数学模型-第02章(第五版)课件

研究对象的机理比较简单,用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的,可以利用初等数学方法来构造和求解模型,尽量采用简单的数学工具来建模,如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.,第二章 初等模型,1,PPT学习交流,第二章 初等模型,2.1 双层玻璃窗的功效 2.2 划艇比赛的成绩 2.3 实物交换 2.4 汽车刹车距离与道路通行能力 2.5 估计出租车的总数 2.6 评选举重总冠军 2.7 解读CPI 2.8 核军备竞赛 2.9 扬帆远航 2.10 节水洗衣机,2,PPT学习交流,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失.,假设,热量传播只有传导，没有对流.,T1,T2不变，热传导过程处于稳态.,材料均匀，热传导系数为常数.,建模,热传导定律,Q 单位时间单位面积传导的热量,T温差, d材料厚度, k热传导系数,2.1 双层玻璃窗的功效,单层,3,PPT学习交流,Ta,Tb,记双层玻璃窗传导的热量Q1,Ta内层玻璃的外侧温度,Tb外层玻璃的内侧温度,建模,4,PPT学习交流,记单层玻璃窗传导的热量Q2,双层与单层窗传导的热量之比,k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.510-4, k1/k2=16 32,对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，,取k1/k2 =16,建模,5,PPT学习交流,模型应用,取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失.,结果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.,房间通过天花板、墙壁、损失的热量更多.,实际上双层窗的功效不会如此之大!,6,PPT学习交流,2.2 划艇比赛的成绩,对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系. 试建立数学模型揭示这种关系.,问题,准备,调查赛艇的尺寸和质量,7,PPT学习交流,问题分析,前进阻力 浸没部分与水的摩擦力,前进动力 桨手的划桨功率,分析赛艇速度与桨手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:,对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.,运用合适的物理定律建立模型.,8,PPT学习交流,模型假设,1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比,2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比,符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 桨手数 n, 桨手功率 p, 桨手体重 w, 艇重 W.,艇的静态特性,艇的动态特性,3）w相同，p不变，p与w成正比,桨手的特征,模型建立,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n,np fv,9,PPT学习交流,模型检验,利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验.,与模型吻合！,10,PPT学习交流,划艇比赛的成绩,对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.,利用物理基本知识分析问题.,模型假设比较粗糙.,利用合适的物理定律及简单的比例方法建模(只考虑各种艇的相对速度).,模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！),11,PPT学习交流,问题,甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分. 研究实物交换方案.,用x,y分别表示甲,乙占有X,Y的数量. 