西安石油大学现代数值计算方法第8章学习教案

会计学1西安石油大学现代西安石油大学现代(xindi)数值计算方数值计算方法第法第8章章第一页，共70页。定理(dngl)：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件2121),(),(yyLyxfyxf则上述微分方程(wi fn fn chn)有唯一解y(x)第2页/共70页第二页，共70页。)(nxy 假设解y(x)在区间a,b上是存在而且唯一的，并且具有充分的光滑度，因此，要求f(x,y)也充分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 表示,数值解法的精确解用 表示。ny常微分方程数值解法(ji f)一般分为：（1）一步法：在计算 时，只用到 ,和 ，即前一步的值。nx1nyny1nx（2）多步法：计算 时，除用到 ,和 以外，还要用 和 ,即前 k步的值。1nypny1nxnxnypnx)0;2,1(kkp（3）显式格式(g shi)与隐式格式(g shi)。第3页/共70页第三页，共70页。8.1 欧拉法与梯形(txng)法设节点为 ，得欧拉方法计算公式为：），（3,2100nnhxxn），）（，（32101nyxhfyynnnn一、欧拉(Euler)法下面(xi mian)通过几种常用的方法来推导该公式。1、泰勒(ti l)展开法假设在 附近把y（x）做Taylor展开，有：nx)(2)()()(2nnnnxyxhyxyhxyh第4页/共70页第四页，共70页。取h的线性部分,并用 表示 的近似值,得ny)(nxy),2,1,0)(,(1nyxhfyynnnn2、数值积分法 从 到 +h对等式 y(t)=f(t,y(t)进行积分得到 nxnx1)(,()()(nnxxnndttytfxyhxy再利用左矩形(jxng)公式，得)(,()()(nnnnxyxhfxyhxy从而得到(d do)Euler公式。),()(nnnyxfxy由第5页/共70页第五页，共70页。)(,()(1)()(1nnnnnxxxyxfxyxxyynn3、数值(shz)微分法4、几何(j h)方法过点(xn,yn)作以f(xn,yn)为斜率的直线(zhxin)方程：)(,(nnnnxxyxfyy 将x=xn+1处该直线上的函数值做为y(xn+1)的近似值，则有Euler公式。这实质上是在每个小区间上利用折线来代替曲线的结果，故Euler法又称Euler折线法。第6页/共70页第六页，共70页。二、梯形(txng)法在式 中,将积分用梯形公式来代替，则有 1)(1nnxxnndttytfxyxy）（，（）),()(,(12)(,()(,(2)()(13111nnnnnnnnxxyfhxyxfxyxfhxyxy从而(cng r)得到梯形公式：,2,1,0),(),(2111nyxfyxfhyynnnnnn 梯形方法关于yn+1是隐式的，而Euler方法是显式的。一般情形下不容易从上式解出yn+1，因而可将上式与Euler公式联合(linh)使用，即第7页/共70页第七页，共70页。),2,1,0;,2,1,0)(,(),(2),()(11)1(1)0(1 nkyxfyxfhyyyxhfyyknnnnnknnnnn使用(shyng)上式时，先用第一式算出xn+1处yn+1的初始近似)0(1ny再用第二式反复迭代(di di)，得到数列0)1(1kkny用)(1)1(1knknyy来控制迭代次数(csh)，这里为允许误差。把满足误差要求的)1(1kny可以证明,当f(x,y)满足Lipschitz条件,即：12,LhLyf且(L为Lipschitz常数)时,上述数列收敛。作为y(xn+1)的近似值yn+1.类似地可以得出yn+2,yn+3,第8页/共70页第八页，共70页。证明：由),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy和),(),(2)(11 11knnnnnknyxfyxfhyy有：),(),(2111)(111)1(1nnknnnknyxfyxfhyy)(,(211)(11nknnyyxyfh)(211)(11)(1之间与介于nknnknyyyyhL反复(fnf)使用不等式有：1)1(1nknyy1)(121nknyyhL0211)0(11nnkyyhL）（第9页/共70页第九页，共70页。实用中,在h 取得较小时,用梯形公式计算,第二式只迭代一次就结束(jish),得到Euler预估-校正格式:),2,1,0)(,(),(2),(1111nyxfyxfhyyyxhfyynnnnnnnnnn第一式称为(chn wi)预估公式，第二式称为(chn wi)校正公式。