建模示例——投资的收益和风险

数学建模数学建模示例示例（1998A）投资的收益和风险投资的收益和风险 市场上有市场上有n种资产种资产Si(i=1,2n)可以选择可以选择,现用数额为现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资的相当大的资金作一个时期的投资.这这n种资产在这一时种资产在这一时期内购买期内购买Si的平均收益率为的平均收益率为ri,风险损失率为风险损失率为qi,投资越分散投资越分散,总的风险越小总的风险越小,总体风险可用投资的总体风险可用投资的Si中最大的一个风险中最大的一个风险来度量来度量.购买购买Si时要付交易费时要付交易费(费率费率pi),当购买额不超过给当购买额不超过给定值定值ui时时,交易费按购买交易费按购买ui计算计算.另外另外,假定同期银行存款利假定同期银行存款利率是率是r0,既无交易费又无风险既无交易费又无风险(r0=5%).已知已知n=4时相关数据时相关数据如下：如下：Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540 建模示例建模示例投资的收益和风险投资的收益和风险(1998A)1)试给设计一种投资试给设计一种投资组合方案组合方案,即用给定达到即用给定达到资金资金M,有选择地购买若有选择地购买若干种资产或存银行生息干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大使净收益尽可能大,使总使总体风险尽可能小体风险尽可能小.2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进行计算行计算:Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元元)S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397S740.7685.6178S831.233.43.1220S933.653.32.7457S1036.8402.9248Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元元)S1111.8315.1)195S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.6131基本假设基本假设：1.投资数额投资数额M相当大相当大,为了便于计算，假设为了便于计算，假设M=1；2.投资越分散，总的风险越小；投资越分散，总的风险越小；3.总体风险用投资项目总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量；中最大的一个风险来度量；4.n种资产种资产Si之间是相互独立的；之间是相互独立的；5.在投资的这一时期内在投资的这一时期内,ri,pi,qi,r0为定值为定值,不受意外因素影响不受意外因素影响;6.净收益和总体风险只受净收益和总体风险只受 ri,pi,qi影响，不受其他因素干扰。影响，不受其他因素干扰。二、基本假设和符号规定二、基本假设和符号规定符号规定符号规定：Si -第第i种投资项目，如股票，债券种投资项目，如股票，债券;ri,pi,qi-分别为分别为Si的平均收益率的平均收益率,风险损失率风险损失率,交易费率交易费率;ui -Si的交易定额的交易定额;r0 -同期银行利率同期银行利率;xi -投资项目投资项目Si的资金的资金;Q(x)-总体收益函数总体收益函数;P(x)-总体风险函数；总体风险函数；三、模型的建立与分析三、模型的建立与分析1.总体风险用所投资的总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量中最大的一个风险来衡量,即即2.max qixi|i=1，2,n2购买购买Si所付交易费是一个分段函数所付交易费是一个分段函数,即交易费即交易费=pimaxui,xi;3要使要使净收益尽可能大净收益尽可能大,总体风险尽可能小总体风险尽可能小,这是一个这是一个多目标规多目标规划模型划模型:niiiiiixupxrxQ0,max)(max nixqxPii,2,1max)(min Mxpniii 0)1(nixi,2,1,0 目目标标约约束束条条件件4.