金融经济学第二章

金融经济学第二章关于风险与不确定性 奈特（Knight.F）风险、不确定性和利润中关于确定型、风险和不确定性的解释：确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件发生的可能性。第1页/共52页 风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种状态发生的概率不清楚。第2页/共52页 由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。第3页/共52页1.完备性(可比性)：所有选择x和y中，个体要么偏好x()，要么偏好y()，或者认为x和y无差异()，即任意两个选择是可以比较的。2.传递性(一致性)：如果 和 ，那么，如果 ，那么 。3.强独立性：设想一个赌博，以概率得到x，以概率1-得到z，记为G(x,z:)，强独立性，即如果 ，那么 。xyyxyx xyyzxzzy xzzx yx):,():,(zyGzxGA.不确定性下决策的五个公理第4页/共52页完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。传递性保证了消费者在不同商品之间选好的首尾一贯性。独立性味着如果将两个抽奖与第三个抽奖放在一起考虑，则前两者的偏好顺序独立于特定的第三个抽奖。独立性公理是不确定性环境下决策理论的核心，它提供了把不确定性嵌入决策模型的基本结构。通过该假设，消费者将复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个独立部分，整个决策行为仅由其不同的部分来决定。第5页/共52页4、可测性：如果 ，那么存在唯一的，使得yG(x,z;)5、可排序：如果 和 ，并且yG(x,z;1)和uG(x,z;2)，那么，如果 ，如果 12，则yu 。这五个公理归结起来就是对人的行为作如下假设：1）个体总是理性的；2）个体能够面对成千上万个选择能够作出理性的决策。另外，还假定个体是贪婪的，即多比少好！,xyz or xyzxyzx uz 12yu 第6页/共52页B B、开发效用函数基数效用与序数效用 基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中所所获得的效用来度量。对满意程度的这种度量叫做基数效用.序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托 等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全 可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是 以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而 效用值的大小本身并没有任何意义.第7页/共52页不确定性下的理性决策原则数学期望最大化原则 数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确定情形下的推广。问题：是否数学期望最大化准则是不最优的不确定性下的行为决策准则？第8页/共52页 典型案例：圣彼德堡悖论（Saint Petersbury Paradox）考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以得到1元，第一次反面，第二次正面得 2 2 元，前两次反面，第三次正面得 4 4 元，如果前 n-1 n-1 次都是反面，第 n n 次出现正面得 元。问：游戏的参加应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？12n第9页/共52页 该游戏的数学期望值：但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意支付的成本（门票）仅为2-3元。圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何人们只愿意支付有限的价格？11111(.)12422482nnE 第10页/共52页期望效用原则 Daniel Bernoulli（1700-1782）是出生于瑞士名门著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡科学院研究投币游戏。其在1738 1738 年发表对机遇性赌博的分析提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一样的。第11页/共52页即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是递减的。伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：11(.)log21.392nnnE第12页/共52页 其中，为一个确定值。