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单科标准练(二)(满分：150分时间：120分钟)第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M1,0,1，Nx|x2a，aM，则集合MN()A1,0,1B2,0,2C0D2，1,0,1,2D集合M1,0,1，Nx|x2a，aM2,0,2，集合MN2，1,0,1,2故选D.2已知a，bR，ai，则abi的共轭复数为()A2iB2iC2iD2iA因为ai(b2i)i2bi，所以a2，b1，因此abi2i的共轭复数为2i.故选A.3高三第一学期甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图如图所示，其中两竖线之间是得分的十位数，两边分别是甲、乙得分的个位数则下列结论正确的是()A甲得分的中位数是78B甲得分的平均数等于乙得分的平均数C乙得分的平均数和众数都是75D乙得分的方差大于甲得分的方差C由甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图，得：在A中，甲得分的中位数是76，故A错误；在B中，甲得分的平均数(5664767886)72，乙得分的平均数2(6275758182)75，甲得分的平均数不等于乙得分的平均数，故B错误；在C中，乙得分的众数是75，平均数是75，故C正确；在D中，由茎叶图的甲得分的分布相对分散，乙得分的方差小于甲得分的方差，故D错误故选C.4已知Sn为等比数列an的前n项和，a23，S313，则a6()A243或B81或C243 D.Aa23，S313，33q13，解得q3或q，a6a2q4243或，故选A.5.如图，在ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则()A.B.C.D.D()()，故选D.6高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数例如：2.13，3.13，已知函数f(x)，则函数yf(x)的值域为()A.B(0,2C0,1,2D0,1,2,3C因为f(x)，所以f(x)，又12x1(1，)，所以f(x)，由高斯函数的定义可得：函数yf(x)的值域为0,1,2，故选C.7.如图，用与底面成45角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.A设圆柱底面圆的方程为x2y2R2，与底面成45角的平面截圆柱，椭圆的半长轴长是R，半短轴长是R，cR，e.故选A.8埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的，不够，若每人分得一个面包的，还余，再将这分成5份，每人分得，这样每人分得.形如(n5,7,9,11，)的分数的分解：，按此规律，()A.B.C.D.A根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即.故选A.9甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：007：20内某一时刻随机到达，乙在7：057：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是()A. B.C. D.C由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为7时x分、7时y分，则10x20,5y20，甲至少需等待乙5分钟，即yx5，则试验包含的所有区域是(x，y)|0x20,5y20，甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A(x，y)|0x20,5y20，yx5，如图：正方形的面积为2015300，阴影部分的面积为1515，甲至少需等待乙5分钟的概率是，故选C.10已知函数f(x)x32ax2a2x的极小值点是x1，则a()A0或1B3或1C1D3D函数f(x)x32ax2a2x，f(x)3x24axa2，f(x)极小值点是x1，f(1)34aa20，解得a3或a1，当a1时，f(x)x32x2x，f(x)3x24x1，由f(x)0，得x1或x，由f(x)0，得1x，f(x)增区间为(，1)，减区间为，x1是f(x)的极大值点当a3时，f(x)x36x29x，f(x)3x212x9，由f(x)0，得x3或x1，由f(x)0，得3x1，f(x)增区间为(，3)，(1，)，减区间为(3，1)，x1是f(x)的极小值点综上，函数f(x)x32ax2a2x的极小值点是x1，则a3.故选D.11已知函数f(x)sin(0)，x0，的值域为，则的取值范围是()A. B.C.D(0，)C函数f(x)sin(0)，x0，则x，函数f(x)sin(0)的值域为，所以x，解得，故选C.12已知正三棱锥PABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的侧面是顶角为30腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面ADE周长的最小值是()A.B2C.D2D此正三棱锥的侧面展开图如图所示则ADE的周长为ADDEEA1，由于两点之间线段最短，当D、E处于如图位置时，截面ADE的周长最小，即为AA1的长；又APB30，则APA190，在等腰三角形PAB中，PAPB2，PAPA12，APA190，截面ADE周长的最小值是：AA12.