三、Euler预估(y)-校正格式第10页/共70页第十页，共70页。四、方法(fngf)的误差估计、收敛性和稳定性 定义1：为 某一数值方法在xn处的整体截断误差(不考虑舍入误差的影响)。定义2：对单步法，在 的假设下，称为在 处的局部截断误差。（P232定义1）nnnyxy）（nx）（nnxyy 11nnnyxyR）（nxRemark1:Euler法的局部(jb)截断误差为(由泰勒余项):,)(2)(1211 nnnnnnnxxyhyxyRRemark2:梯形方法(fngf)的局部截断误差为（由梯形积分）,)(12)(1311 nnnnnnnxxyhyxyR第11页/共70页第十一页，共70页。用泰勒展开法推导(tudo)Euler预估校正格式的局部截断误差改写Euler预估(y)校正公式为：),(),()(2121211hkyhxfkyxfkkkhyynnnnnn)(),(1nnnxyyxfk在)(nnxyy 的假定(jidng)下，第12页/共70页第十二页，共70页。而),(12hkyhxfknn)()(,()(,()(,()(,(211hOxyxfyhkxyxfxhxyxfhkxyhxfnnnnnnnn)()(,()(,()(,()(,(2hOxyxfyxyxfxyxfxhxyxfnnnnnnnn)()()(2hOxhyxynn第13页/共70页第十三页，共70页。)()(21)()()()()(21,32321121hOxyhxhyyhOxyhxhyxhyyyykknnnnnnnnn有代入将而)()(!2)(321hOxyhxyhxyxynnnn）（）因此(ync)有)(311hOyxyRnnn）（故Euler预估(y)校正方法为的局部截断误差阶为O(h3)。第14页/共70页第十四页，共70页。定义3：若一个方法的局部截断误差为 ，则称该方法为p阶方法,或称该方法具有p阶精度。P232定义2）1(phO截断误差Remark：Euler方法是一阶方法，梯形(txng)法和Euler预估校正法是二阶方法。第15页/共70页第十五页，共70页。整体(zhngt)截断误差与局部截断误差的关系且局部(jb)截断误差有界：则Euler法的整体截断误差n满足(mnz)估计式：其中L为李普希兹常数，b-a为求解区间长度，定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件2121),(),(yyLyxfyxf),2,1(21|22nMhRn)1(2)(20)(LabLabneLhMe。)(max2xyMbxa 第16页/共70页第十六页，共70页。收敛性与稳定性收敛性定义：如果某一数值方法对于(duy)任意固定的xn=x0+nh，当h0(同时n )时有yn y(xn)，则称该方法收敛。定义 用一个数值方法，求解微分方程初值问题时，对给定的步长h0，若在计算 时引入误差 （也称扰动），但由此引起计算后面的 时的误差按绝对值均不增加，则称这个数值方法是稳定的。nyn),2,1(kyknRemark：该定理(dngl)表明，整体截断误差比局部截断误差低一阶。对其它方法，也有类似的结论。稳定性定义(dngy)第17页/共70页第十七页，共70页。稳定性Remark：由于稳定性问题比较复杂，通常的做法是将满足李普希兹条件的微分方程模型(mxng)化。设f y=常数，此时微分方程为线性方程 y=y。为保证微分方程的稳定性，假定0。讨论某方法的稳定性，就是讨论该方法对模型(mxng)方程的稳定性。第18页/共70页第十八页，共70页。稳定性结论(jiln)Euler法的稳定性条件(tiojin)是：梯形(txng)法是绝对稳定的。Euler预估校正格式的稳定性条件是：对非线性方程，应视，此时将是变化的。的变化将引起h的变化，属于绝对稳定区域，则认为对20 h1)(2112hhyfyfyfhh如果步长h固定，此时，若此方程而言，方法是稳定的。第19页/共70页第十九页，共70页。8.2 泰勒(ti l)展开法与龙格-库塔（RungeKutta）方法问题：利用泰勒展开(zhn ki)法推导高阶单步的求解常微分方程初值问题的数值方法。从提高截断误差阶的阶数入手。第20页/共70页第二十页，共70页。假定(jidng)初值问题的解y（x）及函数f（x，y）是充分光滑的，则:)()(!)(!2)(1)(21pnppnnnnhOxyphxyhxhyxyxy）（）（)()(,(!)(,(!2)(,()(1)1(2pnnppnnnnnhOxyxfphxyxfhxyxhfxy当n 充分小时，略去余项 ，则有p阶计算公式)(1phO一、Taylor 方法(fngf)第21页/共70页第二十一页，共70页。