函数、极限与连续习题加答案

第一章 函数、极限与持续第一讲：函数一、是非题1与相似； （ ） 2.是奇函数； （ ）3.但凡分段表达的函数都不是初等函数； （ ）4. 是偶函数； （ ）5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多种； （ ）7.复合函数的定义域即的定义域； （ ）8.在内到处有定义，则在内一定有界。 （ ）二、填空题 1.函数与其反函数的图形有关 对称； 2.若的定义域是，则的定义域是 ； 3.的反函数是 ； 4.，则 ， ； 5.是由简朴函数 和 复合而成； 6.，则 ， 。三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增长的函数是（ ） A、 B、 C、 D、 2.设，若，则应为（ ）A、1 B、1 C、2 D、2 3.是（ ） A、有界函数 B、周期函数 C、奇函数 D、偶函数四、计算下列各题1.求定义域2.求下列函数的定义域 (1) (2)(3) (4) 3.设，求； 4.判断下列函数的奇偶性(1) (2) (3) (4)5.写出下列函数的复合过程 (1) (2)(3) (4)6.设求，并作出函数的图形。第二讲：极限概念一、是非题1.在数列中任意去掉或增长有限项，不影响的极限； （ ）2.若数列的极限存在，则的极限必存在； （ ） 3.若数列和都发散，则数列也发散； （ ） 4.若，则必有或。 （ ）5.若，则； （ ）6.已知不存在，但有也许存在； （ ）7.若与都存在，则必存在； （ ）8.； （ ）9. ； （ ）10.非常小的数是无穷小； （ ）11.零是无穷小； （ ）12.无限变小的变量称为无穷小； （ ）13.无限个无穷小的和还是无穷小。 （ ）二、填空题1. ；2. ； 3. ； 4. ；5.； 6. ；7. ，； 8.设，则，当时，。9.设，当时，是无穷小量，当时，是无穷大量；10.设是无穷小量，是有界变量，则为 ；11. 的充足必要条件是当时，为 ； 12. ；。三、选择题1.已知下列四数列： 、；、；、；、 则其中收敛的数列为（ ） A、 B、 C、 D、2.已知下列四数列： 、 、 、 、则其中发散的数列为（ ）A、 B、 C、 D、3.，则必有（ ） A、 B、 C、 D、不存在4.从不能推出（ ） A、 B、C、 D、5.设 ，则的值为（ ） A、0 B、1 C、2 D、不存在6. 当时，下列变量中是无穷小的是（ ） A、 B、 C、 D、 7.下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是（ ） A、 B、 C、 D、8.若，则下列极限成立的是（ ） A、 B、 C、 D、9.如下命题对的的是（ ） A、无界变量一定是无穷大 B、无穷大一定是无界变量 C、趋于正无穷大的变量一定在充足大时单调增 D、不趋于无穷大的变量必有界 10. （ ） A、等于0 B、等于 C、等于1 D、不存在11.下列求极限问题中可以使用洛必达法则的是（ ）； A、 B、 C、 D、四、设，回答问题：1.函数在处的左、右极限与否存在？2.函数在处与否有极限？为什么？3.函数在处与否有极限？为什么？五、下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？1.； 2. ；3.； 4.六、当时，下列哪个无穷小与无穷小是同阶无穷小？哪个无穷小与无穷小是等价无穷小？哪个无穷小是比无穷小高阶的无穷小？ 1.， 2. ， 3. 第三讲：极限的求法一、是非题1.在某过程中，若有极限，无极限，则无极限； （ ）2.在某过程中，若，均无极限，则无极限； （ ）3.在某过程中，若有极限，无极限，则无极限； （ ）4.在某过程中，若，均无极限，则无极限； （ ）5.若，则必不存在； （ ）6. ； （ ） 7. ； （ ） 8.； （ ）9.； （ ）10. （ ）二、计算下列极限1. ； 2. ；3. ； 4. ；5. ； 6. ；7. ； 8. ； 9. ； 10. ；11. ； 12. ；13. ； 14. ； 15. ； 16. ；三、求函数的极限（1）； （2）；（3） ； （4） ；（5）； （6）四、求数列的极限： （1） ； （2）；（3），其中为正的常数。 （4）。五、用洛必达法则求下列函数的极限； ；15. ； 16. ；17. ； 18. ；19.； 20. ；21. ； 22. 。六、求之值使七、已知，求常数与的值。八、已知，求。九、证明：当时，。第四讲： 函数的持续性一、是非题1.若，在点处均不持续，则在点处亦不持续； （ ）2.若在点处持续，在点处不持续，则在点处必不持续；（ ） 3. 若与在点处均不持续，则在点处亦不持续； （ ） 4.在处不持续； （ ） 5.在处持续当且仅当在处既左持续又右持续； （ ） 6.设在内持续，则在内必有界； （ ） 7.