模型简化：模型简化：2)简化简化总体风险函数总体风险函数P(x):iniiiniiiiiixprxupxrxQ 00,max)(则则令令;,2,1maxnixqii 1)简化总收益函数简化总收益函数Q(x)购买购买Si所付交易费是一个分段函数所付交易费是一个分段函数,即交易费即交易费=pimaxui,xi;而题目所给定的定值而题目所给定的定值ui(单位单位:元元)相对总投资相对总投资M很小很小,piui更小更小,可可以忽略不计以忽略不计,这样购买这样购买Si的净收益为的净收益为(ri-pi)xi nixqxPii,2,1max)(min nixqtsxPii,2,1,.),(min 简化后的模型简化后的模型双目标线性规划模型双目标线性规划模型 iniiixprxQ 0)(maxnixqtsxPii,2,1 ,.),(min Mxpniii 0)1(nixi,2,1 ,0 四、模型求解四、模型求解 iniiixprxQ 0)(maxnixqtsxPii,2,1 ,.),(min Mxpniii 0)1(nixi,2,1 ,0 解法解法1 固定风险固定风险水平，极大化净水平，极大化净收益收益模型模型1解法解法2 固定净收固定净收益水平益水平,极小化风极小化风险损失险损失模型模型2解法解法3 权衡资产风险和预期净收益两方面权衡资产风险和预期净收益两方面,对风险、对风险、收益赋予权重收益赋予权重s和和1s(s称为投资偏好系数称为投资偏好系数)模型模型3 iniiixprxQ 0)(maxniMaxqtsii,2,1 ,.0 Mxpniii 0)1(nixi,2,1 ,0 模型模型1 确定风险水平确定风险水平a0，使每一项投资的风险损失，使每一项投资的风险损失不超过不超过a0*M，并极大化净收益，来得到最优投资组，并极大化净收益，来得到最优投资组合合把多目标问题转化为单目标问题把多目标问题转化为单目标问题 通常在分析通常在分析问题时，需要问题时，需要取多组不同的取多组不同的风险水平风险水平a0，观，观察净收益的变察净收益的变化情况，以便化情况，以便给出合理的风给出合理的风险水平险水平a0。如取风险水平如取风险水平a00:0.001:0.1，可看出净收益的变，可看出净收益的变化情况如图。化情况如图。00.020.040.060.080.10.050.10.150.20.250.3aQ1.00 0 0 0 0 00.66 0.08 0.13 0.04 0.08 0.0020.33 0.16 0.27 0.07 0.15 0.004 0 0.24 0.40 0.11 0.22 0.006 0 0.32 0.53 0.13 0 0.008 0 0.40 0.58 0 0 0.01 0 0.48 0.51 0 0 0.012 0 0.56 0.43 0 0 0.014 0 0.64 0.35 0 0 0.016 0 0.72 0.27 0 0 0.018 0 0.80 0.19 0 0 0.020 0 0.88 0.11 0 0 0.022 0 0.96 0.03 0 0 0.024 0 0.99 0 0 0 0.026a00.006 a00.025模型模型1结果分析：结果分析：返 回4.4.在在a=0.006a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合。应该选择曲线的拐点作为最优投资组合。3.3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。下的最优投资组合。2.2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。量分散投资。1.1.风险大，收益也大。风险大，收益也大。模型模型2 确定净收益水平下限确定净收益水平下限b0，使每一项投资的净，使每一项投资的净收益不低于收益不低于b0，并极小化风险，来得到最优投资组，并极小化风险，来得到最优投资组合合把多目标问题转化为单目标问题把多目标问题转化为单目标问题 同样在分析同样在分析问题时，取多问题时，取多组不同的收益组不同的收益水平下限水平下限b0，观，观察风险的变化察风险的变化情况，以便给情况，以便给出合理的收益出合理的收益水平下限水平下限b0。00bxpriniii nixqtsxPii,2,1 ,.),(min Mxpniii 0)1(nixi,2,1 ,0 注意这里决策注意这里决策变量为变量为x和和a！模型模型3 权衡投资风险和预期净收益两方面权衡投资风险和预期净收益两方面,对风险、对风险、收益赋予权重收益赋予权重s和和1s(s称为投资偏好系数称为投资偏好系数)取多组不同的偏取多组不同的偏好系数好系数s，观察，观察风险和收益的变风险和收益的变化情况，以便给化情况，以便给出合理的偏好系出合理的偏好系数数s。注意这里决策注意这里决策变量为变量为x和和a！nixi,2,1 ,0 nixqtsxprssiiniiii,2,1 ,.)1(min0 Mxpniii 0)1(