0)1(21)(,(!),(2),(yxyxfphyxfhyxhfyynnppnnnnnn其中(qzhng)，),(nnnyxfy),(),(),(nnynnnnxnyxfyxfyxfy),(2 22nnyxyyyxyxxnyxfffffffffy第22页/共70页第二十二页，共70页。上式称为p阶Taylor方法。特别地，当p1时，就是(jish)Euler公式。当p2时，得二阶Taylor方法：),(2212),(2nnyxyxnnnnnnnf ffhyxhfyyhyhyy 当Taylor方法的阶数p取的较大时，需计算f(x，y)的高阶导数值，计算量较大。特别当f(x，y)较复杂时，y(x)的高阶导数会很复杂。因此Taylor方法很少单独使用(shyng)，但可以用它来启发思路。第23页/共70页第二十三页，共70页。二、RungeKutta 方法(fngf)基本思想：用不同点的函数值作线性组合，构造近似公式，把近似公式和解的Taylor展开比较，使前面的若干项吻合，从而(cng r)使近似公式达到一定的阶数。一般的显式R-K方法，可以写成)()()(11,22112321313312122122111NNNNNnNnNnnnnnnNNnnkkkhyhxfkkkhyhxfkhkyhxfkyxfkkckckchyy，（），（），（），（第24页/共70页第二十四页，共70页。其中，为常数，选取这些常数的原则是，要求第一式的右端在 处泰勒展开后，按h 的幂次重新整理，得到 iijiC，），nnyx(3322113121hhhyynn！与微分方程(wi fn fn chn)的解的Taylor展开式 3213121)(hfhfhfxyxynnnnn！）（有尽可能多的项重合(chngh)，即要求，nnnfff 321第25页/共70页第二十五页，共70页。上述公式叫做(jiozu)N级的Runge-Kutta方法，其局部截断误差为。）1(NhO其中(qzhng)，nnnfff 表示(biosh),(),(),()(nnnnnxyxyyxfxy 显然，Euler法是一级一阶R-K方法。下面以二级R-K公式为例，来说明R-K方法的推导过程。第26页/共70页第二十六页，共70页。），（），（121211)1(phkyphxfkyxfkkkhyynnnnnn二阶龙格-库塔公式(gngsh)适当选择，p，使yn+1具有(jyu)2阶精度注意到1),()()(kyxfxyyphyynnnnp1phkyynp第27页/共70页第二十七页，共70页。将 在 处展开，有 K2),(yxnn),(),(),(),(112nnynnxnnnnyxfphkyxphfyxfphkyphxfk)(2hO)()()(2hOxyphxynn),()(),()(nnynnnxnyxfxyyxfxy),(),(),(nnynnnnxyxfyxfyxf),(),(1nnynnxyxfkyxf第28页/共70页第二十八页，共70页。21p)()()()(321hOhxyphxyxyynnnn 而y(xn+1)在xn处的Taylor展式为：)()(21)()()(321hOhxyhxyxyxynnnn 将k1，k2表示(biosh)式代入211)1(kkhyynn第29页/共70页第二十九页，共70页。Euler预估-校正(jiozhng)格式),(),()(2121211hkyhxfkyxfkkkhyynnnnnn若取1,21p)21,21(),(12121hkyhxfkyxfkhkyynnnnnn得，若取211p第30页/共70页第三十页，共70页。Remark1：我们可以构造无穷多个二级R-K方法，这些方法的截断误差均为O(h3),即都是二阶方法。其中(qzhng)二阶Heun方法是截断误差项数最少，且允许f 任意变化的情况下截断误差最小的二阶方法。Remark2：二级R-K方法不可能达到三阶Remark3：同样可构造其他阶的R-K方法，它们都有无穷多组解，且三级R-K方法阶数不超过3，四级R-K方法阶数不超过4。Remark4：更高阶的方法由于计算量较大，一般不再采用。第31页/共70页第三十一页，共70页。常用的三阶(sn ji)R-K公式（具有三阶(sn ji)精度）)2(,()2,2(),(462131213211kkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkhyynnnnnnnn第32页/共70页第三十二页，共70页。标准（经典(jngdin)）四阶R-K公式（有四阶精度）),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhxfkhkyhxfkhkyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnn第33页/共70页第三十三页，共70页。