设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图：,若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y),都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y).,2.3 实物交换,12,PPT学习交流,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度,即p1, p2对甲是无差别的.,将所有与p1, p2无差别的点连接起来, 得到一条无差别曲线MN.,线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度.,比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上, 于是形成一族无差别曲线（无数条）.,13,PPT学习交流,无差别曲线族的性质：,单调减(x增加, y减小),下凸(凸向原点),互不相交,在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;,在p2点占有y少、x多，就要以较多的 x换取较少的 y.,甲的无差别曲线族记作,f(x,y)=c1,c1满意度,（f 等满意度曲线）,甲的无差别曲线,14,PPT学习交流,乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）.,双方的交换路径,乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系xOy, 且反向）,甲的无差别曲线族 f=c1,双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上!,因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p.,两族曲线切点连线记作AB,分析与建模,15,PPT学习交流,交换方案的进一步确定,交换方案 交换后甲的占有量 (x,y),0 xx0, 0yy0矩形内任一点,交换路径AB,X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为,(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD.,AB与CD的交点p,设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0),16,PPT学习交流,2.4 汽车刹车距离与道路通行能力,提高道路通行能力是现代城市交通面临的重要课题.,背景和问题,车辆速度越高、密度越大，道路通行能力越大.,介绍交通流的主要参数及基本规律； 讨论汽车刹车距离与道路通行能力两个模型.,车速高，刹车距离变大，车辆密度将受到制约.,需要对影响通行能力的因素进行综合分析.,17,PPT学习交流,交通流的主要参数及基本规律,流量q某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆/h ),密度k某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆/km ),速度v 某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h),交通流 标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响.,借用物理学概念, 将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体, 用流量、速度、密度3个参数描述其基本特性.,3个参数之间的基本关系,18,PPT学习交流,速度v 与密度k 的关系,vf 畅行车速(k=0时),kj阻塞密度(v=0时),数据分析、机理分析,流量q与密度k 的关系,车速v=vf /2时流量q最大,密度k变大，流量q增加；k=kj/2时q最大；k继续变大， q减小.,交通流的主要参数及基本规律,抛物线,流量q与速度v的关系,19,PPT学习交流,km=kj/2 最大流量时的密度,vm=vf/2 最大流量时的速度,交通流的主要参数及基本规律,20,PPT学习交流,车速越快刹车距离越长.,刹车距离从司机决定刹车到车完全停止行驶的距离.,汽车刹车距离模型,二者是线性关系吗？,d 与v不是线性关系！,需对刹车过程作机理分析，建立d 与v的数学模型.,测试数据,21,PPT学习交流,问题分析,最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动,刹车距离 反应距离、制动距离,反应距离司机决定刹车到制动器开始起作用.,制动距离,反应距离,制动距离制动器开始起作用到汽车完全停止.,22,PPT学习交流,模型假设,1. 刹车距离 d 为反应距离 d1 与制动距离 d2之和.,2. 反应距离 d1与车速 v 成正比, 比例系数为反应时间.,3. 