2020届高考数学 专题四 恒成立问题精准培优专练 文

培优点四 恒成立问题一、不等式恒成立问题例1：已知，不等式恒成立，则的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】把原不等式的左端看成关于的一次函数，记，则对于任意的恒成立，易知只需，且即可，联立解得或故选C例2：不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】由绝对值的几何意义易知的最小值为，所以不等式对任意实数恒成立，只需，解得故选A例3：已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】，二、函数恒成立问题例4：当时，指数函数恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】由，得，即故选B例5：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】首先画出的图像，的图像为过的一组直线，若恒成立，只需始终在的下方，即直线夹在与相切的直线，和之间，所以转化为求切线斜率，联立，得，令，即，解得或，将代入，得成立；将代入，得，不满足，所以舍去，故三、分离参数解恒成立问题例6：对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】对任意实数，不等式恒成立，恒成立，令，则原不等式等价于，即，由基本不等式可得，故例7：关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是【答案】【解析】当时，令，则问题等价于，则，所以，即在上单调递减，所以当时，所以对点增分集训一、选择题1已知函数，且对定义域内的任意的恒成立，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】当时，原命题等价于在时恒成立，由双勾函数单调性可得当时，原命题等价于，左边设为，右边设为，由数形结合易得综上两种情况可得，故答案B2已知函数，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】因为，故为奇函数，又，而为增函数，故也为增函数，故对任意，不等式恒成立，可化为，对任意，不等式恒成立，即，解得3设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等，那么的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】对于任意的都有恒成立，是定义在上的增函数，的圆心坐标为，半径为，内的点到原点距离的取值范围为，即，表示内的点到原点距离的平方，的取值范围是故选A二、填空题4若不等式恒成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】令，当时，；当时，；当时，在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数，恒成立，即恒成立，即三、简答题5已知，且（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1），即，所以的最大值为，当且仅当时取等号，恒成立等价于，解得（2），当且仅当，时取等，恒成立等价于当时，解得；当时，解得；当时，解得，综上可得6定义域为的函数满足：对于任意的实数，都有成立，且，当时，恒成立（1）求，的值；（2）若不等式对于恒成立，求的取值范围【答案】（1），；（2）【解析】（1）令，得，令，得，是奇函数，（2）设，则，即，是减函数，即，即恒成立，解得7已知函数（1）试求函数的最大值；（2）若存在，使成立，试求的取值范围；（3）当，且时，不等式恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】（1），令，即有在单调递增，时，（2）令，则存在使得，所以存在使得，或，即存在使得或，或（3）由得恒成立，因为，且，所以问题即为恒成立，设，令，则，所以当时，8已知函数，且在处取得极值（1）求的值；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；（3）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由【答案】（1）；（2）或；（3）见解析【解析】（1），在处取得极值，经检验，符合题意（2），当时，有极大值，又，时，最大值为，故或（3）对任意的，恒成立，由（2）可知，当时，有极小值，又，时，最小值为，故结论成立11