计量经济学一元线性回归模型

会计学1计量经济学一元线性回归模型计量经济学一元线性回归模型 基本要求基本要求1)理解样本回归模型、总体回归模型的概念；理解样本回归模型、总体回归模型的概念；2)掌握一元线性回归模型的普通最小二乘参数估计方法，了解一元线性回掌握一元线性回归模型的普通最小二乘参数估计方法，了解一元线性回归模型的基本假设、一元线性回归模型的最大似然参数估计方法、一元归模型的基本假设、一元线性回归模型的最大似然参数估计方法、一元线性回归模型的普通最小二乘参数估计量与样本回归线的性质、一元线线性回归模型的普通最小二乘参数估计量与样本回归线的性质、一元线性回归模型随机误差项方差的估计；性回归模型随机误差项方差的估计；3)学会对一元线性回归模型进行拟合优度检验，对一元线性回归模型的参学会对一元线性回归模型进行拟合优度检验，对一元线性回归模型的参数进行区间估计和假设检验；数进行区间估计和假设检验；4)学会进行一元线性回归模型被解释变量的总体均值和个别值预测；学会进行一元线性回归模型被解释变量的总体均值和个别值预测；第二章第二章 一元线性回归模型一元线性回归模型第1页/共162页模型的预测模型的预测案例分析案例分析第2页/共162页 相关分析与回归分析相关分析与回归分析第一节第一节 回归模型概述回归模型概述 随机误差项随机误差项 总体回归模型总体回归模型 样本回归模型样本回归模型第3页/共162页 1.1.经济变量之间的关系经济变量之间的关系 计量经济研究是对经济变量之间关系的研究，针对某一具体计量经济研究是对经济变量之间关系的研究，针对某一具体经济问题展开研究时，首先需要考察的就是相关经济变量之间有经济问题展开研究时，首先需要考察的就是相关经济变量之间有没有关系、有什么样的关系。没有关系、有什么样的关系。确定的函数关系确定的函数关系 不确定的相关关系不确定的相关关系 经济变量之间的关系经济变量之间的关系 一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第4页/共162页函数关系函数关系 指某一经济变量可直接表示为其他经济变量的确定的函数，指某一经济变量可直接表示为其他经济变量的确定的函数，函数表达式中没有未知参数，不存在参数估计的问题。函数表达式中没有未知参数，不存在参数估计的问题。1)某一商品的销售收入某一商品的销售收入Y与单价与单价P、销售数量、销售数量Q之间的关系之间的关系Y=PQ 2)某一农作物的产量某一农作物的产量Q与单位面积产量与单位面积产量q、种植面积、种植面积S之间的关系之间的关系Q=q S例如例如:一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第5页/共162页相关关系相关关系 指不同经济变量的变化趋势之间存在某种不确定的联系，某一或指不同经济变量的变化趋势之间存在某种不确定的联系，某一或某几个经济变量的取值确定后，对应的另一经济变量的取值虽不能唯某几个经济变量的取值确定后，对应的另一经济变量的取值虽不能唯一确定，但按某种规律有一定的取值范围。一确定，但按某种规律有一定的取值范围。居民消费居民消费C与可支配收入与可支配收入Y之间的关系，可支配收入的取值确之间的关系，可支配收入的取值确定后，消费的取值虽不能唯一确定，但有一定的取值范围，定后，消费的取值虽不能唯一确定，但有一定的取值范围，0 C Y，遵循边际消费倾向递减的规律。居民消费，遵循边际消费倾向递减的规律。居民消费C与可与可支配收入支配收入Y之间的关系可表示为之间的关系可表示为C=+Y，、为待估参为待估参数。数。例如例如:相关关系的表达式一般表示为含有未知参数的函数形式，需要进行参数估计。相关关系的表达式一般表示为含有未知参数的函数形式，需要进行参数估计。一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第6页/共162页相关关系的分类相关关系的分类 a)a)按照涉及的变量的数量按照涉及的变量的数量 单相关单相关(一元相关一元相关)复相关复相关(多元相关多元相关)-指两个经济变量之间存在的相关关系指两个经济变量之间存在的相关关系 -指多个经济变量之间存在的相关关系指多个经济变量之间存在的相关关系,可能是几个可能是几个经济变量的某种综合效果与一个经济变量有趋势方面的联系。经济变量的某种综合效果与一个经济变量有趋势方面的联系。一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第7页/共162页相关关系的分类相关关系的分类 b)b)按照相关的程度按照相关的程度 完全相关完全相关不完全相关不完全相关不相关不相关介于完全相关与不相关之间的情况。介于完全相关与不相关之间的情况。极强的相关关系极强的相关关系,指某一或某几个经济变量的取值确指某一或某几个经济变量的取值确定后，对应的另一经济变量的取值能唯一确定，实际定后，对应的另一经济变量的取值能唯一确定，实际上是确定的函数关系，所以函数关系可看作是相关关上是确定的函数关系，所以函数关系可看作是相关关系的特例。系的特例。极弱的相关关系极弱的相关关系,指某一或某几个经济变量的取值确指某一或某几个经济变量的取值确定后，对应的另一经济变量不仅取值不能唯一确定，定后，对应的另一经济变量不仅取值不能唯一确定，而且取值范围也不能确定。而且取值范围也不能确定。一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第8页/共162页相关关系的分类相关关系的分类 c)c)按照相关的性质按照相关的性质正相正相关关负相负相关关指不同经济变量的变化趋势一致，即一个经济变量的指不同经济变量的变化趋势一致，即一个经济变量的取值由小变大时，另一经济变量的取值也由小变大；取值由小变大时，另一经济变量的取值也由小变大；指不同经济变量的变化趋势相反，即一个经济变量的指不同经济变量的变化趋势相反，即一个经济变量的取值由小变大时，另一经济变量的取值由大变小。取值由小变大时，另一经济变量的取值由大变小。