故选D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设实数x、y满足约束条件则z2xy的最小值和最大值的和为_14作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示由z2xy得y2xz.平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过点A(3,4)时，直线y2xz的截距最大，z10.直线y2xz经过点B(1,2)时，直线y2xz的截距最小，此时z最小即z2xy的最小值为：z4.则z2xy的最小值和最大值的和为14. 14以抛物线y28x的焦点为圆心，且与直线yx相切的圆的方程为_(x2)2y22依题意可知抛物线y28x的焦点为(2,0)，到直线yx的距离即圆的半径为，故圆的标准方程为(x2)2y22.15分别标有1,2,3,4的4张卡片，放入分别标号为1,2,3,4的4个盒中，每盒不空，且3号卡片不能放入3号盒中，则有_种不同的方法18根据题意，分2步进行分析：3号卡片不能放入3号盒中，则3号卡片可以放入1、2、4号盒子中，有3种放法；将剩下的3张卡片全排列，放入剩下的3个盒子中，有A6种放法；故有3618种不同的放法16. Sn为数列an的前n项和，已知an0,4Sn(an3)(an1)，(nN*)，则an的首项a1_，通项公式an_.32n1由4Sn(an3)(an1)a2an3，可知4Sn1a2an13，两式相减得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)，an0，an1an2，又a2a14a13，a11(舍)或a13 ，数列an是首项为3，公差d2的等差数列，数列an的通项公式an32(n1)2n1.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，1.(1)求A的大小；(2)若a4，c12.求ABC的面积S.解(1)因为1，所以由正弦定理得1整理得b2c2a2bc，所以cos A，因为0A，所以A.(2)因为a4，c12，A.所以由余弦定理a2b2c22bccos A，得208b2144212bcos ，解得b4或b16(舍)所以Sbcsin A124sin 12.18. (本小题满分12分)如图，等腰直角ABC中，B90，平面ABEF平面ABC,2AFABBE，FAB60，AFBE.(1)求证：BCBF；(2)求二面角FCEB的正弦值解(1)证明：在等腰直角ABC中，B90，BCAB，平面ABEF平面ABC，平面ABEF平面ABCAB，BC平面ABEF，BF平面ABEF，BCBF.(2)由(1)知BC平面ABEF，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设2AFABBE2，FAB60，AFBE.B(0,0,0)，C(0,2,0)，F，E(1,0，)，(1,2，)，(0,2,0)，设平面CEF的一个法向量n(x，y，z)，则即令x，得n(，2，5)，设平面BCE的一个法向量m(x，y，z)，则即取x，得m(，0,1)，设二面角FCEB的平面角为.则|cos |，sin ，二面角FCEB的正弦值为.19(本小题满分12分)已知抛物线C：x24y，过点(2,3)的直线l交C于A、 B两点，抛物线C在点A、B处的切线交于点P.(1)当点A的横坐标为4时，求点P的坐标；(2)若Q是抛物线C上的动点，当|PQ|取最小值时，求点Q的坐标及直线l的方程解(1)点A的横坐标为4，A(4,4)，易知此时直线l的方程为yx2 ，联立解得或B(2,1)由y得y，所以kPA2，所以直线PA的方程为y2x4, 同理可得直线PB的方程为yx1, 联立可得故点P的坐标为(1，2). (2)设A，B，由y得y，所以kPA，所以直线PA的方程为y(xx1)，即yx，同理PB的方程为yx，联立解得P，依题意直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为y3k(x2)，由得x24kx8k120, 易知0，因此x1x24k，x1x28k12，P(2k,2k3)，点P在直线xy30上，当|PQ|取得最小值时，即抛物线C：x24y上的点Q到直线xy30的距离最小. 设Q，Q到直线xy30的距离d，所以当x02时，d取最小值，此时Q(2,1), 易知过点Q且垂直于xy30的直线方程为yx3, 由解得P(3,0)，k，所以直线l的方程为yx，综上，点Q的坐标为(2,1)，直线l的方程为yx.20(本小题满分12分)某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取200盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好由测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求a，并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值；(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布N(，102)，计算该批产品该项指标值落在(180,220上的概率；国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于150均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中(180,220为优良，不高于180为合格，高于220为优秀，在在条件下，设该公司生产该产品的1万盒的成本为15万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万盒的平均利润等级合格优良优秀售价102030附：若N(，2)，则P()0.682 7，P(22)0.954 5.