另外，Crammer（1728）采用幂函数的形式的效用函数对这一问题进行了分析。假定：则 0()u xx11111()()()2222xxxxE u xp x u x第13页/共52页 因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致不可接受的结果。而贝努利提出的用期望效用取代期望收益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提供最终的解决方案。根据期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一样好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一样糟。2 ()2.914xE u x第14页/共52页后期望效用理论：由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用的新的解释。第15页/共52页1 1、效用函数应该具有的两个性质（1）如果 ，那么 。（2）风险资产排序，即：证明：见P42-43。一般地效用函数对个人来说是特定的，没有办法对比两个人的效用函数；群体的效用函数，比如一个公司，是没有意义的。xy()()U xU y(,:()1()U G x yU xU y()()iiiE U WpU W期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。第16页/共52页例：例：构造效用函数构造效用函数任意分配损失$1000的效用是-10，问题：以多大的概率赢$1000和(1-)输$1000的赌局，与$0.0的确定性结果等价？用数学式子表示为或者假设=0.6和U(0.0)=0，那么):1000,1000(0G)1000()1()1000()0(UUU(1)(1000)(1 0.6)(10)(1000)6.70.6UU第17页/共52页重复以上过程，可以计算效用函数损失赢利概率(赢)效用(赢)效用(输)-100010000.66.7-10.0-100020000.558.2-10.0-100030000.5010.0-10.0-100040000.4512.2-10.0-100050000.4015.0-10.0-100060000.3518.6-10.0-100070000.3023.3-10.0-200020000.758.2-24.6-300030000.8010.0-40.0-400040000.8512.2-69.2-500050000.915.0-135.010效用指数损益(10)1000(1000)第18页/共52页C C、建立风险厌恶定义1.风险态度例：对下面两种情形，你会选择哪一个？I、确定能够拿到10$；II、10%的可能获得100$，90%的可能拿到0$。不同的选择代表不同的风险态度。（1）风险厌恶 ，见图a；（2）风险中性 ，见图b；（3）风险爱好 ,见图c；()()()()()()U E WE U WU E WE U WU E WE U W第19页/共52页wU(w)图aU(w)U(w)ww图b图c2 2、风险溢价风险溢价 （1 1）Markowitz风险溢价 先介绍什么是确定性等价财富。例：例：Smith先生现在手头有10$，现在他面临一个赌博：赌资10$，80%的可能性得5$，20%的可能性得30$。这个赌博给他带来的效用为第20页/共52页97.140.32.061.18.0)30(2.0)5(8.0)(UUWUE而U(7.17)=1.97。7.17$就是该赌博的确定性等价财富W*。风险溢价风险溢价=期望财富期望财富-确定性等价财富确定性等价财富风险溢价（risk premium）是指风险厌恶者为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的 风险补偿（risk compensation)。它与个体的风险厌恶程度有关有关，与赌局成本的定义不一样，赌局成本：。在上例中，赌博的风险溢价是10-7.17=2.83$。赌局成本也是2.83$。*0WW*1()()EWWU E WE U W或第21页/共52页在接下来，我们假定个体都是风险厌恶的风险厌恶的，其效用函数为严格的凹函数（严格的凹函数（边界效用为正，而且边界效用递减）。（2）Pratt-Arrow风险厌恶公平赌局：；风险溢价：()0E z(,),()()(,)WzE U WzUWE zWz使 得第22页/共52页对上面式子进行Taylor展开，可以得到这就是Pratt-ArrowPratt-Arrow局部风险溢价测度局部风险溢价测度。定义绝对风险厌恶绝对风险厌恶 相对风险厌恶相对风险厌恶例：例：二次效用函数与指数效用函数：21()2()zUWUW()()UWARRUW*RRAWARR第23页/共52页2();/22(),022(),0/2U WaWbWWabbd ARAARAabWdWbd RRARRAa WbdW 1()2(),0()2,0U WWd ARAARAWdWd RRARRAdW 第24页/共52页几种常用的效用函数 金融经济学理论有时需要对个体的偏好做出某种假设。