刹车时使用最大制动力F ：,F作的功等于汽车动能的改变.,F与车的质量 m 成正比.,23,PPT学习交流,F = ma,d1= c1 v,模型建立,d = d1 +d2,制动距离为d2时，制动力F作的功为Fd2,车速从v变成0，动能的变化为mv2/2,d = c1v + c2 v2,参数估计,调查交通工程学的相关资料：,根据测试数据对模型作拟合.,司机反应时间c1约为0.71s，系数c2约为0.01( mh2/km2),24,PPT学习交流,城市通行能力模型,道路通行能力单位时间内通过某断面的最大车辆数.,通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的负荷.,饱和度流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度.,通行能力在安全条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的最大车辆数N (辆/h).,v车速 (km/h)， D最小车头间隔(m),N=1000 v/D,25,PPT学习交流,城市干道的通行能力,最小车头间隔D主要由刹车距离d决定：,d0车身标准长度与两车间安全距离之和，取固定值.,车速v一定时，道路通行能力N与c1，c2，d0（道路、车辆、司机等状况）有关.,城市通行能力模型,D=d+d0,d = c1v + c2 v2,N=1000 v/D,26,PPT学习交流,当d0，c1， c2变大时最大通行能力Nm减小.,城市通行能力模型,最大通行能力,27,PPT学习交流,一些人喜欢记驶过身旁的汽车号码.,两难境地的决策,与朋友打赌的“骰子”,共识：出现任何号码汽车的机会相同.,随意记下驶过的10辆出租车牌号：0421, 0128, 0702, 0410, 0598, 0674, 0712, 0529, 0867, 0312,估计这座城市出租车的总数.,出租车牌号从某一个数字0101按顺序发放.,2.5 估计出租车的总数,28,PPT学习交流,估计出租车的总数,问题分析,10个号码从小到大重新排列.,x0, x 区间内全部整数值 总体,x1, x2, , x10 总体的一个样本,根据样本和x0对总体的x作出估计.,29,PPT学习交流,起始号码x0平移为0001,模型建立,总体 全部号码0001, 0002, , x,样本 总体中的n个号码从小到大排列 x1, x2, , xn,建立由x1, x2, , xn估计x的模型,基本假定：每个xi 取自总体中任一号码的概率相等.,x出租车总数,估计出租车的总数,30,PPT学习交流,模型1 平均值模型,模型建立,总数是样本均值的2倍,31,PPT学习交流,模型2 中位数模型,假定：样本的最小值与最大值在总体中对称.,模型3 两端间隔对称模型,x1-1=x-xn,32,PPT学习交流,模型4 平均间隔模型,把起始号码和样本排成数列：1, x1, x2, , xn,相邻两数有n个间隔：x11, x2x11, , xn xn-11,n个间隔的平均值,33,PPT学习交流,模型5 区间均分模型,将总体区间1, x平均分成 n 份.,假定：样本中每个xi 都位于小区间的中点.,xxn应是小区间长度的一半,34,PPT学习交流,计算与分析,第1样本： 0321, 0028, 0602, 0310, 0498, 0574, 0612, 0429, 0767, 0212,第2样本：0249, 0739, 0344, 0148, 0524, 0284, 0351, 0089, 0206, 0327,设定x0 =0001,用5个模型估计出租车总数x,不合理 (x = 651, 610 739),0739,不稳定（相差大）,35,PPT学习交流,计算与分析,用全部样本，有统计依据,36,PPT学习交流,数值模拟,样本估计结果与总体对比, 评价各个模型.,用5个模型分别对每个样本估计总体x.,画m个样本估计的x的直方图，分析x的分布.,给定总体1, 2, , x，x=1000,从总体中取n=10个数为一个样本，共m=200个样本,对每个模型计算m个样本估计的x的平均值、标准差及平均值与真值x=1000间的误差,37,PPT学习交流,数值模拟,第1次 模拟,第2次 模拟,总体x=1000,每个样本 n=10, m=200个样本,标准差大,标准差小,模型4 (平均间隔模型)较优.,38,PPT学习交流,模型1,数值模拟,第1次模拟的直方图,左低右高的非对称型,左右对称型,39,PPT学习交流,模型中起始号码已知(平移至1),限制了应用范围.,小结与评注,5个模型中平均值和中位数模型用到一点统计，其他3个模型来自常识, 后者竟然较前者更优.,数值模拟是模型检验的重要方法: 给定总体通过模拟产生样本, 根据模型得到总体参数, 进行比较和评价.,问题：哪些模型可以推广到起始号码未知的情况？