冯诺依曼-摩根斯坦效用函数与风险升水

Chap4.VNM（冯诺依曼（冯诺依曼-摩根摩根斯坦）效用函数与风险升水斯坦）效用函数与风险升水1 1.不确定性与选择公理不确定性与选择公理2 2.冯冯诺依曼诺依曼摩根斯坦效用函数摩根斯坦效用函数 3 3.风险度量、确定性等值与风险升水风险度量、确定性等值与风险升水本章要点本章要点1.1.不确定性与选择公理不确定性与选择公理一、不确定性一、不确定性经济活动中始终存在着决策的不确定性。经济活动中始终存在着决策的不确定性。不确定性和风险是一个不同的概念，奈特在不确定性和风险是一个不同的概念，奈特在风险、不确定和利润风险、不确定和利润（19161916）第一次区分）第一次区分了经济活动中不确定性与风险，不确定性是客了经济活动中不确定性与风险，不确定性是客观的，指行动的结果总是被置于某种概率之下，观的，指行动的结果总是被置于某种概率之下，而风险主要是指主观上的认识能力。而风险主要是指主观上的认识能力。不确定性可以用数学语言进行描述。主要用数不确定性可以用数学语言进行描述。主要用数学期望函数和方差。学期望函数和方差。l彩票的选择具有一般商品消费选择的特征，具彩票的选择具有一般商品消费选择的特征，具有收益的不确定性。可以用式子有收益的不确定性。可以用式子 表示。表示。如它会产生两种结果。如它会产生两种结果。(pA；，C)1122(;,)(;,)LpA CLpA C二、单赌和复赌二、单赌和复赌l单赌：单赌：设有设有n n种可能的事件结果，种可能的事件结果，则单赌集合可写成：则单赌集合可写成：12(,)nAa aa，1 1221,|0,1nsnniiiGp a p ap app，也可以简写为：也可以简写为：1211(,0,0,(1)(,(1)snnnGp aaap ap ap a，l复赌：复赌：凡是奖品本身又成了赌博本身的赌博。凡是奖品本身又成了赌博本身的赌博。高产高产20%20%正常正常40%40%低产低产40%40%雨量大雨量大20%20%0.040.080.080.20雨量中雨量中50%50%0.100.200.200.50雨量小雨量小30%30%0.060.120.120.30奖品是产量的分布，它们又具有不确定性，而成为奖品是产量的分布，它们又具有不确定性，而成为赌局本身。赌局本身。【完备性与传递性公理完备性与传递性公理】对两种不同的结果，】对两种不同的结果，消费者的偏好为：消费者的偏好为：三、不确定条件下的选择公理三、不确定条件下的选择公理,AB BA AB,AB BCAC【连续性公理】差异很大的两个不确定结果的【连续性公理】差异很大的两个不确定结果的某种加权结果会等同于某个确定的中间结果。某种加权结果会等同于某个确定的中间结果。,(01):AB BCPP则存在概率使得()(1)P AP CB【独立性公理】【独立性公理】假定消费者A与B之间无差异，设C为任一个另外的结果。如果一张彩票L1会以概率P与(1-P)带来结果A与C，另一张彩票L2以概率P与(1-P)带来结果B与C，那么，消费者会认为这两张彩票L1与L2无差异。,:(1)(1)AB CA CBPAP CPBP C则,:(1)(1)AB CA CBPAP CPBP C则l例：例：l设设A=A=获获10001000元元,B=,B=获获1010元元,C=,C=死亡。对大多数死亡。对大多数人，人，10001000元元1010元元 死亡。死亡。l设设1010元为一确定的状态。则必定存在概率元为一确定的状态。则必定存在概率0P10P1，使得：，使得：1000(1)10PP元死亡元【不相等公理】【不相等公理】1111,(,)(1)AB LP A BPAP B2222(,)(1)LP A BP AP B当且仅当：当且仅当：21PP消费者严格偏好于消费者严格偏好于L2。21LL2.2.冯诺依曼冯诺依曼摩根斯坦效用函数摩根斯坦效用函数一、一、VNM效用函数定义效用函数定义1.期望期望结果结果1 1结果结果2 2概率概率收入收入概率概率收入收入佣金制佣金制0.5020000.501000固定薪水制固定薪水制0.9915100.01510推销员的收入推销员的收入0.5 20000.5 10001500工作1的期望收入元元=元0.99 15100.01 5101500工作2的期望收入元元=元2.期望期望效用效用(,)(1)gp A BpAP B单赌则对应的期望效用函数为：则对应的期望效用函数为：()()(1)()u gpu AP u B11122234(,),(,)gp A AgpA A单赌则消费者更偏好于则消费者更偏好于g1，当且仅当，当且仅当111122324()()(1)()()(1)()u gp u AP u Ap u AP u A期望效用函数的作用：当消费者面临不确定性期望效用函数的作用：当消费者面临不确定性时，可用期望效用最大化分析消费者的行为。时，可用期望效用最大化分析消费者的行为。