其中，常用的一个假设是个体具有线性的风险容忍系数（linear risk tolerance），满足这一假设的VNM效用函数具有LRT形式：在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初始财富的线性函数。1()(),0,1,11Wu W第25页/共52页122()()1()()111()()()1AWu WWu WT WWR W 第26页/共52页 从上式可以看出，个体的风险容忍系数与初始财富呈现性关系。在上式中，当1时，个体的风险容忍系数随财富的增加而减少；当 1时，个体的风险容忍系数随财富的增加而增加。另外，由于该函数的绝对风险厌恶系数为为一条双曲线，所以，这一效用函数也成为双曲线绝对风险厌恶效用函数（hyperbolic absolute risk aversion，HARA)。1()1AWR第27页/共52页 LRT效用函数是一个函数族，在不同的参数下，将呈现出不同的形式：（1）（2）1(),0u WabW b 线性函数：22(),02bu WWWb二次函数第28页/共52页（3）（4）（5）1,0,0()lnu WW 对数函数1,()Wu We 负指数函数0,1()Wu W幂函数第29页/共52页 不同函数的性质（1）二次效用函数 拥有这种效用函数的个体在投资风险资产时只考虑资产的期望收益和方差，依此为基础资本资产定价模型得到了风险资产定价的线性表达式。但二次函数作为效用函数存在局限性：超过一定的财富水平后，个体收入的边际效用为负值。对前述（2）中的二次函数中的财富W求导：()1,()u WbW u Wb 第30页/共52页因此，只有W在0，1/b时，个体的边际效用才会大于零。该函数的A-P绝对风险厌恶系数为：对W求导，()1bA WbW22()0(1)bA WbW第31页/共52页 这表明，二次效用函数个体的绝对风险厌恶系数是其财富的单调递增函数，财富越多，个体的风险厌恶越强。（2）负指数效用函数 如果个体的效用函数为负指数效用函数，则他对风险的厌恶程度与收入无关。因为，其绝对风险厌恶系数为常数：这种个体在风险资产上的投资量不受其收入水平的影响。()A W第32页/共52页（3）幂函数效用函数的性质 幂函数效用函数的相对风险厌恶系数为常数。（4）对数函数效用函数的性质 对数效用函数的个体的相对风险厌恶系数也为常数，且等于1。第33页/共52页D、风险厌恶的比较Pratt-Arrow定义风险溢价假设风险小和公平的。Markowitz的定义仅仅比较例：个体具有对数效用函数，财富水平$20,000。面临风险：50/50机会赢或输$10。80%机会输$1,000，20%机会输$10,000。0()()U E WE U WWWz12(),()U WWU WW 第34页/共52页情形1情形2Pratt-Arrow风险溢价$0.0025$324Markowitz溢价$0.0025002$489期望财富$20,000$17,200确定性等价财富$19,999.997499$16,711风险厌恶测度的比较：对于小的且公平投机的风险，二者非常接近，而对于大的且非对称的风险，Markowitz对风险溢价的侧度要大一些。第35页/共52页普拉特定理 对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三种不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度：（1）绝对风险厌恶度量 对于任意给定的初始财富水平W，如果下式成立，则表明经济主体i比经济主体j更加厌恶风险：()()ijAWAW第36页/共52页 （2）风险溢价度量 对于任意给定的初始财富水平W，为避免相同的风险，如果经济主体i比经济主体j需要更多的风险溢价补偿，则经济主体i比经济主体j更厌恶风险：()()ijWW第37页/共52页（3）效用函数的曲率 从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲率（弯曲程度），如果经济主体i较经济主体更加j厌恶风险,则表明，经济主体i有比经济行为主体j更加凹的效用函数。更确切地讲，经济行为主体i的效用函数 是经济行为主体j的效用函数 的一个凹变换，即存在一个递增的、严格凹的函数G()，使得 对于任意的W都成立：()iu W()ju W()()iju WG u W第38页/共52页（4）普拉特定理 假设 是两个二次可微、严格单调递增的效用函数，则以下三种表述是等价的：对所有的W，有 ；存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数G()，使得 ；任何公平博彩对经济主体i的风险溢价较经济主体j的风险溢价高，即()()ijA WA W()()iju WG u W()()iju Wu W和()()ijWW第39页/共52页E、随机占优1.一阶随机占优 资产（组合）x随机占优另一个资产y，若在每一个状态下个体从资产x获得的收益多于资产y。