,40,PPT学习交流,与“估计出租车的总数”相关的历史事实,二战中一支盟军的指挥部急需掌握德军坦克的数量.,盟军俘获了若干辆德军坦克，得到它们的序列号码.,情报人员获知这支部队的坦克号码按顺序编排.,以俘获的坦克号码为样本，估计出坦克总量.,英美情报机构通过捕获德军武器的序列编号，对军用轮胎、枪支、装甲车等众多装备的产量做出估计.,战后将估计值与从档案中得到的实际产量进行比较，多数估计的误差在10%以内！,41,PPT学习交流,举重,依靠运动员全身力量完成的体育项目,按照运动员体重划分级别进行比赛.,赛艇,拳击,摔跤,每个级别都有一个冠军.,能评选出一个“总冠军”吗？,2.6 评选举重总冠军,42,PPT学习交流,56kg, 62kg, 69kg, 77k, 85kg, 94kg, 105kg, 105kg以上.,男子举重比赛按运动员体重 (上限)分为8个级别：,问题,每个级别设3个项目：抓举、挺举、总成绩.,每个级别、每个项目都产生一个冠军.,同一项目 (如抓举) 的8个冠军中怎样选出“总冠军”？,不同级别冠军成绩按体重 “折合”到某个标准级别，比较折合成绩，选出最高的作为总冠军.,评选举重总冠军,43,PPT学习交流,问题分析,比赛产生各级别冠军成绩的实际值,建立体重与举重成绩的数学模型,评选举重总冠军,44,PPT学习交流,数据收集,利用举重比赛的世界纪录建立数学模型.,多年积累下来的世界记录与某一次比赛成绩相比，更能避免偶然性.,不同级别成绩的差别基本上由运动员体重决定.,45,PPT学习交流,不掌握创造记录的运动员的实际体重.,因为体重越大、举得越重，比赛时运动员体重都会调整到非常接近各级别的上限.,105 kg以上级未设上限，只在其余7个级别中选总冠军.,数据收集,利用举重比赛的世界纪录建立数学模型.,46,PPT学习交流,世界记录与体重数据的散点图,数据分析,大致呈线性关系,大级别成绩的增加变慢,线性关系有所改进,幂函数(幂次小于1)可能更合适,47,PPT学习交流,建立举重总成绩y与运动员体重w的数学模型,模型建立,模型1 线性模型,最小二乘法编程计算 k = 2.7039,48,PPT学习交流,模型2 幂函数模型,运动生理学,确定幂函数的幂次,举重总成绩y与运动员体重w的模型,s 肌肉截面积,l 身体尺寸,最小二乘法编程计算 k = 20.4711,49,PPT学习交流,模型3 幂函数改进模型,举重总成绩y与运动员体重w的模型,最小二乘法,举重过程中力量的损失及身体尺寸的变化.,50名顶尖运动员成绩的统计分析,50,PPT学习交流,举重总成绩y与运动员体重w的模型,线性模型,幂函数模型,幂函数改进模型,两个幂函数模型比线性模型改进不大.,51,PPT学习交流,评选总冠军,wi (i=1, 2, , 7) 从轻到重7个级别的体重(上限),yi 一次比赛中各级别冠军的实际成绩,以线性模型为例,52,PPT学习交流,评选总冠军,任取级别i=4 (w4=77kg级)为标准使 z4=y4,与实力成正比的指标,按7个级别冠军的折合成绩排名，第一者为总冠军., 将体重折合成77kg级后级别i冠军的实际成绩.,模型中系数k随世界纪录的刷新而改变.,53,PPT学习交流,评选总冠军,折合成绩,评选2008年北京奥运会男子举重比赛总冠军,54,PPT学习交流,3个模型中都只有一个以因子形式出现的系数k,可以在构造折合成绩时消去,便于评选总冠军.,小结与评注,举重成绩与体重关系的数学模型是评选总冠军方法的基础.,通过世界纪录数据观察和机理分析分别建立线性模型、幂函数模型和幂函数改进模型.,55,PPT学习交流,CPI (ConsumerPriceIndex) 居民消费价格指数,每月9日左右国家统计局发布上月全国CPI数据.,反映购买消费品和服务项目时价格变动趋势的数字.,观察通货膨胀水平的重要指标.,从数学建模的思路，按照数据分析方法解读CPI.,2.7 解读CPI,56,PPT学习交流,按照时间顺序解读CPI,环比价格指数,以上月为基期进行对比,消除季节变化和节日对价格的影响,同比价格指数,反映当前价格的波动,以上年同月为基期进行对比,通常公布价格指数增长率(%),方便了解价格上涨幅度,2011.3环比增长率-0.2%,2011.2环比增长率1.2%,基期指数100,2011.3同比增长率5.4%,57,PPT学习交流,全国2011年CPI各月份环比增长率,环比价格指数,pk某年k月环比增长率(%),Pk 以上年12月为基期, 本年k月的价格指数,pk为正Pk上升, pk为负Pk下降,Pk涨幅回落Pk上升变缓,2011CPI环比,58,PPT学习交流,qk某年k月同比增长率(%),同比价格指数,全国2011, 