2020届高考数学 专题五 导数的应用精准培优专练 理

培优点五 导数的应用一、求切线方程例1：曲线在点处的切线方程为【答案】【解析】，结合导数的几何意义曲线可知在点处的切线方程的斜率为，切线方程为二、求单调区间和极值例2：已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当时，此时在单调递增；当时，令，解得或；令，解得，此时在，单调递增，在单调递减；当时，令，解得或；令，解得，此时在，单调递增，在单调递减，综上可得，当时，在单调递增当时，在，单调递增，在单调递减当时，在，单调递增，在单调递减（2）由（1）中结论可知，当时，在单调递减，在单调递增此时，当时，令，则，在单调递减又，即当时，综上，当时，的取值范围是三、导数与零点例3：已知函数，为的导函数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有个零点【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）对进行求导可得，取，则，在内，为单调递减函数，且，所以在内存在一个，使得，所以在内，为增函数；在内，为减函数，所以在在区间存在唯一极大值点（2）由（1）可知，当时，单调增，且，可得，则在此区间单调减；当时，单调增，且，则在此区间单调增；又，则在上有唯一零点当时，单调减，且，则存在唯一的，使得，在时，单调增；在时，单调减，且，所以在上无零点；当时，单调减，单调减，则在上单调减，所以在上存在一个零点当时，恒成立，则在上无零点，综上可得，有且仅有个零点对点增分集训一、选择题1设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）ABCD【答案】D【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D2函数的图像大致为（）ABCD【答案】B【解析】，为奇函数，舍去A，舍去D；，所以舍去C；因此选B3曲线在点处的切线方程为（）ABCD【答案】C【解析】因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为4若函数 (是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是（）ABCD【答案】A【解析】对于A，令，则在上单调递增，故具有性质，故选A5已知曲线在点处的切线方程为，则（）A，B，C，D，【答案】D【解析】令，则，得，可得故选D6已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】当时，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，令，得或，时，；时，；时，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，故选C7已知函数有唯一零点，则（）ABCD【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得故选C8若是函数的极值点，则的极小值为（）ABCD【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，故，令，解得或，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A二、填空题9曲线在点处的切线的斜率为，则_【答案】【解析】，则，所以10在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是【答案】【解析】设点，则又，当时，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，；当时，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为11若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】【解析】由，得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此，从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，12已知函数，则的最小值是_【答案】【解析】，所以当时，函数单调减，当时，函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是三、解答题13已知函数（1）讨论函数的单调性，并证明函数有且只有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）函数的定义域为，又，所以函数在上单调递增，又，所以在区间存在一个零点，且，所以在区间上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零点（2）因为是函数的一个零点，所以有曲线在处的切线方程为，曲线曲线当切线斜率为时，切点坐标为，切线方程为，化简为，所以曲线在处的切线也是曲线的切线14已知函数（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，或满足题意【解析】（1），当时，此时在单调递增；当时，令，解得或；令，解得，此时在单调递增，在单调递减；当时，令，解得或；令，解得，此时在单调递增，在单调递减，综上可得，当时，在单调递增当时，在单调递增，在单调递减当时，在单调递增，在单调递减（2）由（1）中结论可知，当时，在单调递增，此时，满足题意当时，若，即，则在单调递减，此时，满足题意若，即，则在单调递减，在单调递增此时，当时，由可得，与矛盾，故不成立当时，由可得，与矛盾，故不成立综上可知，或满足题意15已知函数，是的导数（1）证明：在区间存在唯一零点；（2）若时，求的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题意得，令，当时，单调递增；当时，单调递减，的最大值为，又，即，在区间存在唯一零点（2）由题设知，可得由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减又，所以当时，又当，时，故因此，的取值范围是15