关于R-K方法计算(j sun)量的讨论 二阶R-K方法需计算两个函数值，四阶R-K方法需计算四个函数值，但精度要比二阶方法高出两阶。因此，要达到同样的精度，用低阶方法需步长取得比较小，但若用高阶方法则可以将步长取得大一些(yxi)，从而降低计算量。四阶经典(jngdin)RK方法的稳定性条件是1)(241)(61)(211432hhhh关于R-K方法稳定性的讨论二阶RK方法的稳定性条件是 1)(2112hh第34页/共70页第三十四页，共70页。线性多步法的基本(jbn)思想：如果充分利用前面多步的信息来预测yn+k，则可以期望获得较高的精度。8.3 线性多步法 前面(qin mian)的RK方法是增加一些非节点处的函数值的计算来提高单步法的精度的，这样使计算量增加了许多。本节介绍多步法，是在不过分增加计算量的情况下取得较高的计算精度。线性多步法公式的构造一般用两种方法(fngf)，即Taylor展开法与数值积分法。第35页/共70页第三十五页，共70页。线性多步法的一般(ybn)形式)(110111101rnrnnnrnrnnnffffhyyyy式中jiknknknrkyxff,),1,0,1)(,(都为实数(shsh)，且0rr。当10时上式为隐式方法(fngf)，当10时，上式为显示方法。由于求yn+1用到前面yn,yn-1,yn-r等r1个值，且关于yn-j和fn-j(j=0,1,2,r)都是线性的，因此称上式为线性r1步方法。第36页/共70页第三十六页，共70页。一、用数值积分方法(fngf)构造线性多步法将 方程两端从 积分得)(,(xyxfy 1nknxx到001)()(,()()(1yxydxxyxfxyxynknxxknn（1）对 取等距插值节点 ，)(,()(xyxfxFknnnnxxxx11,。)(,(,),(,(11nnknknxyxfxyxf对应的函数值为 如果k取不同的值，以及F(x)取不同的插值多项式近似，由上式就可以推导出不同的线性多步公式。第37页/共70页第三十七页，共70页。其插值余项为：1.阿达姆斯(Adams)外插公式(gngsh)在(1)式中取k=0，并选择xn,xn-1,xn-2,xn-3作为(zuwi)插值节点，作函数F(x)的三次插值多项式：30303)()(iinijjjninjnxFxxxxxLnnnnnnxxxxxxxxxxFxR3321)4(3)()()()(!41)(第38页/共70页第三十八页，共70页。把F(x)=L3(x)+R3(x)代入（1）式，有 11)()()()(331nnnnxxxxnndxxRdxxLxyxy略去(l q)上式右端第三项，得),5,4,3()()()(131ndxxLxyxynnxxnn对于上式积分(jfn)部分用变量代换x=xn+th，并注意到hxxxxxxnnnnnn32211第39页/共70页第三十九页，共70页。则)(9)(37)(59)(5524)2)(2(3)()3)(1(2)()3)(2(2)()3)(2)(1(!3)()(3213211031nnnnnnnnxxxFxFxFxFhhdttttxFtttxFtttxFtttxFdxxLnn第40页/共70页第四十页，共70页。从而(cng r)得到线性四步Adams显式公式：),5,4,3(),(9),(37),(59),(55243322111nyxfyxfyxfyxfhyynnnnnnnnnn其局部截断误差就是(jish)数值积分的误差111)()()()(!41)(32)4(3nnnnnnxxnnnxxndxxxxxxxxxFdxxRR第41页/共70页第四十一页，共70页。因(x-xn)(x-xn-1)(x-xn-2)(x-xn-3)在xn,xn+1上不变号，并设F(4)(x)在xn,xn+1上连续，利用(lyng)积分中值定理，存在n xn,xn+1，使得)(720251)(720251)()()()(!41)5(5)4(532)4(11nnxxnnnnyhFhdxxxxxxxxxFRnnnn 因为插值多项式L3(x)是在xn3,xn上作出的，而积分(jfn)区间为xn,xn+1，故上式称为Adams外插公式。第42页/共70页第四十二页，共70页。2.阿达姆斯(Adams)内插公式(gngsh)若在(1)式中取k=2，并选择xn1,xn,xn-1,xn-2作为插值节点，作函数F(x)的三次插值多项式。类似(li s)于上面的外插公式，有)(72019519924)5(52111nnnnnnnnyhRffffhyy该公式也称为(chn wi)Adams内插公式，为三步隐式方法。第43页/共70页第四十三页，共70页。3.阿达姆斯(Adams)预估(y)-校正公式 由于Adams内插公式是隐式方法，故用它做计算需使用迭代法。