数学定义为X一阶随机占优y对所有具有连续递增(边际效用非负）的效用函数U的投资者对x的偏好胜过y，即EU(x)EU(y)()();()();xyxyF WG WWF WG WW任意某一第40页/共52页2、二阶随机占优二阶随机占优 x二阶随机占优y，或如果所有具有连续效用函数的风险厌恶投资者（即 ）偏好x胜过y，即EU(x)EU(y)。()()0;()();iWyxxiyiG WF WdWWF WG WW任意某一wf(w)wF(w)fx(w)gy(w)10.50)(,0)(/UU xy第41页/共52页wwf(w)F(w)fx(w)gy(w)Gy(w)Fx(w)x=y例：例：如图两个资产服从正态分布：x二阶随机占优y x=y且yx一般：x二阶随机占优y x=y且yx x=y且yx y不是随机占优x。第42页/共52页F、均值方差准则假定资产收益服从正态分布，因此收益完全由它的均值、方差决定。收益率与财富的关系期望效用函数：作变换 得无差异曲线的斜率00WWWR()(;,)E UU RdR,()()(;0,1)()(;0,1)()00()(;0,1)RZ dRdZ E UUZ f ZdZUZ Zf ZdZdE UdddUZ f ZdZ)(Rz第43页/共52页RE(R)*ABC无差异曲线表示投资者是风险厌恶的。G、均值方差悖论 均值-方差规则是否总是正确的呢？例：例：下表给出公司A与B在不同自然经济状态下的营运收入情况以及它们的资本结构情况D第44页/共52页自然经济状态恐慌坏平均好很好净运营收入12001600200024002800概率0.20.20.20.20.2公司公司A利息开支00000税前收益1200160020002400280050%税率-600-800-1000-1200-1400净收入600800100012001400每股收益(100股)3.004.005.006.007.00公司公司B利息开支-600-600-600-600-600税前收益600100014001800220050%税率-300-500-700-900-1100净收入3005007009001100每股收益(100股)3.005.007.009.0011.00公司公司A资产负债债务0权益20,00020,00020,000公司公司B资产负债债务10,000权益10,00020,00020,000每股收益均值标准差公司A51.41公司B72.82第45页/共52页ABIIaIIbIIIaIIIbI均值方差规则针对I、II、III三个投资者给出了他们的投资选择。但是我们发现B公司无论在什么自然状态下它的收益都大于或等于A公司的收益。这表明无论对于什么样的投资者而言，B公司股票要优于公司的。下面我们用随机占优的方法来比较这两种股票：第46页/共52页每股收益 概率(B)概率(A)F(B)G(A)F-G(F-G)30.20.20.20.200400.20.20.4-0.2-0.250.20.20.40.6-0.2-0.4600.20.40.8-0.4-0.870.20.20.61.0-0.4-1.28000.61.0-0.4-1.690.200.81.0-0.2-1.810000.81.0-0.2-2.0110.201.01.00-2.01.01.0第47页/共52页阿莱悖论阿莱悖论(Allais paradox)(Allais paradox)(关于预期效用的悖论)现有四种彩票，其中获奖收入与获奖概率分布情况分别如下表所示:通过调查发现，很多人都认为A B且D C，即偏好A于而非B，偏好D于而非C。这可能是因为A与B相比，购买彩票A可稳稳当当地得到100元奖金，而购买彩票B虽然以极大的可能性得到100元奖金和以较小的可能性得到500元的更高奖金，但同时还冒有一文不得的风险。既然购买B最可能得到的奖金仍是100元，因此B没有A好，或者A说比B好。对于彩票C和D来讲，购买获D得500元高额奖金的可能性仅比购买C获得100元低额奖金的可能性小1，而且500元与100元之间的差额不算小，因此购买D比购买C要好。彩票ABCD奖金(元)100500100010005000获奖概率100%10%89%1%11%89%10%90%第48页/共52页设预期效用函数为U，那么U(A)=U(100),U(B)=0.1U(500)+0.89 U(100)+0.01 U(0),U(C)=0.11 U(100)+0.89 U(0),U(D)=0.1U(500)+0.9 U(0),而且应该有U(A)U(B)及U(D)U(C)。从U(A)U(B)可以推出0.11 U(100)0.1U(500)+0.01 U(0),在此式两边加上0.89 U(0)可得：0.11 U(100)+0.89 U(0)0.1U(500)+0.9 U(0),即U(C)U(D)，这与实际调查结果相矛盾。第49页/共52页H、经验证据 效用理论是以五个公理为基础建立起来。到目前为止，还没有实验能够证明公理的正确性。但是经验的事实已经动摇了效用理论的基础。因此，还有很多工作需要做。第50页/共52页习 题 P62-P65 3.3，3.4，3.5，3.8，3.12，3.13，第51页/共52页