二Ｏ一四年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷（含答案）

二一四年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷（含答案）一、填空题（10小题，每小题6分，共60分）1在数列中，且（），则 .【答案】12如图所示的程序框图中输出的结果为a，若二项式(m0)的展开式中含的项的系数为,则常数m=_ 【答案】开始i2m4x恒成立，则x的取值范围是_【答案】x2或x1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为_ 【答案】(1,1)7圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）若AMMP，则P点形成的轨迹的长度为 【答案】8直角梯形ABCD中，ADAB, AB/DC , AB=4,AD=DC=2,设点N是DC边的中点，点是梯形内或边界上的一个动点，则的最大值是_ 【答案】69设实数，变量满足，且的最小值为，则 【答案】10已知焦点在轴上的双曲线的渐近线过椭圆和椭圆（0）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是 【答案】 二、解答题（4小题，共60分）11（本小题满分14分）在数列中，求数列的前项和解：由得，所以数列是首项为，且公比为2的等比数列10分所以数列的前项和14分12（本小题满分14分）已知ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足，（）求C大小；（）若c=2，且ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围解：（I），6分（II）14分13（本小题满分16分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，（1）求双曲线方程；（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由双曲线离心率为2知，所以双曲线方程可化为又直线方程为由，得 设，则，因为 ，所以 ，故结合，解得，代入，得，化简得又因为已知所以此时，代入，整理得，显然该方程有两个不同的实根符合要求故双曲线的方程为 8分（2）假设点存在，设由（1）知，双曲线右焦点为设（）为双曲线右支上一点当时，因为，所以 将代入，并整理得，于是 ，解得当时，而时，符合所以符合要求满足条件的点存在，其坐标为 16分14（本小题满分16分）已知函数（）当时，求函数的图象在处的切线方程；（）判断函数的单调性；（）求证：（）解：（）当时， ，所以所求的切线的斜率为3. 又，所以切点为. 故所求的切线方程为：. 4分（）， 当时，；当时，由，得；由，得； 综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增 10分（）方法一：由（）可知，当时，在上单调递增 当时，即 令（），则 另一方面，即, （）16分方法二：构造函数， ， 当时,；函数在单调递增 函数 ，即，即 令（），则有16分方法三：数学归纳法 酌情给分6