2012年CPI各月份同比增长率,2012年比2011年每月价格上涨的幅度明显减少.,59,PPT学习交流,qk(j) j年k月同比指数,环比价格指数与同比价格指数的关系,pk(j) j年k月环比指数,xk(j) j年k月价格指数（以j-2年12月为基期）,60,PPT学习交流,从1月到k月以上年同一时期为基期进行对比.,累计价格指数,全国2012年CPI各月份同比增长率和累计增长率,第k月的累计是1月至k月同比的平均值 （k=1,2，12）,几个月的价格指数以其各个月价格指数的平均值度量.,61,PPT学习交流,年价格指数,每年1至12月同比的平均值,全国2004年至2013年CPI的增长,从2003年到2013年全国CPI增长35%,62,PPT学习交流,按照分类结构解读CPI,与许多人对物价的亲身感受有较大差距.,近10年CPI平均年增长率不过3.5%.,原因之一 ：CPI由国家统计局对全国居民家庭衣食住行各类消费品和服务价格综合加工得到.,消费品和服务项目分8大类,约700个代表品种.,权重根据居民家庭用于各种消费品和服务项目的开支占总消费支出的比重确定.,CPI由价格及其权重二者共同决定.,63,PPT学习交流,我国消费品和服务项目的类别及权重(2011年),按照分类结构解读CPI,64,PPT学习交流,居住次之,上世纪80年代食品权重约60%, 每次调整都下降.,随着人们生活水平的提高及消费结构的变化，权重每5年、10年会有较大的调整.,居住中并不包含近年飞涨的购房支出，官方的解释是购房属于投资而非消费.,按照分类结构解读CPI,食品权重最大,教育、娱乐第三,65,PPT学习交流,vi 第i大类价格指数,v CPI总水平,wi 第i大类权重,v v的增长率,vi vi的增长率,wi ，vi ，vi,按照分类结构解读CPI,66,PPT学习交流,权重对CPI总水平的大小有很大影响，引起对权重数值合理性的研究和讨论.,权重随时调整的具体情况不能为民众及时掌握.,利用每个月公布的CPI数据校核权重是否变化、估算调整后的权重, 成为关注者、研究者的课题.,按照分类结构解读CPI,对权重的关注和讨论：,67,PPT学习交流,几种校核与估算权重的方法,1. 利用公布的vi, wi计算v ,检查与公布的v是否相符,2013年CPI同比分类和总水平增长率,68,PPT学习交流,如果计算值与公布的v相符，不能说明所有的wi没有改变.,如果稍有不符，无法确认是否数字舍入误差所致.,几种校核与估算权重的方法,公布的指数只有2位有效数字，对计算结果影响很大.,1. 利用公布的vi, wi计算v ,检查与公布的v是否相符,69,PPT学习交流,2. 利用公布的vi及其对v的影响计算权重，检查与原有的wi是否相符,几种校核与估算权重的方法,2013年1月食品同比上涨2.9%，影响总水平约0.95%,由2013.112公布的v1和v计算w1,原有w1=0.3179,70,PPT学习交流,2. 利用公布的vi及其对v的影响计算权重，检查与原来的wi是否相符,几种校核与估算权重的方法,如果数据完整，可以对各个权重wi分别计算、校核.,由于公布数据的有效数字所限，舍入误差对结果有不小影响.,71,PPT学习交流,3. 利用公布的n个月的vi和v作拟合，估计权重.,vik, vk (i=1,8, k=1, n),用MATLAB命令w=Ab 可得Aw= b 的最小二乘解.,含8个未知数w1, , w8的n +1个方程.,几种校核与估算权重的方法,72,PPT学习交流,3. 利用公布的n个月的vi和v作拟合，估计权重.,几种校核与估算权重的方法,原始数据精度太低(1或2位有效数字),计算结果有较大差距，甚至出现负值,对权重加非负约束后结果仍相差较大,73,PPT学习交流,按照地区差别解读CPI,不同地区的经济发展和居民生活水平的差异较大，全国CPI环比、同比总水平与各地区情况不同.,国家统计局还分“城市”和“农村”公布CPI数据.,31个省、市、自治区统计局逐月公布当地CPI数据.,可以用类似方法解读当地的CPI数据.,74,PPT学习交流,从数据分析和数学建模角度看, 资料较少且不够完整, 只能根据查到的有限数据进行解读.,小结与评注,CPI是当今社会的热门词汇, 各种媒体特别是互联网上有大量经济政策方面的报道和评论.,权重的几种校核与估算方法是编者的初步尝试，尚待进一步研究.,75,PPT学习交流,2.8 核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全, 实行“核威慑战略”, 核军备竞赛不断升级.,随着前苏联的解体和冷战的结束, 双方通过了一系列核裁军协议.,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张, 