1 122(,)snngp ap ap a单赌1()()nsiiiu gpu a期望效用函数或期望效用函数或VNM效用函数效用函数二、二、期望期望效用函数效用函数12(,)()?niAa aau a构造期望效用函数的关键是121,(,(1)niiiinaaaaaP aP a若可看作不外是最好结果与最差结果的某种组合一样好.()iiu aP 即用消费者心里那个即用消费者心里那个ai使与某个单赌等价的最使与某个单赌等价的最好事件发生的概率来定义好事件发生的概率来定义u(ai)。l例：例：l设设A=(aA=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3)=(10)=(10元元,4,4元元,-2,-2元元)C=)C=死亡。死亡。l当当a a1 1发生的概率发生的概率P P为多少时，消费者认为为多少时，消费者认为a a1 1(i=1,2,3)(i=1,2,3)与与(P,a(P,a1 1,a,a3 3)无差异无差异?如果该消费者回答：如果该消费者回答：10(1(10),0(2)(0.6(10),0.4(2)(0(10),1(2)元元元4元元元-2元元元因此，可定义：因此，可定义：123(10)()1(4)()0.6(2)()0uu auu auu a比较单赌格局：比较单赌格局：12(0.24,0.8 10)(0.07(2),0.03 4,0.9 10)gg 1()0.2(4)0.8(10)0.20.60.8 10.92u guu2()0.07(2)0.03(4)0.9(10)0.0700.03 0.60.9 10.918u guuu12()()u gu g消费者偏好于消费者偏好于1()u g单赌的期望效用：单赌的期望效用：()(1,2)iu gi 单赌的期望收入：单赌的期望收入：1()0.2 40.8 108.8E g元2()0.07(2)0.03 40.9 108.98E g 元12112()(),()().E gE ggu gu g但消费者选择了因为3.3.风险度量、确定性等值和风险升水风险度量、确定性等值和风险升水一、一、风险度量风险度量事件事件A的风险度量：的风险度量：12,inaAa aa1122|()|()|()|nnaE APaE APaE AP结果结果1 离差离差结果结果2 离差离差工作工作1 12000 5001000 500工作工作2 21510 10510 990实际收入与期望收入的离差实际收入与期望收入的离差工作工作1的平均离差：的平均离差：0.5 5000.5 500500元元=元工作工作2的平均离差：的平均离差：0.99 100.01 99019.8元元=元平均离差平均离差=P1结果结果1的离差的离差+P2结果结果2的离差的离差通常风险以方差或标准差（方差的平方根）来度量：通常风险以方差或标准差（方差的平方根）来度量：221()niiiip xE x二、对二、对风险的主观态度风险的主观态度l效用函数的凹性与经济含义效用函数的凹性与经济含义 效用函数的凹性：效用函数的凹性：()0,()0u xu x含义：表示通常情况下人们是含义：表示通常情况下人们是“风险规避风险规避”的。的。1111()(,;,)()()()nnnnu E Wuxxu xu xu W2x1x()E W()u x()u E W()u W风险规避者风险规避者Wu15()u x1310 xu161020()千元EACD11(10)(20)1322uu11102015221111(1020)(10)(20)2222uuu1111()(,;,)()()()nnnnu E Wuxxu xu xu W风险偏好者风险偏好者15()u xux2010EDCAO(千元)()()u E Wu W()()u E Wu W()u x风险中立者风险中立者x201510OAE()D Cul定义定义 ().uVNM 为效用函数 对于单赌1 122(,)nngPa PaP a()()u E gu g()()u E gu g()()u E gu g111()(),(),()nnniiiiiiiiiu gPu aE gPa u E guPa1,().niiiPa显然是一个确定的结果在在g中风险规避中风险规避在在g中风险偏好中风险偏好在在g中风险中立中风险中立 绝对风险规避系数：由决策者的效用函数的曲绝对风险规避系数：由决策者的效用函数的曲率表示的。由于它是对一个财富水平下的风险率表示的。由于它是对一个财富水平下的风险的度量，所以又被称为是局部绝对风险规避度的度量，所以又被称为是局部绝对风险规避度量。这在于说明在财富收益水平绝对量上的增量。这在于说明在财富收益水平绝对量上的增加或损失。加或损失。