通常把Adams外插公式与内插公式结合起来使用，先由前者提供(tgng)初值，再由后者进行修正，即),5,4,3;,2,1,0(519),(92493759552421)(11)1(1321)0(1nkfffyxfhyyffffhyynnnknnnknnnnnnn第44页/共70页第四十四页，共70页。),5,4,3(519,(92493759552421)0(111321)0(1nfffyxfhyyffffhyynnnnnnnnnnnnn当183Lyfh在求解区域内成立时，迭代收敛。若上式中的第二式只迭代一次，便得到Adams预估-校正(jiozhng)格式。第45页/共70页第四十五页，共70页。Taylor展开法更具一般性，不仅可以构造用数值积分法得出的数值方法(fngf)，而且还可导出积分法得不到的方法(fngf)。它比积分法更加灵活。下面仅举一例说明如何用这种方法(fngf)构造线性多步法。二、用Taylor展开(zhn ki)法构造线性多步公式 首先(shuxin)以xn-1,xn,xn+1为节点，构造形如)(110111101nnnnnnfffhyyy的公式。假设上式右边)1,1()()(,(),1()(nnnixyxyxffnnixyyiiiiii第46页/共70页第四十六页，共70页。将函数)(),(),(111nnnxyxyxy在x=xn处展开，有:5)5(4)4(321)(!51)(!41)(!31)(!21)(!11)()(hxyhxyhxyhxyhxyxyxynnnnnnn 5)6(4)5(3)4(21)(!51)(!41)(!31)(!21)(!11)()(hxyhxyhxyhxyhxyxyxynnnnnnn 5)6(4)5(3)4(21)(!51)(!41)(!31)(!21)(!11)()(hxyhxyhxyhxyhxyxyxynnnnnnn代入给定公式并按h的幂次整理(zhngl)得到下式：第47页/共70页第四十七页，共70页。)()!41!41!51()()!31!31!41()()2121!31()()!21()()()()()5(5111)4(4111311121111011101nnnnnnnxyhxyhxyhxyhxyhxyy第48页/共70页第四十八页，共70页。将上式与 5)5(4)4(321)(!51)(!41)(!31)(!21)(!11)()(hxyhxyhxyhxyhxyxyxynnnnnnn比较，选择(xunz)系数i(i=0,1)和i(i=-1,0,1)使两式中关于h的同次幂的系数有尽可能多的项相等。故有：2416161241:61212161:2121:1:1:11141113111210111100hhhhh第49页/共70页第四十九页，共70页。求解上述方程组，得出0，1，1，0，1。所得到(d do)的算式的局部截断误差为O(h5)。)4(31111nnnnnfffhyyReamrk：我们也可以只要求前面几个方程组成立，如要求前面4个方程组成立时，所得算式的局部截断误差为O(h4)。如令00，带入上式的前4个方程，解得1=1，1=1=1/3，0=4/3,于是(ysh)得到计算公式为：第50页/共70页第五十页，共70页。此时上式中第5式也恰巧成立(chngl)。可以得到上式得截断误差为：)()(901)()()2412411201(12016)5(56)5(5111hOxyhhOxyhRnnn称上式为辛浦生（Simpson）公式，它可由数值积分方法(fngf)而得到。我们(w men)也可以用类似的方法构造其它的线性多步法，如前面的Adams公式等。第51页/共70页第五十一页，共70页。三、出发(chf)值的计算 使用线性k步法求解初值问题时，需要知道k个出发值y0,y1,yk-1才能进行计算。然而初值问题只提供一个yn,还有k1个出发值，需要通过别的方法(fngf)计算出来。常用的方法(fngf)是一步方法(fngf)。由于初值对于确定微分方程的解有重要作用，因而在求解数值解时，对出发值的精度也必须有相应的要求。为了保证多步方法(fngf)的精确度，用于计算出发值的一步方法(fngf)的阶数至少不低于多步方法(fngf)的阶。第52页/共70页第五十二页，共70页。理论上讲，可用Taylor展开法和Runge-Kutta方法，计算出发值。但由于Taylor展开法要计算高阶导数值，故最常用的方法还是选择与多步法同阶的Runge-Kutta方法。一旦出发值计算出来，线性多步法的计算量（特别是显式公式(gngsh)）就会很小，因为每次只须计算一次f值。Remark：有关线性多步法的整体截断误差、收敛性及数值稳定性的讨论可参考(cnko)有关文献。第53页/共70页第五十三页，共70页。