一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第9页/共162页相关关系的分类相关关系的分类 c)c)按照相关的性质按照相关的性质线性相关线性相关非线性相关非线性相关指相关变量之间的关系可由线性函数近似表示，即由指相关变量之间的关系可由线性函数近似表示，即由相关变量的取值绘制的散点图趋向于直线形式；相关变量的取值绘制的散点图趋向于直线形式；指相关变量之间的关系可由某种非线性函数近似表指相关变量之间的关系可由某种非线性函数近似表示，即由相关变量的取值绘制的散点图趋向于某种示，即由相关变量的取值绘制的散点图趋向于某种曲线形式。曲线形式。一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第10页/共162页函数关系与相关关系的区别函数关系与相关关系的区别 确定的函数关系可以直接用于经济活动，无需分析。确定的函数关系可以直接用于经济活动，无需分析。不确定的相关关系，隐含着某种经济规律，是有关研究的重点不确定的相关关系，隐含着某种经济规律，是有关研究的重点 一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第11页/共162页 2.2.相关分析相关分析 研究变量之间的相关关系的形式和程度的一种统计分析方法，主要研究变量之间的相关关系的形式和程度的一种统计分析方法，主要通过绘制变量之间关系的散点图和计算变量之间的相关系数进行。通过绘制变量之间关系的散点图和计算变量之间的相关系数进行。绘制变量之间关系的散点图绘制变量之间关系的散点图例如例如:判断相关关系是线性相关还是非线性相判断相关关系是线性相关还是非线性相关、正相关还是负相关；关、正相关还是负相关；计算变量之间的相关系数计算变量之间的相关系数度量变量之间的线性相关的程度、判断线度量变量之间的线性相关的程度、判断线性相关关系是正相关还是负相关性相关关系是正相关还是负相关 一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第12页/共162页相关系数相关系数 十九世纪末十九世纪末英国著名统计学家卡尔英国著名统计学家卡尔皮尔逊（皮尔逊（Karl Pearson）度量两个变量之间的线性相关程度的简单相关系数（简称相关系数）度量两个变量之间的线性相关程度的简单相关系数（简称相关系数）XYCov XYVar XVar Y（，）（）（）Cov XY（，）Var X（）Var Y（）两个变量两个变量X和和Y的总体相关系数为的总体相关系数为其中，其中，是变量是变量X、Y的协方差，的协方差，、分别是变量分别是变量X、Y的方差。的方差。（2-1）一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第13页/共162页12211()()()niiiXYnniiiiXXYYrXXYY（）（2-2）11122221111()()nnniiiiiiiXYnnnniiiiiiiinX YXYrnXXnYY （2-3）iiXY，1 2i，如果给定变量如果给定变量X、Y 的一组样本的一组样本 ，则总体相关系数的估计则总体相关系数的估计样本相关系数为样本相关系数为n，或或相关系数的取值介于相关系数的取值介于 11之间，之间，取值为负表示两变量之间存在负相关关系；取值为负表示两变量之间存在负相关关系；取值为正表示两变量之间存在正相关关系；取值为正表示两变量之间存在正相关关系；取值为取值为 1表示两变量之间存在完全负相关关系；表示两变量之间存在完全负相关关系；取值为取值为0表示两变量不相关；表示两变量不相关；取值为取值为1表示两变量之间存在完全正相关关系。表示两变量之间存在完全正相关关系。一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第14页/共162页2,半径半径圆面积f施肥量阳光降雨量气温农作物产量,f 正相关 线性相关 不相关 相关系数：统计依赖关系 负相关 11XY 有因果关系 回回归归分分析析 正相关 无因果关系 相相关关分分析析 非线性相关 不相关 负相关例如：例如：函数关系：函数关系：统计依赖关系统计依赖关系/统计相关关系：统计相关关系：第15页/共162页 3.3.回归分析回归分析 研究研究不仅存在相关关系而且存在因果关系不仅存在相关关系而且存在因果关系的变量之间的依存关系的的变量之间的依存关系的一种分析理论与方法，是计量经济学的方法论基础，一种分析理论与方法，是计量经济学的方法论基础，主要内容主要内容 1）设定理论模型，）设定理论模型，描述变量之间的因果关系描述变量之间的因果关系；2）根据样本观察数据利用适当方法对模型参数进行估计，）根据样本观察数据利用适当方法对模型参数进行估计，得到回归方程得到回归方程；3）对回归方程中的）对回归方程中的变量、方程进行显著性检验变量、方程进行显著性检验，推求，推求参数参数 的置信区间、模型的预测置信区间的置信区间、模型的预测置信区间；4）利用回归模型解决实际经济问题。）利用回归模型解决实际经济问题。一、相关分析与回归分析一、相关分析与回归分析第16页/共162页 4.4.相关分析与回归分析之间的关系相关分析与回归分析之间的关系联系：联系：1）都是对）都是对存在相关关系存在相关关系的变量的的变量的统计相关关系统计相关关系的研究；的研究；2）都能测度线性）都能测度线性相关程度的大小相关程度的大小；3）都能判断线性相关关系是）都能判断线性相关关系是正相关还是负相关正相关还是负相关。第17页/共162页 4.4.相关分析与回归分析之间的关系相关分析与回归分析之间的关系区别：区别：1）相关分析相关分析仅仅是从统计数据上测度变量之间的相关程度，仅仅是从统计数据上测度变量之间的相关程度，不考虑两者之间是否存在因果关系，因而不考虑两者之间是否存在因果关系，因而变量的地位在相变量的地位在相 关分析中是对等的；关分析中是对等的；回归分析回归分析是对变量之间的因果关系的分析，是对变量之间的因果关系的分析，变量的地位是变量的地位是 不对等的不对等的，有被解释变量和解释变量之分。