()()()uwRwuw l风险规避程度风险规避程度 三、确定性等值、风险升水及其应三、确定性等值、风险升水及其应用用12(),()u wR u wS112212()()()u gPu wPu wPRP S121,()2PPu gT若为期望效用水平1211()()22wwE gu E gCT为收入无风险确定性等值确定性等值是完全确定的收入量，此收入水平是完全确定的收入量，此收入水平对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平，即水平，即CE满足：满足：()()u CEu g风险升水：风险升水：是收入是收入P，当一个完全确定收入减去，当一个完全确定收入减去P产生的效用仍等于产生的效用仍等于不确定条件下期望的效用水不确定条件下期望的效用水平，即：平，即：。或单赌。或单赌g含的风险相含的风险相当于使一个确定的收入当于使一个确定的收入E(g)减少了减少了P。()()u E gPu g()PE gCE或者说，风险升水指一个完全确定的收入或者说，风险升水指一个完全确定的收入E(g)转化为两个不确定的收入转化为两个不确定的收入w1和和w2时，消费者由时，消费者由于面临风险付出的代价。于面临风险付出的代价。w()E g1w2wCEO()u w2()u w1()u w()u E g1122()()u wu wT()u wSCTRpl例：例：假定假定 。令单赌中赢。令单赌中赢h和亏和亏h各有各有50%50%的概率，设消费者原来的资产水平为的概率，设消费者原来的资产水平为w。求。求CE与风险水平与风险水平P。()ln()u ww0().:wE g设原来资产若参赌00;whwh赢得输得00(0.5(),0.5()gwhwh0012001222011ln()ln()ln()ln()22ln()()ln()CEgwhwhwhwhwh122200()()CEwhwE g122200()()0PE gCEwwhl例例6 6：一种彩票赢得一种彩票赢得900900元的概率为元的概率为0.20.2；若输，；若输，只获得只获得100100元，概率为元，概率为0.80.8。若消费者的效用函。若消费者的效用函数形式为数形式为 ，问该消费者愿意出多少钱，问该消费者愿意出多少钱购买这张彩票？风险升水是多少？购买这张彩票？风险升水是多少？uw消费者的出价应按消费者的出价应按CE给出，即给出，即()0.2(900)0.8(100),0.2 9000.8 100u CEuuCE即196,CE 他对彩票的最高出价为196元.()()0.2 9000.8 10026026019664PE gCEE gP元例例7：某消费者的效用函数为：某消费者的效用函数为：。w0=9000，h=8000（火灾后损失大部分财产）（火灾后损失大部分财产）,发生火灾的概率发生火灾的概率=0.05。求消费者愿意支付的。求消费者愿意支付的保险价格保险价格R与保险公司在消费者支付与保险公司在消费者支付R时的利时的利润。润。0.5uw1/21/200.51/21/2()0.95 90000.05 10000(90000)0.95 90000.05 10000u wRR5900,0.05 800004000Rh但保险公司付赔额度为保险公司付赔额度为4000元，保险费为元，保险费为5900元，元，保险公司的利润为保险公司的利润为1900元。元。例例8：设风险规避的个人初始财产为：设风险规避的个人初始财产为w0，其效用，其效用函数具有函数具有VNM性质。如购买汽车保险，假定遇性质。如购买汽车保险，假定遇上车祸，财产损失为上车祸，财产损失为L；若遇上车祸；若遇上车祸的概率为的概率为 ，他会购买多少保险？，他会购买多少保险？(0,1)购买保险的数额取决于对每一元保险值收取多购买保险的数额取决于对每一元保险值收取多少价格。保险的公平价格指使保险公司期望利少价格。保险的公平价格指使保险公司期望利润为零的价格润为零的价格。(1)(1)0 保险的公平价格（保险的公平价格（1元价值的保险的收费）等于元价值的保险的收费）等于车祸发生的概率车祸发生的概率。投保人的目标是使期望利润最大化投保人的目标是使期望利润最大化。设。设x为购买为购买的保险额。的保险额。000000()(1)()(1)()(1)()0()()u wxLxu wxu wxLxu wxu wxLxu wx 效用函数严格为凹，效用函数严格为凹，单调，于是边际单调，于是边际效用相等意味着等式两边的财产量相等效用相等意味着等式两边的财产量相等。0,()uuxL在公平保险价格下，投保人为风险全部投保在公平保险价格下，投保人为风险全部投保。在公平保险价格下，财产状况为在公平保险价格下，财产状况为：0wL00wLLLwL没遇上车祸没遇上车祸遇上车祸遇上车祸不买保险下，财产不买保险下，财产为一期望值：为一期望值：0wL000()()(1)()u wLu wLu w谢谢观看/欢迎下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH