2014年湖北省预赛试题参考答案（高一年级）

2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）一、填空题（本题满分90分，每小题9分。直接将答案写在横线上。） 1. 若非空集合，则能使成立的所有的集合是.2. 在四边形ABCD中，则与的面积之比为3. 已知是定义在上的函数， ，且对任意的都有5，则 2015 4在中，则的最大角的余弦值为5在直角坐标平面内，曲线围成的图形的面积是 5 .6在单调递增数列中，已知：，且成等差数列，成等比数列，那么， 2601 .7去掉集合中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第 1961 项.8. 若函数在区间上递增，则的取值范围是.9若且，则称为集合的孤立元素.那么，集合1，2，3，4，5，6，7，8，9的无孤立元素的4元子集有 21 个.10. 已知，且，则的最大值为二、解答题（本题满分60分，每小题20分。）11. 求函数的值域解 函数的定义域为或，当时 当时，令，记. 5分若，则，故，从而可得； 10分若，则，故，从而可得； 15分若，则，故，从而可得综合可知：，即函数的值域为 20分12. 已知数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）证明：解 （1）因为，所以 10分（2）因为，所以 20分13. 已知函数，（1）求函数的最值；（2）如果函数在上恰有2014个零点，求的取值范围.解 （1）因为，所以是以为周期的函数，故只需考虑在上的最大值.当时，令，则，易知在区间上单调递减，所以，的最大值为，最小值为.当时，令，则，易知在区间上单调递增，所以，的最大值为，最小值为.综合可知：函数的最大值为，最小值为. 10分（2）因为是以为周期的函数，可以先研究函数在上的零点个数，易知.当时，令0，解得或1.在上无解，在上仅有一解.当时，令，解得或1.在上无解，在上也无解.综合可知：函数在上有两个零点，分别为和.又因为是以为周期的函数，所以，若，则在上恰有个零点.又已知函数在上恰有2014个零点，所以. 20分