，有被解释变量和解释变量之分。2）相关分析相关分析主要关注变量之间的主要关注变量之间的相关程度和性质相关程度和性质，不关注变，不关注变 量之间的具体依赖关系。量之间的具体依赖关系。回归分析回归分析在关注变量之间的相关程度和性质的同时，更关注变量在关注变量之间的相关程度和性质的同时，更关注变量 之间的具体依赖关系，因而可以深入分析变量间的依存关系，有之间的具体依赖关系，因而可以深入分析变量间的依存关系，有 可能达到掌握其内在规律可能达到掌握其内在规律的目的，具有更重要的实践意义。的目的，具有更重要的实践意义。第18页/共162页因变量因变量自变量自变量GNP利率利率个人储蓄个人储蓄利率利率小麦产出小麦产出降雨量降雨量美国国防开支美国国防开支前苏联国防开支前苏联国防开支棒球明星本垒打的次数棒球明星本垒打的次数其年薪其年薪总统声誉总统声誉任职时间任职时间学生计量经济学成绩学生计量经济学成绩其统计学成绩其统计学成绩日本汽车的进口量日本汽车的进口量美国人均国民收入美国人均国民收入第19页/共162页含有随机误差项是含有随机误差项是计量经济学模型计量经济学模型与与数理经济模型数理经济模型的一大区别。的一大区别。例如例如:对于供给不足下的生产活动，可以认为产出是由资本、劳动对于供给不足下的生产活动，可以认为产出是由资本、劳动、技术等投入要素决定的，并且，一般情况下，产出随着投入要、技术等投入要素决定的，并且，一般情况下，产出随着投入要素的增加而增加，但要素的边际产出递减。素的增加而增加，但要素的边际产出递减。Qf TKL（，）tQAe K L 数理经济模型数理经济模型用确定性的函数描述经济变量之间的理论关系，对这用确定性的函数描述经济变量之间的理论关系，对这一经济活动，笼统地描述为一经济活动，笼统地描述为或具体地用某一种生产函数描述为或具体地用某一种生产函数描述为其中，其中，Q表示产出，表示产出，T表示技术，表示技术，K表示资本，表示资本，L表示劳动，表示劳动，A、是未知参数。是未知参数。二、随机误差项二、随机误差项第20页/共162页例如例如:对于供给不足下的生产活动，可以认为产出是由资本、劳动、技对于供给不足下的生产活动，可以认为产出是由资本、劳动、技术等投入要素决定的，并且，一般情况下，产出随着投入要素的术等投入要素决定的，并且，一般情况下，产出随着投入要素的增加而增加，但要素的边际产出递减。增加而增加，但要素的边际产出递减。tQAe K L elnlnlnlnQAtKL 计量经济学模型计量经济学模型用随机方程揭示经济变量之间的因果关系，对于这用随机方程揭示经济变量之间的因果关系，对于这一经济活动，与上述数理经济模型相对应，描述为一经济活动，与上述数理经济模型相对应，描述为或描述为对数线性函数形式或描述为对数线性函数形式其中，其中，是随机误差项。是随机误差项。二、随机误差项二、随机误差项第21页/共162页随机误差项随机误差项称为随机扰动项或随机干扰项（称为随机扰动项或随机干扰项（stochastic disturbance）一般用希腊字母一般用希腊字母或或表示表示存在原因存在原因 第一，人类的第一，人类的经济行为本身经济行为本身带有随机性；带有随机性；第二，通常一个变量第二，通常一个变量总是受众多因素总是受众多因素的影响；的影响；第三，任何函数反映经济变量之间的关系都只是第三，任何函数反映经济变量之间的关系都只是一种简化反映一种简化反映；第四，经济数据来源于调查统计，而第四，经济数据来源于调查统计，而非严格的控制实验非严格的控制实验；二、随机误差项二、随机误差项第22页/共162页结论结论 一个经济变量通常不能被另一个经济变量一个经济变量通常不能被另一个经济变量完全精确完全精确地决定，需要地决定，需要引入随机误差项来反映各种误差的引入随机误差项来反映各种误差的综合影响综合影响，主要包括：，主要包括：1）变量的内在变量的内在随机性的影响；随机性的影响；2）解释变量中）解释变量中被忽略的因素被忽略的因素的影响；的影响；3）模型关系设定模型关系设定误差的影响；误差的影响；4）变量观察值的）变量观察值的观察误差观察误差的影响；的影响；5）其他随机因素其他随机因素的影响。的影响。二、随机误差项二、随机误差项第23页/共162页 有何特性？有何特性？l众多因素对被解释变量Y的影响代表的综合体l对Y的影响方向有正有负l由于是次要因素代表，对Y的总平均影响可能是0l对Y的影响是非趋势性的，而是随机扰动。二、随机误差项二、随机误差项第24页/共162页educkids10第25页/共162页第26页/共162页1 1总体回归曲线与总体回归函数总体回归曲线与总体回归函数 给定解释变量条件下给定解释变量条件下被解释变量的被解释变量的期望轨迹期望轨迹称为称为总体回归曲总体回归曲线线（population regression curve），或），或总体回归线总体回归线（population regression line）。）。描述总体回归曲线的函数称为描述总体回归曲线的函数称为总体回归函数总体回归函数（population regression function）。）。三、总体回归模型三、总体回归模型第27页/共162页/iiE YXf X（）（）/iE Y X（）对于只有对于只有一个解释变量一个解释变量X的情形，总体回归函数为的情形，总体回归函数为（2-4）与之对应，与之对应，是是X的函数。的函数。iX，都有被解释变量，都有被解释变量Y的的条件期条件期望望表示对于解释变量表示对于解释变量X的每一个取值的每一个取值/iE Y X（）1212/iikiiikiE YXXXf XXX（，）（，）对于含有对于含有多个解释变量多个解释变量kX1X2X 、的情形，总体回归函数为的情形，总体回归函数为（2-5）12iikiXXX、12/iikiE YXXX（，）表示对于解释变量表示对于解释变量的每一组取值的每一组取值，都有被解释变量，都有被解释变量Y的的条件期望条件期望与之对应，与之对应，是是的函数。的函数。