而存在暂时的平衡状态.,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时, 平衡状态会发生什么变化.,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响.,背景与问题,76,PPT学习交流,以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小.,假定双方采取如下同样的核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；,己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定.,模型假设,77,PPT学习交流,图的模型,y=f(x)甲有x枚导弹,乙所需的最少导弹数(乙安全线),x=g(y)乙有y枚导弹,甲所需的最少导弹数(甲安全线),当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值,y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.,P(xm,ym),乙安全区,甲安全区,双方 安全区,P平衡点(双方最少导弹数),乙安全线,78,PPT学习交流,分析模型,乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率.,sx个基地未被摧毁，yx个基地未被攻击.,xy,甲方以 x枚导弹攻击乙方 y个基地中的 x个,y0=sx+yx,x=y,y0=sy,乙的xy个基地被攻击2次, s2(xy)个未被摧毁; y (xy)=2y x个被攻击1次, s(2y x )个未被摧毁.,y0= s2(xy)+ s(2y x ),x=2y,y0=s2y,yx2y,79,PPT学习交流,x=a y,分析模型,x=y, y=y0/s,x=2y, y=y0/s2,y0威慑值,s残存率,利用微积分知识可知 y是一条上凸的曲线，且,y0变大，曲线上移、变陡.,s变大，y减小，曲线变平.,xy, y= y0+(1s)x,yx2y,80,PPT学习交流,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.,乙方威慑值 y0变大,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.,（其他因素不变）,乙安全线 y=f(x)上移,模型解释,平衡点PP,81,PPT学习交流,甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.,乙安全线y=f(x)不变,甲方残存率变大,威慑值x 0不变,x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近,模型解释,甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少.,PP,82,PPT学习交流,双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标.,(x , y仍为双方核导弹的数量),双方威慑值x 0, y0和残存率s均减小.,y0减小 y下移且变平,s变小 y增加且变陡,双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析.,模型解释,乙安全线 y=f(x),83,PPT学习交流,核 军 备 竞 赛,对“核威慑战略”做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程.,提出安全曲线概念，给出它的一般形式.,通过更精细的分析找到影响安全线的参数：威慑值和残存率，给出安全线的分析表达式.,利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释.,84,PPT学习交流,帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向.,简化问题,海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，,2.9 扬帆远航,85,PPT学习交流,模型分析,风(通过帆)对船的推力w,风对船体部分的阻力p,推力w的分解,阻力p的分解,p=p1+p2,模型假设,w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2 .,f1航行方向的推力,p1 航行方向的阻力,86,PPT学习交流,w1=wsin(),f1=w1sin=wsin