解(1)由10(20.0020.0080.0090.0220.024a)1，解得a0.033，则平均值100.002170100.009180100.022190100.033200100.024210100.008220100.002230200，即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.(2)由题意可得200，10，则P(22)P(180220)0.954 5，则该批产品指标值落在(180,220上的概率为0.954 5.设每盒该产品的售价为X元，由可得X的分布列为X102030P0.022 750.954 50.022 75则每盒该产品的平均售价为E(X)100.022 75200.954 5300.022 7520，故每万盒的平均利润为20155(万元)21(本小题满分12分)已知函数f(x)(x2a)ekx，e2.718为自然对数的底数(1)若k1，aR，判断函数f(x)在(0，)上的单调性；(2)令a0，k1，若0m2e，求证：方程f(x)m(x1)ln x0无实根解(1)由已知k1，所以f(x)(x2a)ex，所以f(x).若a1，在R上恒有u(x)(x1)21a0，所以f(x)0，所以f(x)在(0，)上为单调递减，若a1，u(x)(x1)21a图象与x轴有两个不同交点设u(x)(x1)21a0的两根分别为x11，x21.()若0a1,0x11，x21，所以当0xx1时，u(x)0；当x1xx2时，u(x)0；当xx2时，u(x)0.所以，此时f(x)在(0，x1)上和(x2，)上分别单调递减；在(x1，x2)上单调递增；()若a0，x110，x212.所以，x(0，x2)上总有u(x)0；在当xx2上，u(x)0，所以此时f(x)在(0，x2)上单调递增，在(x2，)上单调递减综上：若a1，f(x)在(0，)上为单调递减；若0a1，f(x)在(0,1)上和(1，)上分别单调递减，在(1，1)上单调递增；若a0，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)证明：由题知a0，k1，所以f(x)x2ex，令g(x)ex(x1)，对任意实数x0，g(x)ex10恒成立，所以g(x)ex(x1)g(0)0，即exx10，则x2exm(x1)ln xx2(x1)m(x1)ln x(x1)(x2mln x)令h(x)x2mln x，所以h(x)(x2mln x)2x.因为0m2e，所以h(x).所以x时，h(x)0，h0；x时，h(x)0，所以h(x)x2mln x在(0，)上有最小值，所以hmln因为0e，所以ln 1，所以1ln 0，所以0，即0m2e时，对任意x0，h(x)x2mln x0.所以x2exm(x1)ln x0，所以方程f(x)m(x1)ln x0无实根请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy，直角l过点P(0，)，且倾斜角为，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为24cos10.(1)求直线l的参数方程和圆C的标准方程；(2)设直线l与圆C交于M、N两点，若|PM|PN|，求直线l的倾斜角的值解(1)因为直线l过点P(0，)，且倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数)因为圆C的极坐标方程为24cos10，所以22cos 2sin 10，所以圆C的普通方程为：x2y22x2y10，圆C的标准方程为：(x1)2(y)25.(2)直线l的参数方程为代入圆C的标准方程得(tcos 1)2(tsin )25，整理得t22tcos 40.设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t22cos ，所以|PM|PN|t1t2|2cos |，即cos .因为0，所以或.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知a0，b0，c0，函数f(x)|ax|xb|c.(1)当abc2时，求不等式f(x)8的解集；(2)若函数f(x)的最小值为1，证明：a2b2c2.解(1)当abc2时，f(x)|x2|x2|2，所以f(x)8或或所以不等式的解集为x|3x3(2)因为a0，b0，c0，所以f(x)|ax|xb|c|axxb|c|ab|cabc.因为f(x)的最小值为1，所以abc1.所以(abc)2a2b2c22ab2ac2bc1，因为2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2，所以1a2b2c22ab2ac2bc3(a2b2c2)，所以a2b2c2.- 13 -
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