12/iikiE YXXX（，）kX1X2X 、kX1X2X 、三、总体回归模型三、总体回归模型第28页/共162页例2-1 假设一个由假设一个由100个家庭构成的总体，并假设这个家庭构成的总体，并假设这100个家庭的个家庭的月可支配收入水平只限于月可支配收入水平只限于1300元、元、1800元、元、2300元、元、2800元、元、3300元、元、3800元、元、4300元、元、4800元、元、5300元、元、5800元元10种情况，每个家庭的月可支配收入与消费数据如表种情况，每个家庭的月可支配收入与消费数据如表2-1所示，所示，要研究这一总体的家庭月消费支出要研究这一总体的家庭月消费支出Y与家庭月可支配收入与家庭月可支配收入X之之间的关系，以便根据已知的家庭月可支配收入水平测算该总间的关系，以便根据已知的家庭月可支配收入水平测算该总体的家庭月消费支出平均水平。体的家庭月消费支出平均水平。第29页/共162页可支配收入可支配收入X1300180023002800330038004300480053005800消费支出消费支出Y1033112612071120120812561327143915841128116712311288137114391452153315971676179314551501163517281789183518861943203321782294235124101788183518721903196520612157220622892314239024262458247825431966204821222213231523572369239824522501253425682610265927232197228623152386246725812623267727102985300430823119310224362588267227362801289329023027315532602765285329003021306531463278330534233022315634013669表表2-1 100个家庭的月可支配收入与消费数据个家庭的月可支配收入与消费数据 单位：元单位：元 第30页/共162页 家庭消费支出主要取决于家庭可支配收入，但不是唯一取决于家家庭消费支出主要取决于家庭可支配收入，但不是唯一取决于家庭可支配收入，还会受到其他各种不确定性因素的影响，因而可支配庭可支配收入，还会受到其他各种不确定性因素的影响，因而可支配收入相同的不同家庭的消费支出各不相同。收入相同的不同家庭的消费支出各不相同。由于是对总体的考察，由表由于是对总体的考察，由表2-1可求得家庭可支配收入可求得家庭可支配收入X为某一特定数值为某一特定数值时家庭消费支出时家庭消费支出Y的条件分布（的条件分布（conditional distribution）1371/23001/11P YX（）例如，例如，X=2300条件下，条件下，Y=1371的条件概率等于的条件概率等于1/11，即，即 由此可求得对应于家庭可支配收入由此可求得对应于家庭可支配收入X的各个水平的家庭消费支出的各个水平的家庭消费支出Y的的条件条件 均值均值（conditional mean）或称为）或称为条件期望条件期望（conditional expectation），），如表如表2-2所示。所示。析：第31页/共162页表表2-2 100个家庭的月可支配收入与消费数据个家庭的月可支配收入与消费数据 单位：元单位：元 可支配收入可支配收入X1300180023002800330038004300480053005800E（Y/Xi）1122132414251926217923892681284730843312 由表由表2-1、表、表2-2中的数据绘制不同可支配收入家庭的消费支出散中的数据绘制不同可支配收入家庭的消费支出散点图、家庭消费支出与可支配收入关系的总体回归曲线，如图点图、家庭消费支出与可支配收入关系的总体回归曲线，如图2-1所示。所示。第32页/共162页图2-1 不同可支配收入家庭的消费支出（单位:元）500100015002000250030003500100020003000400050006000家庭月可支配收入家庭月消费支出散点图总体回归曲线图2-1 不同可支配收入家庭的消费支出（单位:元）5001000150020002500300035004000100020003000400050006000家庭月可支配收入家庭月消费支出散点图总体回归曲线 从散点图可以清晰地看出，不同家庭的消费支出虽然存在差异，但总体从散点图可以清晰地看出，不同家庭的消费支出虽然存在差异，但总体趋势随可支配收入的增加而增加，总体回归曲线反映了这一趋势。趋势随可支配收入的增加而增加，总体回归曲线反映了这一趋势。第33页/共162页含义：含义：函数形式：函数形式：可以是线性或非线性的。可以是线性或非线性的。将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:iiXXYE10)|(为一为一线性函数。线性函数。其中，其中，0 0，1 1是未知参数，称为是未知参数，称为回归回归系数系数（regression coefficients）。）。三、总体回归模型三、总体回归模型第34页/共162页 事实上，经济活动中的总体包含的个体的数量往往非常多，一般不事实上，经济活动中的总体包含的个体的数量往往非常多，一般不大可能像例大可能像例2-1假设的那样假设的那样得到总体中所有个体的观察数据得到总体中所有个体的观察数据，因此也就，因此也就不不大可能依据总体的所有观察数据大可能依据总体的所有观察数据计算得到被解释变量计算得到被解释变量Y的条件期望的条件期望，无，无法画出精确的总体回归曲线，相应地，总体回归函数的具体形式也无法法画出精确的总体回归曲线，相应地，总体回归函数的具体形式也无法精确确定。精确确定。所以，所以，对于总体回归函数对于总体回归函数，通常只能根据经济理论或实践经验进行，通常只能根据经济理论或实践经验进行设定，也就是说，设定，也就是说，通常需要对总体回归函数作出合理的假设通常需要对总体回归函数作出合理的假设。