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名师总结优秀知识点二项式定理1 知识精讲：（1）二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110（Nn）其通项是1rTrrnrnbaC（r=0,1,2,n），知 4 求 1，如：555156baCTTnn亦可写成：1rTrnrnabaC)(nnnnrrnrnrnnnnnbCbaCbaCaCba11110（Nn）特别地：nnnrnrnnnnnxCxCxCxCx101（Nn）其中，rnC二项式系数。而系数是字母前的常数。例 1nnnnnnCCCC1321393等于（）An4B。n43C。134nD.314n解：设nnnnnnnCCCCS1321393，于是：nnnnnnnCCCCS3333333221=13333332210nnnnnnnCCCCC故选 D 例 2（1）求7(12)x的展开式的第四项的系数；（2）求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数解：（1）7(12)x的展开式的第四项是3333 17(2)280TCxx，7(12)x的展开式的第四项的系数是280（2）91()xx的展开式的通项是99 21991()(1)rrrrrrrTC xC xx，923r，3r，3x的系数339(1)84C，3x的二项式系数3984C（2）二项展开式系数的性质：对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 4 页名师总结优秀知识点二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：122maxnnnrnTCC；如 果 二 项 式 的 幂 指 数 是 奇 数，中 间 两 项 的 二 项 式 系 数 相 等 并 且 最 大，即1211212121maxnnnnnnrnTTCCC。所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于n2即nnnnnCCC210；奇数项的二项 式系数和与偶 数项的二项式 系数和相等，即131202nnnnnCCCC例 3已知7270127(12)xaa xa xa x，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017|aaa.解：（1）当1x时，77(12)(12)1x，展开式右边为0127aaaa0127aaaa1，当0 x时，01a，1271 12aaa，（2）令1x，0127aaaa1令1x，7012345673aaaaaaaa 得：713572()13aaaa，1357aaaa7132.（3）由展开式知：1357,a a aa均为负，0248,aa aa均为正，由（2）中+得：702462()13aaaa，70246132aaaa，017|aaa01234567aaaaaaaa702461357()()3aaaaaaaa精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 4 页名师总结优秀知识点例 4（1）如果在nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。（2）求321xx的展开式的常数项。解：（1）展开式中前三项的系数分别为1，2n，8)1(nn，由题意得：22n=1+8)1(nn得n=8。设第 r+1 项为有理项，43168121rrrrxcT，则 r 是 4 的倍数，所以r=0，4，8。有理项为295412561,835,xTxTxT。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。（2）321xx61xx，其展开式的通项为2266111rrrrrxxCT22661rrrrxC，令02r26r得3r所以，常数项为204T【思维点拨】密切注意通项公式的使用。（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：Nnnnn,322取nn112的展开式中的四项即可。例 5、若n为奇数，则777712211nnnnnnnCCC被 9 除得的余数是（）A 0 B。2 C。7 D.8 解：777712211nnnnnnnCCC11918nn=1191991111nnnnnnnCC因为n为奇数，所以原式=291991111nnnnnnCC所以，其余数为 9 2=7，选 C 例 6：当Nn且n1，求证3)11(2nn精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 4 页名师总结优秀知识点证明:2111111)11(1221nCnCnCnCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn12321!1!321!2121122112112122121212!1!31!212112nnn.32131n从而3)11(2nn【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。2重点难点:二项式定理，和二项展开式的性质。3思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。4特别注意:二项式的展开式共有n+1 项，rrnrnbaC是第 r+1 项。通项是1rTrrnrnbaC（r=0,1,2,n）中含有rnbaTr,1五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。注意二项式系数与某一项系数的异同。当 n 不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求nx)1(的近似值。精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 4 页
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