§1.4.2正弦、余弦函数的单调性

正弦、余弦函数的性质正弦、余弦函数的性质X（奇偶性、单调性）（奇偶性、单调性）邹城二中 高一数学组 函函 数数 性性 质质y=sinx (kz)y=cosx (kz)定义域定义域值域值域最值及相应的最值及相应的 x的集合的集合周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性对称中心对称中心对称轴对称轴x Rx R-1,1-1,1x=2k时时y ymaxmax=1=1x=2k+时时 ymin=-1周期为T=2周期为周期为T=2奇函数奇函数偶函数偶函数(k,0)x=kx=2k+时时y ymaxmax=1=1x=2kx=2k-时时 ymin=-122(k+,0)2x=k+2正弦、余弦函数的单调性正弦、余弦函数的单调性 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ，其值从其值从-1增至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0-1减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12 23 +2k,+2k,k Z2 2 +2k,+2k,k Z2 23 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R)x cosx2 2 -0 -1 0 1 0-1增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k,2k,k Z 减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12k,2k +,k Zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 例例1：下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值的自变量出取最大值、最小值的自变量x的集合，并说的集合，并说出最大值、最小值分别是什么。出最大值、最小值分别是什么。RxxyRxxy，）（2sin321cos)1(解：解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值。容易知道，这两个函数都有最大值、最小值。（1）使函数）使函数y=cosx+1，xR取得最大取得最大值的值的x的集合，就是使函数的集合，就是使函数y=cosx，xR取得最大值的的集合取得最大值的的集合（2）使函数）使函数y=cosx+1，xR取得最小值取得最小值的的x的集合，就是使函数的集合，就是使函数y=cosx，xR取取得最小值的的集合得最小值的的集合Zkkxx,2|Zkkxx,)12(|函数函数y=cosx+1，xR的最大值是的最大值是1+1=2；最；最小值是小值是-1+1=0（2）令）令z=2x，使函数，使函数y=-3sinz，zR取取得最大值的得最大值的z的集合是的集合是kxkzxzkkzz4222,22|得由因此使函数因此使函数y=-3sin2x，xR取得最大值的取得最大值的x的的集合是集合是zkkxx,4|同理，使函数同理，使函数y=-3sin2x，xR取得最小值取得最小值的的x的集合是的集合是zkkxx,4|函数函数y=-3sin2x，xR的最大值是的最大值是3，最小，最小值是值是-3例例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 (1)sin()与与sin()18 10 (2)cos()与与 cos()523 417 解：解：218102 又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数2,2 sin()sin()18 10 解：解：5340cos cos 4 53 即：即：cos cos 053 4 又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数,0 cos()=cos =cos 523 523 53 417 cos()=cos =cos 417 4 从而从而 cos()cos()523 417 例例3 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：(1)y=2sin(-x)解：解：y=2sin(-x)=-2sinx函数在函数在 上单调递减上单调递减 +2k,+2k,k Z2 2 函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k,+2k,k Z2 23 (2)y=3sin(2x-)4 22422 kxk838 kxk2324222 kxk8783 kxk单调增区间为单调增区间为83,8 kk所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为87,83 kk复合函数的单调区间的求法例例4 求函数求函数 的单调递增区间。的单调递增区间。2,2),321sin(xxy解：令解：令 ，函数，函数 的单调递增区间是的单调递增区间是321xzzy sin22,22kk由由 得得kxk2232122zkkxk,43435设设,43435|2,2zkkxkxBA所以所以3,35BA 故此函数的单调递增区间是故此函数的单调递增区间是3,35 函函 数数 性性 质质y=sinx (kz)y=cosx (kz)定义域定义域值域值域最值及相应的最值及相应的 x的集合的集合周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性对称中心对称中心对称轴对称轴x Rx R-1,1-1,1x=2k时时y ymaxmax=1=1x=2k+时时 ymin=-1周期为T=2周期为周期为T=2奇函数奇函数偶函数偶函数(k,0)x=kx=2k+时时y ymaxmax=1=1x=2kx=2k-时时 ymin=-122(k+,0)2x=k+2 +2k,+2k,k Z2 2 +2k,+2k,k Z2 23 +2k,2k,k Z 2k,2k +,k Z小小 结：结：若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！