三、总体回归模型三、总体回归模型第35页/共162页2 2总体回归模型总体回归模型/iE Y X（）i 可由其期望值可由其期望值 和随机误差项和随机误差项 表示为表示为iY 对于只有对于只有一个解释变量一个解释变量X的情形，第的情形，第i个个体的被解释变量的观察值个个体的被解释变量的观察值/iiiiiYE YXf X（）+（）+（2-6）1212/iiikiiiikiiYE YXXXf XXX（，）+（，）+（2-7）iY12/iikiE YXXX（，）i 可由其期望值可由其期望值 和随机误差项和随机误差项 表示为表示为 对于含有对于含有多个解释变量多个解释变量 的情形，第的情形，第i个个体的被解释变量的观察值个个体的被解释变量的观察值1X2XkX 、（2-6）或式（）或式（2-7）是总体回归函数的个别值表示方式，因为引入了随机）是总体回归函数的个别值表示方式，因为引入了随机误差项，称为误差项，称为总体回归函数的随机设定形式总体回归函数的随机设定形式，也，也是因为引入了随机误差项是因为引入了随机误差项，成为计量经济学模型，称为成为计量经济学模型，称为总体回归模型总体回归模型（population regression model）。）。三、总体回归模型三、总体回归模型第36页/共162页/iE Y X（）12/iikiE YXXX（，）iX12iikiXXX、i 或或 ，是，是 或或 对应的对应的的平均状态的平均状态，反映解释变量对被解释变量的影响反映解释变量对被解释变量的影响，称为，称为系统性（系统性（systematic）部分或确定性（部分或确定性（deterministic）部分；部分；另一部分另一部分是随机误差项是随机误差项 ，是观察值，是观察值 围绕它的期望值围绕它的期望值 或或反映解释变量之外的诸多随机因素对被解释变量的影响，称为反映解释变量之外的诸多随机因素对被解释变量的影响，称为非系统性非系统性（nonsystematic）部分或随机（）部分或随机（stochastic）部分。部分。iY 总体回归模型中，观察值总体回归模型中，观察值 是两部分之和，是两部分之和，一部分一部分是是 的期望值的期望值iYiYiY/iE Y X（）12/iikiE YXXX（，）的离差（的离差（deviation），），三、总体回归模型三、总体回归模型第37页/共162页 （1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|XE(Y|Xi i)，称，称为系统性（为系统性（systematic）或确定性或确定性（deterministic)部分部分。（2）其他随机或非确定性（）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分部分 i。即，给定收入水平即，给定收入水平Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和个别家庭的支出可表示为两部分之和:(*)由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为也称为总体回归模型总体回归模型。三、总体回归模型三、总体回归模型第38页/共162页3 3线性总体回归模型线性总体回归模型确定性部分为线性函数确定性部分为线性函数的总体回归模型称为的总体回归模型称为线性总体回归模型线性总体回归模型。线性总体回归模型是计量经济学中线性总体回归模型是计量经济学中最常见最常见的总体回归模型。的总体回归模型。只含有只含有一个解释变量一个解释变量的线性总体回归模型称为的线性总体回归模型称为一元线性总体回归模型，一元线性总体回归模型，简称一元线性回归模型或简单线性回归模型（简称一元线性回归模型或简单线性回归模型（simple linear regression model），其一般形式是），其一般形式是01iiiYX12in，（2-8）in其中，其中，Y为被解释变量，为被解释变量，X为解释变量，为解释变量，01、为待估参数，为待估参数，为随机误差项，为随机误差项，为观测值下标，为观测值下标，为样本容量。为样本容量。称为称为回归系数回归系数（regression coefficients），），三、总体回归模型三、总体回归模型第39页/共162页3 3线性总体回归模型线性总体回归模型 含有含有多个解释变量多个解释变量的线性总体回归模型称为的线性总体回归模型称为多元线性总体回归模型多元线性总体回归模型，简称，简称多元线性回归模型（多元线性回归模型（multiple linear regression model），其一般形式是），其一般形式是01122iiikkiiYXXX12in，（2-9）其中，其中，Y为被解释变量，为被解释变量，为解释变量，为解释变量，为待估参数，即为待估参数，即回归系数回归系数，1X2XkX、012k、in为随机误差项，为随机误差项，为观测值下标，为观测值下标，为样本容量。为样本容量。三、总体回归模型三、总体回归模型第40页/共162页 注意注意：这里所说的线性函数和通常意义下的线性函数不同，这里的线性函数指这里所说的线性函数和通常意义下的线性函数不同，这里的线性函数指参数是线性的参数是线性的，即待估参数都只以一次方出现，解释变量可以是线性的，也，即待估参数都只以一次方出现，解释变量可以是线性的，也可以不是线性的。可以不是线性的。例如例如：01lniiiYX12in，都是线性回归模型。都是线性回归模型。201122iiikkiiYXXX12in，30112122/8iiiikkiiiYXXXXX（）（）12in，三、总体回归模型三、总体回归模型第41页/共162页 注意：例如：都不是线性回归模型。都不是线性回归模型。201iiiYX12in，01122lniiikkiiYXXX12in，20101221iiikkiiYXXX（）12in，三、总体回归模型三、总体回归模型第42页/共162页 对于参数线性、解释变量非线性的回归模型，只要稍作变换，就可对于参数线性、解释变量非线性的回归模型，只要稍作变换，就可化为线性回归模型的一般形式。