sin(),p1=pcos,模型假设,w2与帆面平行，可忽略.,f2, p2垂直于船身，可由舵抵消.,模型建立,w=ks1, p=ks2,船在正东方向速度分量v1=vcos,航向速度v与力f=f1p1成正比.,v=k1(f1p1),87,PPT学习交流,2) 令 = /2, v1=k1 w(1cos)/2pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）,1) 当固定时求使f1最大,f1=wcos(2)cos/2,= k1(f1p1)cos,f1=w1sin=wsin sin(),p1=pcos,求, ,使 v1最大,模型建立,v1=vcos,模型求解,88,PPT学习交流,60 75,1 t 2,备注,只讨论起航时的航向，是静态模型. 航行过程中终点B将不在正东方，应调整和 .,记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2,=( k1w/2)1(1+2p/w)coscos ,w=ks1, p=ks2,1/4cos 1/2,模型求解,v1=k1 w(1cos)/2pcoscos ,s1 s2,89,PPT学习交流,2.10 节水洗衣机,我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，节约洗衣机用水十分重要。假设放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水（称“加水漂洗脱水”为一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等），使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。,选自1996年全国大学生数学建模竞赛B题,90,PPT学习交流,问题分析,洗衣机运行的基本过程,将待洗衣物和洗涤剂放入缸内，加水后启动洗衣机.,漂洗中通过洗涤剂的物理化学作用，将附着在衣物上的污物溶于水中，再脱去含有污物的污水，构成 “加水漂洗脱水” 一轮运行过程.,一轮后残留在衣物上的污物有所减少，但若尚未达到洗净的效果，就需要再来一轮，如此循环.,直到衣物上污物减少到相对清洁，可以接受.,建模应考虑：现实生活中洗衣机大多运行2或3轮.,91,PPT学习交流,一次性加入的洗涤剂虽能帮助衣物上污物溶于水，但也不希望留在衣物上，因此将“污物”视为衣物上原有的污物与留在衣物上的洗涤剂的总和.,洗涤剂溶解污物的过程涉及物理化学的微观机制，只需从宏观层面上认为，每一轮运行中污物都已充分溶于水中，形成一定的浓度. 通过一轮一轮地加水和脱水，使污物浓度不断降低.,不讨论通常洗衣机运行的最后一步甩干或烘干.,问题分析,洗衣机运行的基本过程,92,PPT学习交流,模型假设,1. 每轮漂洗后衣物上的污物全部均匀地溶于水中.,2. 与每轮的加水量相比，每轮脱水后衣物仍含 少量的水，每轮的含水量为常数.,3. 每轮脱水前后污物在水中的浓度保持不变.,最后一轮脱水后衣物的污物含量与初始含量 之比 (污物比) ，需不超过某个给定的数值.,建模目标：在满足衣物污物比的条件下， 确定洗衣机运行多少轮 (最多4轮) 及每轮 的加水量，使总用水量最少.,93,PPT学习交流,模型建立,洗衣机共运行n轮(n=2,3,4), x0初始污物含量.,c每轮脱水后衣物含水量，最终污物比 (给定).,脱水前后污物浓度保持不变,污物浓度单位容积水中的污物含量.,uk第k轮加水量，xk第k轮脱水后污物含量.,94,PPT学习交流,建模目标要求 xn/x0 ,模型建立,95,PPT学习交流,模型简化,几何平均值,算术平均值,n个数的几何平均值小于或等于算术平均值，当且仅当n个数相等时等号成立.,uk 全相等，即每轮加水量是一个固定值u.,96,PPT学习交流,模型简化,uk =u,u是第1轮加水量，此后各轮加水量应减掉c（脱水后衣物的含水量）.,97,PPT学习交流,模型求解,对于给定的c, 依次固定n=2,3,4，比较总用水量z的大小，确定u和n的解.,对于固定的c, 数值n和n直接反映了每轮加水量和总用水量的大小.,98,PPT学习交流,模型求解,若衣物清洁程度要求较高(2%)，洗衣机运行4轮的总用水量最少.,清洁程度要求较低时(5%)，总用水量都差不多，运行3轮更合适.,99,PPT学习交流,模型讨论,每轮加水量u的上限和下限,c脱水后衣物含水量,umin= bw,a和b取决于衣物的质地，其数值可通过实验确定.,w洗涤前衣物质量(kg),a每kg衣物脱水后含水量,c = aw,b每kg衣物浸泡所需水量,umin u umax,umin u,u umax,通过控制w来满足.,100,PPT学习交流,