8.4数值(shz)算例求解(qi ji)常微分方程初值问题1)0(2yyxydxdy在0,1上的解，取步长h0.1。计算结果如下(rxi)图所示：第54页/共70页第五十四页，共70页。第55页/共70页第五十五页，共70页。第56页/共70页第五十六页，共70页。第57页/共70页第五十七页，共70页。第58页/共70页第五十八页，共70页。第59页/共70页第五十九页，共70页。第60页/共70页第六十页，共70页。返回(fnhu)第61页/共70页第六十一页，共70页。第8章例题(lt)例1：用欧拉预校方法求解初值问题（要求取步长h=0.2，计算y(1.2)和y(1.4)的近似值，小数点后保留5位小数）：1)1(0sin2yxyyy解:欧拉预校格式(g shi)为:),2,1,0)(,(),(2),()0(111)0(1nyxfyxfhyyyxhfyynnnnnnnnnn第62页/共70页第六十二页，共70页。由y(1)=y0=1计算(j sun)得:715488.0)2.1(63171.01)0(1yyy52611.0)4.1(47696.02)0(2yyy)sinsin(1.0)sin(2.012)0(1)0(1212)0(1nnnnnnnnnnnnnxyyxyyyyxyyyy于是有:第63页/共70页第六十三页，共70页。例2:用二阶泰勒展开法求初值问题:1)1(22yyxy解:二阶泰勒展开为:)()(!2)()()(321hoxyhxyhxyxynnnn 因为:),(2222,2222yxyxy yxyyxy 代入上式并略去(l q)高阶项o(h3)，则得求解公式为：)(222)(222221nnnnnnnnyxyxhyxhyy由y(1)=y0=1计算得:333298.3)50.1(68750.1)25.1(21yyyy求x=1.5的近似值(取步长为0.25,小数点后保留(boli)5位)第64页/共70页第六十四页，共70页。例3（作业5）证明求解初值问题00)(),(yxyyxfy的如下单步方法是二阶方法。)21,21(),(12121kyhxhfkyxhfkkyynnnnnn)()(,(),(1nnnnnxhyxyxhfyxhfk在)(nnxyy 的假定下，证明(zhngmng)：)21,21(12kyhxhfknn)()(,(2)(,(2)(,()2)(,2(211hOxyxfykxyxfxhxyxfhkxyhxhfnnnnnnnn)()(,()(,()(,(2)(,(32hOxyxfyxyxfxyxfxhxyxhfnnnnnnnn)()(2)(32hOxyhxhynn第65页/共70页第六十五页，共70页。)()(2)(,32112hOxyhxhyyyyknnnnn有代入将因此(ync)有)(311hOyxyRnnn）（故所给方法(fngf)是二阶方法(fngf)。)()(!2)(321hOxyhxyhxyxynnnn）（）而对直接在处泰勒展开有：）1(nxynx证毕第66页/共70页第六十六页，共70页。例4 设求解常微分方程初值问题)(),(0 xyyxfy的如下线性二步格式：)(1101101nnnnnffhyyy其中：),(),(111nnnnnnyxffyxff，试确定参数,1010,，使该格式为三阶格式。解：为考虑局部截断误差，设)(),(11nnnnxyyxyy于是所给格式可以写为：)(,()(,()()(11101101nnnnnnnxyxfxyxfhxyxyy)()()()(11110nnnnxyxyhxyxy（1）分别将)(),(11nnxyxy在xn处泰勒展开，有:)()(!41)(!31)(!21)(!11)()(54)4(321hohxyhxyhxyhxyxyxynnnnnn )()(!31)(!21)(!11)()(43)4(21hohxyhxyhxyxyxynnnnn 第67页/共70页第六十七页，共70页。代入（1）式并按h的幂次整理(zhngl)后有：)()()!3!4()()3()()!2()()()()(5)4(411311211101101hoxyhxyhxyhxyhxyynnnnnn （2）)()(!41)(!31)(!21)()()(54)4(321hohxyhxyhxyhxyxyxynnnnnn 比较(bjio)（2）（3）式h幂次相同的项并令其系数相等有：13121111111011024541010解得：而由泰勒(ti l)展开有：（3）第68页/共70页第六十八页，共70页。)()(6154)4(1hohxyRnn此时(c sh)（3）式与（2）相减有：即所给格式为三阶(sn ji)格式，具体为：)24(54111nnnnnffhyyy#第69页/共70页第六十九页，共70页。感谢您的观看(gunkn)！第70页/共70页第七十页，共70页。