化为线性回归模型的一般形式。例如：模型模型201122iiikkiiYXXX12in，211iiXX22iiXXkikiXX令令，可将模型化为，可将模型化为 01122iiikkiiYXXX12in，三、总体回归模型三、总体回归模型第43页/共162页4 4线性回归模型的普遍性线性回归模型的普遍性例如，著名的例如，著名的Cobb-Dauglas生产函数表现为幂函数形式，生产函数表现为幂函数形式，著名的菲利普斯曲线（著名的菲利普斯曲线（Phillips curves）表现为双曲线形式。）表现为双曲线形式。一般情况下，对于只含有乘、除、指数、幂运算的非线性关系，可通过一般情况下，对于只含有乘、除、指数、幂运算的非线性关系，可通过对对数变化数变化化为线性关系化为线性关系，以，以Cobb-Dauglas生产函数生产函数iiiiQAK L e为例，方程两边取对数，可化为线性形式为例，方程两边取对数，可化为线性形式lnlnlnlniiiiQAKL三、总体回归模型三、总体回归模型第44页/共162页对于其他复杂的函数形式，可通过对于其他复杂的函数形式，可通过级数展开级数展开化为线性形化为线性形式式 iiiiXYX，然后在点，然后在点 可先根据所掌握的信息确定参数可先根据所掌握的信息确定参数、的一组初始值的一组初始值 000、（）000，处处对模型作泰勒级数展开对模型作泰勒级数展开，并取一阶近似值，得，并取一阶近似值，得 例如，对于模型例如，对于模型 000000000iiiiiiXXYXXX（）（）0020iiXX0（）（）（）i 余项余项整理得整理得00000220000iiiiiiiiXXXYXXXX00（）（）（）（）+余项余项i三、总体回归模型三、总体回归模型第45页/共162页00000220000iiiiiiiiXXXYXXXX00（）（）（）（）+余项余项i令令，0020iiiiXYYX0（）（）010iiiXXX020iiXX 0320iiiXXX 0（）（）ii余项余项原模型可化为原模型可化为123iiiiiYXXX三、总体回归模型三、总体回归模型第46页/共162页 问题问题1：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？回答：能回答：能四、样本回归模型四、样本回归模型问题问题2：如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？第47页/共162页1 1样本回归函数与样本回归曲线样本回归函数与样本回归曲线根据样本数据根据样本数据对总体回归函数作出的估计称为对总体回归函数作出的估计称为样本回归函数样本回归函数。由样本回归函数绘制的曲线称为由样本回归函数绘制的曲线称为样本回归曲线样本回归曲线（样本回归线）。（样本回归线）。四、样本回归模型四、样本回归模型第48页/共162页例2-2 假设没有取得总体中所有家庭的可支配收入与消费支出数据，而假设没有取得总体中所有家庭的可支配收入与消费支出数据，而是按可支配收入水平的不同水平调查是按可支配收入水平的不同水平调查取得了一组有代表性的样本取得了一组有代表性的样本，如，如表表2-3所示。所示。表表2-3 家庭月可支配收入与消费支出的一个样本家庭月可支配收入与消费支出的一个样本 单位：元单位：元 可支配收入可支配收入X1300180023002800330038004300480053005800消费支出消费支出Y1126132714391886220623982677289330653401 以例以例2-1为例（为例（假设一个由假设一个由100个家庭构成的总体，并假设这个家庭构成的总体，并假设这100个个家庭的月可支配收入水平只限于家庭的月可支配收入水平只限于1300元、元、1800元、元、2300元、元、2800元元、3300元、元、800元、元、4300元、元、4800元、元、5300元、元、5800元元10种情况，每种情况，每个家庭的月可支配收入与消费数据如表个家庭的月可支配收入与消费数据如表2-1所示，要研究这一总体的所示，要研究这一总体的家庭月消费支出家庭月消费支出Y与家庭月可支配收入与家庭月可支配收入X之间的关系，以便根据已知之间的关系，以便根据已知的家庭月可支配收入水平测算该总体的家庭月消费支出平均水平。的家庭月可支配收入水平测算该总体的家庭月消费支出平均水平。）第49页/共162页 若将家庭月可支配收入若将家庭月可支配收入X与消费支出与消费支出Y的的总体回归函数总体回归函数设定为一元设定为一元线性回归函数的形式线性回归函数的形式01/iiE YXX（），从而得到样本回归函数，从而得到样本回归函数0101可采用适当方法根据可采用适当方法根据表表2-32-3中的数据得到参数中的数据得到参数、的估计的估计、01iiYX四、样本回归模型四、样本回归模型第50页/共162页 根据样本数据和样本回归方程可绘制不同可支配收入家庭的消费支出散点图、家庭消费支出与可支配收入关系的样本回归线，如图根据样本数据和样本回归方程可绘制不同可支配收入家庭的消费支出散点图、家庭消费支出与可支配收入关系的样本回归线，如图2-2所示。所示。从图中可以清晰地看出，样本回归线是通过从图中可以清晰地看出，样本回归线是通过对样本数据的较好的拟合对样本数据的较好的拟合对总对总体回归线作出的一种估计。体回归线作出的一种估计。图 2-2 不 同 可 支 配 收 入 家 庭 的 消 费 支 出（单 位:元）5 0 01 0 0 01 5 0 02 0 0 02 5 0 03 0 0 03 5 0 01 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0 0 05 0 0 06 0 0 0家 庭 月 可 支 配 收 入家庭月消费支出散 点 图样 本 回 归 线第51页/共162页则则 注意：注意：第52页/共162页注意：注意：这里这里PRF可能可能永远无法知道。永远无法知道。