdS3.Gauss公式及其应用:(1)散度计算:PQRdivAxyz(2)Gauss公式:封闭外侧,内无奇点Pdydz QdzdxRdxdydivAdv(3)注:*补充“盖”平面:0;*封闭曲面变形(含奇点)4.通量与积分:A d S(有向n,AP Q R,(,)d SndSdydz dzdx dxdy)六:第二类曲线积分(2):(,)(,)(,)P x y z dxQ x y z dyR x y z dz1.参数式曲线:直接计算(代入)注(1)当0rot A时,可任选路径;(2)功(环流量):IF dr2.Stokes 公式:(要求:为交面式(有向),所张曲面含侧)(1)旋度计算:(,)(,)RAP Q Rxyz(2)交面式(一般含平面)封闭曲线:00FG同侧法向,xyznF FF或,xyzGGG;(3)Stokes 公式(选择):()A drAndS(a)化为Pdydz QdzdxRdxdy;(b)化为(,)R x y z dxdy;(c)化为fdS精选学习资料 -名师归纳总结-第 22 页，共 22 页