用法向量求二面角和证明两平面垂直

用法向量求二面角和证明两平面垂直用法向量证明两平面垂直问题要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量两个法向量相互垂直。例1如右图,ABC是一个正三角形，EC丄平面BD/CE且CE=CA=2BD,M是EA的中点。求证：(1)DE=DA(2)平面BEM丄平面ECA;(3)平面DEAL平面ECA;分析(3):建立如图所示右手直角坐标系，不妨设0,0,2,ED0,2,1分别假设面CEA与面DEA的法向量是厲X1,y1,Z1、n2X2,y2,Z3，所以得3x1%20y1.3Xj.3x2y22z20x23y22z,0z02y2z20Z22y20,2),D(0,2,1),EAV3,1,2,CE0,所以两个法向量相互垂不妨取n11,3,0、n23,1,2,从而计算得mn2直，两个平就相互垂直。用法向量求二面角如图,有两个平面a与B,分别作这两个平面的法向量n1与n2,则平面a与B所成的角跟法向量n与山所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.例2、如下图，在梯形ABCD中,AD/BC,AB丄BC,AB=a,AD=3a,sin/ADZ，且PA丄平面ABCD,PA=a,求二面角5PCD-A的平面角的余弦值.分析：依题意，先过C点CE1AD,计算得ED=2a,BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P(0,0,a),D(0,3a,0),C(a,a,0),PD0,3a,a,PCa,a,a,AD0,3a,0,ACa,a,0取平面ACD的一个法向量n10,0,1,设平面PCD的法向E=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,量是、n2x2,y2,Z3,所以得3200?y2:ax2ay2aq03x22勺不妨取n22,1,3,从而计算得cos门！，门2-nin2n1n23、143、14143、1414易得二面角PCD-A的平面角是锐角，所以其角的余弦是