即，根据即，根据 iiiiieXeYY10估计估计iiiiiXXYEY10)|(第53页/共162页2 2样本回归模型样本回归模型 引入样本回归函数中的引入样本回归函数中的代表各种随机因素影响的随机变量，代表各种随机因素影响的随机变量，称为称为样本残差项样本残差项、回归残差项回归残差项或或样本剩余项样本剩余项、回归剩余项回归剩余项，简称，简称残差项或剩余项残差项或剩余项（residual），通常用），通常用ie表示表示。在样本回归函数中引入残差项后，得到的是随机方程，成为在样本回归函数中引入残差项后，得到的是随机方程，成为了计量经济学模型，称为了计量经济学模型，称为样本回归模型样本回归模型。对于例对于例2-2中的样本回归函数中的样本回归函数 01iiYX引入引入残差项残差项ie可得样本回归模型可得样本回归模型01iiiYXe例如：四、样本回归模型四、样本回归模型第54页/共162页3 3线性样本回归模型线性样本回归模型iY确定性部分确定性部分ie+随机部分随机部分 =样本回归模型样本回归模型确定性部分是线性函数的样本回归模型称为确定性部分是线性函数的样本回归模型称为线性样本回归模型线性样本回归模型。只含有一个解释变量的线性样本回归模型称为只含有一个解释变量的线性样本回归模型称为一元线性样本回归模型一元线性样本回归模型，其一般形式是其一般形式是01iiiYXe1 2in，（2-10）其中，其中，Y为被解释变量，为被解释变量，X为解释变量，为解释变量，01、01、的估计，的估计，是参数是参数in为观测值下标，为观测值下标，为样本容量。为样本容量。e为残差项，为残差项，四、样本回归模型四、样本回归模型第55页/共162页3 3线性样本回归模型线性样本回归模型 含有多个解释变量的线性样本回归模型称为含有多个解释变量的线性样本回归模型称为多元线性样本回归模型，多元线性样本回归模型，其一般形式是其一般形式是01122iiikkiiYXXXe12in，（2-11）in为观测值下标，为观测值下标，为样本容量。为样本容量。e为残差项，为残差项，其中，其中，Y为被解释变量，为被解释变量，为解释变量，为解释变量，1X2XkX、012k、的估计，的估计，是参数是参数012k、四、样本回归模型四、样本回归模型第56页/共162页第57页/共162页ntxytt,2,1yxtnttt12,yxtnttt,12,yxtnttt12 yxtntt,12,yxtntt12 yxtnttt,12,yxtnttt12 第58页/共162页 一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设第二节第二节 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计 参数的普通最小二乘估计参数的普通最小二乘估计 参数的最大似然估计参数的最大似然估计 普通最小二乘参数估计量的性质普通最小二乘参数估计量的性质 普通最小二乘样本回归函数的性质普通最小二乘样本回归函数的性质 随机误差项方差的估计随机误差项方差的估计第59页/共162页 一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设 参数的普通最小二乘估计参数的普通最小二乘估计 参数的最大似然估计参数的最大似然估计 普通最小二乘参数估计量的性质普通最小二乘参数估计量的性质 普通最小二乘样本回归函数的性质普通最小二乘样本回归函数的性质 随机误差项方差的估计随机误差项方差的估计讲课内容讲课内容第60页/共162页一、一元线性回归模型的基本假设一、一元线性回归模型的基本假设 一元线性回归模型的基本假设包括一元线性回归模型的基本假设包括对解释变量的假设对解释变量的假设、对对随机误差项的假设随机误差项的假设、对模型设定的假设对模型设定的假设几个方面，主要如下：几个方面，主要如下：1 1）解释变量是确定性变量，不是随机变量。解释变量是确定性变量，不是随机变量。2 2）随机误差项具有随机误差项具有0 0均值、均值、同方差，且在不同样本点之同方差，且在不同样本点之间是独立的，不存在序列相间是独立的，不存在序列相关，即关，即012iEin（），212iVarin（），012ijCovijijn（，），3 3）随机误差项与解释变量不相关。即随机误差项与解释变量不相关。即012iiCov Xin（，），4 4）随机误差项服从正态分布，即随机误差项服从正态分布，即2(0,)1,2,iNin5 5）回归模型是正确设定的。回归模型是正确设定的。第61页/共162页假设：线性回归模型就参数而言是线性的 对变量为线性：对参数为线性：E(Y|Xi)=+xiE(Y|Xi)=+x2iE(Y|Xi)=+x2iE(Y|Xi)=xi变量非线性函数有多种形式，其中一些可以通过适当的方式变量非线性函数有多种形式，其中一些可以通过适当的方式变换为参数线性函数变换为参数线性函数一、一元线性回归模型的基本假设一、一元线性回归模型的基本假设第62页/共162页 这这5条假设中的前条假设中的前4条是线性回归模型的条是线性回归模型的古典假设古典假设，也称为，也称为高斯假设高斯假设，满，满足古典假设的线性回归模型称为足古典假设的线性回归模型称为古典线性回归模型古典线性回归模型（classical linear regression model）。）。在这在这5条假设中，若前两条假设满足，第条假设中，若前两条假设满足，第3条自然满足，因为前两条假设成立时有条自然满足，因为前两条假设成立时有 0iiiiiiiiiiCov XEXE XEXE XEE（，）（）（）（）（）且由第且由第2条假设有条假设有 22()12iEin，()0 12ijEijijn ，因为因为22()()iiiiVarEEE（）(,)()ijiijjijCovEEEE （）（）第63页/共162页educkids10第64页/共162页第65页/共162页 一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设 参数的普通最小二乘估计参数的普通最小二乘估计 参数的最大似然估计参数的最大似然估计 普通最小二乘参数估计量的性质普通最小二乘参数估计量的性质 普通最小二乘样本回归函数的性质普通最小二乘样本回归函数的性质 随机误差项方差的估计随机误差项方差的估计讲课内容讲课内容第66页/共162页二、参数的普通最小二乘估计二、参数的普通最小二乘估计 普通最小二乘法（普通最小二乘法（ordinary least squares，OLS）的）的基本思想基本思想使样本回归函数尽可能好地拟合样本数据，使样本回归函数尽可能好地拟合样本数据，表现在图上就是要使样表现在图上就是要使样本散点偏离样本回归线的距离最小本散点偏离样本回归线的距离最小最小二乘法以最小二乘法以21minniie（2-12）表示被解释变量的估计值与实际观察值的偏差总体上最小，表示被解释变量的估计值与实际观察值的偏差总体上最小，称为称为最小二乘准则最小二乘准则。