设在上持续，且无零点，则在上恒为正或恒为负； （ ） 8.，因此在内有根。 （ ）二、填空题1.是函数的 类 型间断点；2.是函数的 类 型间断点；3.设，若定义，则在处持续；4.若函数在处持续，则等于 ； 5.的持续区间是 ； 6.在上的最大值为 ，最小值为 ； 7.函数，当时，；当时，。三、选择题1.函数在内间断点的个数为（ ）； A、0 B、1 C、2 D、3 2.是函数在处持续的（ ）； A、必要条件 B、充足条件 C、充要条件 D、无关条件 3.方程在区间内（ ） A、无实根 B、有唯一实根 C、有两个实根 D、有三个实根四、设函数 要使持续，常数各应取何值？五、指出下列函数的间断点，并指明是哪一类型间断点。1. ； 2.3. ； 4. 六、求下列极限1. ； 2. ； 3. ； 4. 。七、证明方程在内至少有一种实根。八、设，试鉴定在处的持续性，并求出持续区间。第一章： 单元测试题一、填空题 1.设，则的定义域为 ； 2.函数在 持续； 3.； 4.； 5.设在处持续，且，则； 6. 是函数的 间断点； 7.的间断点是 ，其中可去间断点是 ，跳跃间断点是 。二、选择题1.的反函数是（ ）； A、 B、 C、 D、2.当时，下列函数中有极限的是（ ）； A、 B、 C、 D、 3. 在点不持续是由于（ ）； A、不存在 B、不存在 C、 D、4.设，则是的（ ）； A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、无穷间断点 D、持续点5.设，则是存在的（ ）； A、充足但非必要条件 B、必要但非充足条件 C、充足必要条件 D、无关条件 6.当时，和都是无穷小。当时，下列变量中也许不是无穷小的是（ ）； A、 B、 C、 D、7.当时，若与是等价无穷小，则（ ）； A、2 B、 C、1 D、38.当时，下列函数中为的高阶无穷小的是（ ）； A、 B、 C、 D、 9.当时，是（ ）； A、无穷大量 B、无穷小量 C、无界变量 D、有界变量10.方程的实根个数是（ ）； A、一种 B、二个 C、三个 D、零个11.当时，是的（ ）； A、高阶无穷小 B、同阶无穷小，但不等价 C、低阶无穷小 D、等价无穷小12.设，则的值为（ ）； A、1 B、2 C、 D、A、B、C均不对三、求下列函数的极限1. ； 2. ；3. ； 4. ；5. ； 6. ；7. ； 8. ； 9. ; 10. 四、设（常数），求。五、证明下列方程在之间均有一实根。1. ； 2. ； 3. ；六、设在上持续，且，证明在内至少有一点使。七、设 求。八、设 讨论在处的持续性。九、 证明方程至少有一种不不小于3的正根。第一章 函数、极限与持续第一讲：函数一、1.非；2.是；3.非；4.非；5.是；6.是；7.非；8.非。二、1.轴；2.；3.；4.与；5. 、；6.1，。三、1.C；2.B；3.A。四、1.；2.(1) (2) (3) (4)； 3. ；4.(1)奇 (2)非奇非偶 (3)奇 (4)偶；5.(1) (2) (3) (4)；6.。第二讲：极限概念一、1.；是2.非；3.非；4.非；5.非；6.是；7.非；8.非；9.是；10.非；11.是；12.非；13.非。二、1.0；2.0；3.4；4.0；5.1；6.0；7.1，不存在；8.，1，1；9.；10.无穷小；11.无穷小；12.0。三、1.D；2.C；3.D；4.C；5.B；6.A；7.D；8.D；9.B；10.D。四、1.；2.无极限，因；3.。五、1.无穷小；2.无穷大；3.无穷大（）；4.既不是无穷小也不是无穷大。六、1.同阶无穷小；2.高阶无穷小；3.等价无穷小。第三讲：极限的求法一、1.是；2.非；3.非；4.非；5.非；6.非；7.非；8.非；9.非；10.非。二、1.1；2.；3. ；4.0；5. ；6.1；7.1；8.；9.；10.0；11.；12.；13.；14.1；15. ；16. 。七、提示：由极限乘法运算法则及由分母极限为0，可得分子极限必为0，且分子、分母同步有的公因式，。八、。九、（略） 第四讲： 函数的持续性一、1.；非2.非；3.非；4.非；5.是；6.非；7.是；8.非。二、1.第一类，跳跃型；2.第二类，无穷型；3.1；4.2；5.；6.无，0；7.。三、1.C；2.A；3.B。四、。五、1.是第二类间断点中的无穷间断点；2.是第二类间断点中的无穷间断点；3.为第一类间断点中的可去间断点；4.为第二类间断点中的无穷间断点，为第一类间断点中的跳跃间断点。六、1.；2.；3.；4.1。七、（略）八、在处持续，在处间断，持续区间为第一章： 单元测试题一、1.；2.；3.3；4.；5.；6.第一类间断点且是可去间断点；7. ，0，。二、1.C；2.C；3.B；4.B；5.C；6.D；7.A；8.A；9.D；10.A；11.A；12.C。三、1.；2.；3.；4.1；5. ；6.0；7.；8.；9.；10.。四、。五、（略）六、（略）七、。八、，故在处持续。九、（略）