第67页/共162页对于一元线性回归模型对于一元线性回归模型01iiiYX12in，01()iiiiieYYYX 最小二乘参数估计就是要求使最小二乘参数估计就是要求使2011()niiiYX（2-13）01、01、达到最小的参数达到最小的参数的估计的估计。第68页/共162页根据微积分中求极限的原理，要使式根据微积分中求极限的原理，要使式（2-13）达到最小，）达到最小，式式（2-13）对对01、的一阶偏导数应等于的一阶偏导数应等于0 0，即，即（2-14）0110112()02()0niiiniiiiYXX YX整理得整理得011120111100nniiiinnniiiiiiinXYXXX Y（2-15）解得解得211110221111112211()()nnnniiiiiiiiinniiiinnniiiiiiinniiiiXYXX YnXXnX YXYnXX（2-16）这就是参数这就是参数01、的的普通最小二乘估普通最小二乘估计量计量（ordinary least squares estimators）方程组（方程组（2-14）或（）或（2-15）称为）称为正规方程组正规方程组。第69页/共162页iixXXiiyYY记记、，由于由于222211111()()nnnniiiiiiiixXXXXn111111()()nnnnniiiiiiiiiiiiix yXX YYX YXYn式（式（2-16）可改写为）可改写为011121niiiniiYXx yx（2-17）称为参数称为参数01、的的普通最小二乘估普通最小二乘估计量的离差形式计量的离差形式（deviation form）第70页/共162页若一元线性回归模型中没有常数项，即模型为若一元线性回归模型中没有常数项，即模型为1iiiYX12in，可得普通最小二乘参数估计量为可得普通最小二乘参数估计量为1121niiiniiX YX（2-18）iY 这里需要明确两个概念这里需要明确两个概念估计量估计量（estimator）、）、估计值估计值（estimate）。）。估计量指以公式表示的参数的估计，是随机变量，其随机性源于被解释变量估计量指以公式表示的参数的估计，是随机变量，其随机性源于被解释变量。因为。因为等于其条件均值与随机误差项之和，是一个随机变量等于其条件均值与随机误差项之和，是一个随机变量。估计值指。估计值指iY把样本数据代入参数估计公式得到的参数估计的具体数值，是确定的数字。把样本数据代入参数估计公式得到的参数估计的具体数值，是确定的数字。第71页/共162页 例：例：在上述家庭可支配收入在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表2.2.12.2.1进行。进行。表表 2.2.1 参参数数估估计计的的计计算算表表 iX iY ix iy iiyx 2ix 2iy 2iX 2iY 1 800 594-1350-973 1314090 1822500 947508 640000 352836 2 1100 638-1050-929 975870 1102500 863784 1210000 407044 3 1400 1122-750-445 334050 562500 198381 1960000 1258884 4 1700 1155-450-412 185580 202500 170074 2890000 1334025 5 2000 1408-150-159 23910 22500 25408 4000000 1982464 6 2300 1595 150 28 4140 22500 762 5290000 2544025 7 2600 1969 450 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 8 2900 2078 750 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 9 3200 2585 1050 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 10 3500 2530 1350 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 求和 21500 15674 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448 平均 2150 1567 第72页/共162页777.07425000576930021iiixyx因此，由该样本估计的回归方程为：因此，由该样本估计的回归方程为：iiXY777.0172.103172.1032150777.0156710XY第73页/共162页例2-3 以例2-2为例（假设一个由假设一个由100个家庭构成的总体，并假设这个家庭构成的总体，并假设这100个家个家庭的月可支配收入水平只限于庭的月可支配收入水平只限于1300元、元、1800元、元、2300元、元、2800元、元、3300元、元、800元、元、4300元、元、4800元、元、5300元、元、5800元元10种情况，每个种情况，每个家庭的月可支配收入与消费数据如表家庭